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Unformatted text preview: Redes de colas Redes de colas Una red de colas es un sistema donde existen varias colas y los trabajos van fluyendo de una cola a otra Ejemplos: Fabricacin (trabajos=artculos) Oficinas (trabajos=documentos) Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes) Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas) 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 2 Enrutado de trabajos Criterios para decidir a qu cola se dirige un trabajo que acaba de salir de otra: Probabilstico: se elige una ruta u otra en funcin de una probabilidad (puede haber distintos tipos de trabajos, cada uno con sus probabilidades) Determinista: cada clase de trabajo se dirige a una cola fija 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 3 Tipos de redes de colas Se distinguen dos tipos de redes de colas: Abiertas: Cada trabajo entra al sistema en un momento dado, y tras pasar por una o ms colas, sale del sistema, Dos subtipos: Acclicas: Un trabajo nunca puede volver a la misma cola (no existen ciclos) Cclicas: Hay bucles en la red Cerradas: Los trabajos ni entran ni salen del sistema, Por lo tanto permanecen circulando por el interior del sistema indefinidamente, Usualmente existe un nmero fijo de trabajos 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 4 Red abierta acclica 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 5 Red abierta cclica 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 6 Red cerrada 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 7 Redes de Jackson abiertas. Definicin Una red de colas abierta se dice que es de Jackson sii: Slo hay una clase de trabajos Los enrutados son probabilsticos, donde rij 0 es la probabilidad de ir al nodo j despus de haber salido del nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonar del sistema despus de haber salido del nodo i, donde ri0 = 1 jrij Cada nodo i es una cola M|M|ci La tasa de llegadas externas al nodo i se notar i El nmero total de nodos de la red se notar K 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 8 Redes de Jackson abiertas. Ecuaciones de equilibrio Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que: i = i + j rji , i {1,..., K } j =1 K Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal con solucin nica, que resolveremos para hallar las tasas de llegada a cada nodo i 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 9 Redes de Jackson abiertas. Condicin de no saturacin Para que ninguna de las colas del sistema se sature, es preciso que se cumpla la siguiente condicin: i { ,2,..., K }, 1 i < 1, donde i = i ci i Nota: Se trata de la condicin de no saturacin del modelo M|M|c, aplicada a cada uno de los nodos por separado 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 10 Teorema de Jackson para redes abiertas Teorema: Sea una red de Jackson abierta que cumple la condicin de no saturacin, Entonces en el estado estacionario, la distribucin del nmero de clientes en cada nodo es la que sigue: p ( n ) = pi ( ni ), n1 ,... , n K 0 i =1 K donde pi(ni) es la probabilidad de que haya ni clientes en el nodo i, calculada segn las ecuaciones del modelo M|M|c 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 11 Consecuencias del teorema Corolario: Las medidas de rendimiento para cada nodo se calculan segn las ecuaciones del modelo M|M|c, Adems se tendrn las siguientes medidas: Tasa global de salidas del sistema (throughput), que es el nmero medio de trabajos que salen del sistema por unidad de tiempo, Coincide con el nmero de trabajos que entran en el sistema: red = i i =1 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 12 K Consecuencias del teorema Nmero medio de trabajos en el sistema, Lred, que es la suma de los nmero medios de trabajos en cada uno de los nodos: Lred = Li i =1 K Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el tiempo medio que pasa una tarea desde que entra en la red hasta que sale de ella: L Wred = red red 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 13 Consecuencias del teorema Razn de visitas al nodo i, Vi, que es el nmero medio de veces que un trabajo visita el nodo i desde que entra en la red hasta que sale: i { ,2,..., K }, Vi = 1 i red Nota: en una red acclica habr de cumplirse que Vi1 i{1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitar cada nodo a lo sumo una vez 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 14 Ejemplo (red acclica) 1,5 1 0,8 0,2 0,6 0, 4 2 4 5 1 3 0,5 6 i = 2 i {1, 2,..,6} Ampliacin de estadstica 15 19/04/2007 Ejemplo (red acclica) Ecuaciones de equilibrio: 1 = 1 ; 2 = 1r12 ; 3 = 1r13 ; 4 = 3 r 34 ; 5 = 3 r 35 + 6 r65 ; 6 = 6 En el ejemplo, 1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4; 6=0,5; r65=1; con lo cual la solucin es: 1 = 1,5; 2 = 0, 3; 3 = 1, 2; 4 = 0,72; 5 = 0,98; 6 = 0,5 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 16 Ejemplo (red acclica) Condicin de no saturacin (se cumple porque i<1): i = i i 1 = 0, 75; 2 = 0,15; 3 = 0,6; 4 = 0,36; 5 = 0, 49; 6 = 0, 25 Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1): Li = i 1 - i L1 = 3; L2 0,1764; L3 = 1,5; L4 = 0,5625; L5 0, 9607; L6 0,3333 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 17 Ejemplo (red acclica) Wi = 1 i - i W1 = 2; W2 0,5882; W3 = 1, 25; W4 = 0, 78125; W5 0,9803; W6 0,6666 Wqi = Wi - 1 i Wq1 = 1,5; Wq 2 0,0882; Wq 3 = 0,75; Wq 4 = 0, 28125; Wq 5 0, 4803; Wq 6 0,1666 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 18 Red abierta cclica 0,2 1 7 0, 0,3 2 0,1 0, 9 4 5 0,8 3 i = 3 i {1, 2, 4} i = 4 i {3,5} 19/04/2007 0,6 Ampliacin de estadstica 19 Ejemplo (red cclica) Ecuaciones de equilibrio: 1 = 1 ; 2 = 1r12 ; 3 = 3 + 1r13 + 5 r53 ; 4 = 3 r 34 ; 5 = 3 r 35 En el ejemplo, 1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; 3=0,8; r53=0,6; r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solucin es: 1 = 0, 2; 2 = 0,06; 3 2,0434; 4 0, 2043; 5 1,8391 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 20 Ejemplo (red cclica) Condicin de no saturacin (se cumple porque i<1): i = i i 1 0,0666; 2 = 0,02; 3 0,5108; 4 0,0681; 5 0, 4597 Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1): Li = 1 - i i L1 0,0714; L2 0,0204; L3 1,0443; L4 0,0731; L5 0,8511 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 21 Ejemplo (red cclica) Wi = 1 W1 0,3571; W2 0,3401; W3 = 0,5111; i - i W4 0,3576; W5 0, 4627 Wqi = Wi - 1 i Wq1 0,0238; Wq 2 0,0068; Wq 3 0, 2611; Wq 4 = 0,0243; Wq 5 0, 2127 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 22 Redes de Jackson cerradas. Definicin Una red de colas cerrada se dice que es de Jackson sii: Slo hay una clase de trabajos Los enrutados son probabilsticos, donde rij 0 es la probabilidad de ir al nodo j despus de haber salido del nodo i, Cada nodo i es una cola M|M|ci Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistema El nmero total de nodos de la red se notar K 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 23 Ecuaciones de equilibrio Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que: * = *j rji , i {1,..., K } i j =1 K Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal indeterminado con un grado de libertad, que resolveremos para hallar las tasas de llegada relativas a cada nodo i*, Para ello fijaremos un valor positivo arbitrario para una incgnita, por ejemplo 1*=1 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 24 Anlisis del valor medio Hallaremos las siguientes medidas de rendimiento para M tareas en el sistema: Li(M)=Nmero medio de tareas en el nodo i Wi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el nodo i cada vez que lo visita i(M)=Tasa real de salidas del nodo i Se trata de un algoritmo iterativo que va calculando Li(m), Wi(m) para valores crecientes de m a partir de m=0 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 25 Anlisis del valor medio Las ecuaciones son: 1 + L j ( m - 1) c j j *jW j ( m ) K W j (m) = , j {1,..., K } m {1,..., M } , j {1,..., K } m {1,..., M } L j (m) = m i =1 *Wi ( m ) i L j (m) W j (m) j (m) = , j {1,..., K } m {1,..., M } L j (0) = 0, j {1,..., K } 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 26 Red cerrada 1 1 0,3 0, 7 2 1 3 4 1 i = 5 i {1, 2,..,6} Ampliacin de estadstica 27 19/04/2007 Ejemplo (red cerrada) Ecuaciones de equilibrio: * * 1 = * r31 + * r41 ; * = 1 r12 ; 3 4 2 * * = * r23 ; * = 1 r 14 3 2 4 En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con lo cual la solucin es, tomando 1*=1: * 1 = 1; * = 0, 3; 2 * = 0, 3; * = 0, 7 3 4 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 28 Ejemplo (red cerrada) W j (m) = L1 ( m ) = m L2 ( m ) = m L3 ( m ) = m L4 ( m ) = m 19/04/2007 1 + L j ( m - 1) 5 , j {1,..., 4} W1 ( m ) W1 ( m ) + 0, 3 W2 ( m ) + 0, 3 W3 ( m ) + 0, 7 W4 ( m ) 0, 3 W2 ( m ) W1 ( m ) + 0, 3 W2 ( m ) + 0, 3 W3 ( m ) + 0, 7 W4 ( m ) 0, 3 W3 ( m ) W1 ( m ) + 0, 3 W2 ( m ) + 0, 3 W3 ( m ) + 0, 7 W4 ( m ) 0, 7 W4 ( m ) W1 ( m ) + 0, 3 W2 ( m ) + 0, 3 W3 ( m ) + 0, 7 W4 ( m ) Ampliacin de estadstica 29 Ejemplo (red cerrada) Primera iteracin: 1 + L j (0) 5 L j (0) = 0, j {1,..., 4} W j (1) = = 0, 2 j {1,..., 4} L1 (1) = 1 L2 (1) = 1 L3 (1) = 1 L4 (1) = 1 19/04/2007 0, 2 0,4347 2, 3 0, 2 0, 3 0, 2 0,1304 2, 3 0, 2 0, 3 0, 2 0,1304 2, 3 0, 2 0, 7 0, 2 0,3043 2, 3 0, 2 30 Ampliacin de estadstica Ejemplo (red cerrada) m W1(m) -W1(m) -W1(m) -W1(m) -L1(m) 0 L2(m) 0 L3(m) 0 L4(m) 0 0 1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,4348 0,1304 0,1304 0,3043 2 0,2870 0,2261 0,2261 0,2609 0,9483 0,2241 0,2241 0,6034 3 0,3897 0,2448 0,2448 0,3207 1,5360 0,2895 0,2895 0,8849 4 0,5072 0,2579 0,2579 0,3770 2,1913 0,3343 0,3343 1,1401 5 0,6383 0,2669 0,2669 0,4280 2,9065 0,3646 0,3646 1,3644 6 0,7813 0,2729 0,2729 0,4729 3,6737 0,3850 0,3850 1,5564 7 0,9347 0,2770 0,2770 0,5113 4,4852 0,3987 0,3987 1,7173 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 31 Ejemplo (red cerrada) 16 L 14 12 Cola 1 10 8 6 4 2 Cola 4 Colas 2 y 3 m 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 32 Ejemplo (red cerrada) W 3 .5 3 2 .5 Cola 1 2 1 .5 1 Cola 4 Colas 2 y 3 0 .5 m 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 33 Ejemplo (red cerrada) Utilizacin del servidor (%) U=/= L/(W) 100 90 80 70 Cola 1 Cola 4 60 50 40 30 20 Colas 2 y 3 m Ampliacin de estadstica 34 19/04/2007 Cuellos de botella Un cuello de botella en un sistema de colas es un nodo cuya capacidad de procesamiento determina el rendimiento de todo el sistema Definicin: Sea una red de Jackson cerrada. Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii Lj(m) cuando m En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de botella. Trabaja al lmite de su capacidad mientras que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para mejorar el rendimiento global del sistema habra que aumentar la capacidad de procesamiento del nodo 1 19/04/2007 Ampliacin de estadstica 35 ...
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This note was uploaded on 07/09/2009 for the course FIECS EC314 taught by Professor Ciriloalvarez during the Spring '09 term at Peru State.

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