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Ejercicios de exámenes. Francisco Parreño Torres. 1. Problema 1 Un petrolero realiza las travesías entre una Plataforma Petrolífera y una Refinería y viceversa de forma ininterrumpida tardando 12 horas en cada viaje. El barco es propulsado por dos motores, cada uno de los cuales puede sufrir una avería durante el trayecto con una probabilidad de 0.1. El barco puede navegar con un motor averiado. En este caso, el mecánico de a bordo intenta reparar el motor averiado, con una probabilidad de éxito de 0.6 en cada travesía. Si se averían los dos motores, el barco es remolcado a su destino y debe permanecer amarrado en el puerto durante 24 horas (el tiempo de realizar dos viajes) para ser reparado por completo. Inicialmente el barco navega en perfectas condiciones. a) Comprobar que el sistema se puede modelizar mediante una Cadena de Markov. Definir los estados de la cadena, dibujar el diagrama de transiciones y hallar la matriz de probabilidades de transición. Hipótesis: 1. el mecánico puede repara el barco durante la misma travesia en que se estropea 2. en caso de averia de dos motores, no hace nada X n : Estado del petrolero al inicio del periodo n Cadena de Markov 1. Conjunto finito de Estados Estados 0: ningún motor averiado 1: 1 motor averiado 2: 2 motores averiados, 1º dia al puerto 3: 2 motores averiados, 2º dia al puerto 2. Propiedad Markoviana (Carencia de Memoria) El estado del barco en el periodo n+1 solo depende del estado del barco en el periodo n y de las probabilidades de averia y reparación. No depende de anteriores estados. 3. Probabilidades de transición estacionarias La probabilidad de transición de un estado a otro depende de las probabilidades de averiarse o ser reparado y estas son constantes y no depende del periodo n en que se encuentre. 4. Existe distribución de probabilidad inicial Estado inicial = 0 => Π = (1 0 0 0) Ampliación de estadística - 1 -
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Ejercicios de exámenes. Francisco Parreño Torres. Probabilidades de transición p 00 = P{( ¬ averia) (1 averia repara) (1 averia repara)} = = (0.9 × 0.9) + (0.1 × 0.9 × 0.6) + (0.1 × 0.9 × 0.6) = 0.918 p 01 = P{(1 averia ¬ repara) (1 averia ¬ repara)} = = (0.1 × 0.9 × 0.4) + (0.1 × 0.9 × 0.4) = 0.072 p 02 = P{(1 averia 1 averia)} = (0.1 × 0.1) = 0.01 p 03 = 0 p 10 = P{( ¬ averia repara)} = (0.9 × 0.6) = 0.54 p 11 = P{( ¬ averia ¬ repara) (1 averia repara)} = (0.9 × 0.4) + (0.1 × 0.6) = 0.42 p 12 = P{(1 averia ¬ repara)} = (0.1 × 0.4) = 0.04 p 13 = 0 p 20 = 0; p 21 = 0; p 22 = 0; p 23 = 1 p 30 = 1; p 31 = 0; p 32 = 0; p 33 = 0 Matriz de probabilidades de transición = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 04 . 0 42 . 0 54 . 0 0 01 . 0 072 . 0 918 . 0 P Diagrama de transiciones 1 3 2 0 0.918 0.072 0.54 0.01 1 1 0.42 0.04 b) Clasificar los estados de la cadena y hallar las clases de equivalencia. Todos los estados son recurrentes positivos y aperiódicos. Hay una única clase de equivalencia formada por todos los estados {0,1,2,3,4}.
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