Cadenas de Markov

O por la aperiodicidad en un nmero sucientemente

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Unformatted text preview: lo 2: Convergencia de probabilidades en una C. de M. 24 Con ese vector como distribuci´n de probabilidades de X0 , tenemos o (n) E Ni n n =E 1{Xm =i} = m=1 Pj,i . m=1 j (m−1) (m) En la ultima expresi´n reemplazamos Pj,i por ´ o n (m−1) πj Pj,h n Ph,i = m=1 h j Ph,i πj Pj,h h (m−1) Pj,h Ph,i , y obtenemos = Ph,i n−1 m=1 j h (m) πj (n) E Ni n−1 = Ph,i πh + Ph,i h (m) πj Pj,h = j m=1 h j m=0 h Separamos el t´rmino correspondiente a m = 0, que vale e (m) πj Pj,h . h Ph,i πh , e igualamos (n−1) Ph,i πh + h Ph,i ENi . h Deducimos que para cada subconjunto finito Ef de estados, (n) E Ni ≥ (n−1) πh Ph,i + h Ph,i ENh , h∈Ef y pasamos al l´ ımite luego de dividir por sn, con lo que resulta πi = 1 1 ≥ Ph,i = πh Ph,i . smi h∈Ef smh h∈Ef Como esta desigualdad vale para todo Ef finito, tambi´n se cumple πi ≥ e h πh Ph,i , es decir, π ≥ πP , donde la desigualdad entre vectores se interpreta componente a componente. Luego de multiplicar esta ultima desigualdad por 1 a la derecha, resulta ´ la desigualdad trivial π ≥ π . Sin embargo, si para alg´n i la desigualdad u πi ≥ πP·,i fuese estricta, resultar´ la desigualdad estricta π > π . Esto muestra ıa que debe cumplirse π = πP . S´lo resta verificar que s = 1. La verificaci´n resulta de pasar al l´ o o ımite cuando n tiende a infinito en las igualdades siguientes, que valen para h arbitrario: (n) N 1 n (m) 1n E i =E 1{Xm =i} = P. n n m=1 n m=1 h,i 1 El l´ ımite de las esperanzas de la izquierda es mi , por el Teorema de Conver1 gencia Dominada, y el l´ ımite del promedio de la derecha es smi , de acuerdo a lo que acabamos de establecer. 2 Introducci´n a la probabilidad. o 2.2. Cadenas numerables. 25 Paso 5. Si la cadena X admite una probabilidad π estacionaria, los estados con πi > 0 son recurrentes. (n) (m) Con P{X0 = i} = πi , tenemos ENi = nπi = n =1 h πh Ph,i . Camm (n) biando el orden de las sumas nos queda h πh E{Ni |X0 = h} y separando la (n) (m) primera llegada a i, acotamos nπi ≤ 1+ E(Ni |X0 = i) = 1+ n =1 Pi,i . Si πi m (m) > 0, pasamos al l´ ımite cuando n tiende a infinito y deducimos que n =1 Pi,i m tiende a infinito, lo que implica que i es recurrente. 2 Paso 6. La recurrencia y la aperiodicidad implican que para cada i, j existe (n) Mi,j tal que, si n ≥ Mi,j , entonces Pi,j > 0. Basta elegir Mi,j = ni,j + Mj , donde ni,j es la longitud de una trayectoria de probabilidad positiva que lleva de i a j , y Mj es el n´mero cuya existencia u asegura el Lema 2.2.3. Paso 7. El producto de...
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