Topología - Topología y Geometria Diferencial - Ivorra

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Unformatted text preview: Carlos Ivorra Castillo TOPOLOG ´ IA ALGEBRAICA CON APLICACIONES A LA GEOMETR ´ IA DIFERENCIAL Si simplemente hace girar la rueda, es ´ algebra; pero si contiene una idea, es topolog´ ıa. Solomon Lefschetz ´ Indice General Introducci´on ix 1 Topolog´ ıa 1 Cap´ ıtulo I: Preliminares topol´ogicos 3 1.1 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Variedades topol´ ogicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Espacios cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Cocientes de pol´ ıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Homotop´ ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Cap´ ıtulo II: Homolog´ ıa singular 27 2.1 S´ ımplices afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Complejos de cadenas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Grupos de homolog´ ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 El teorema de homotop´ ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Sucesiones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6 El teorema de escisi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Cap´ ıtulo III: Aplicaciones de la homolog´ ıa singular 61 3.1 La sucesi´on de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 La homolog´ ıa de las esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3 El teorema de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4 El teorema de Jordan-Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5 La homolog´ ıa de las superficies compactas . . . . . . . . . . . . . 75 Cap´ ıtulo IV: Complejos celulares 81 4.1 Adjunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Complejos celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 El teorema del homeomorfismo relativo . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.4 La homolog´ ıa de los complejos celulares . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5 Los n´umeros de Betti y la caracter´ ıstica de Euler . . . . . . . . . 100 4.6 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 v vi ´ INDICE GENERAL Cap´ ıtulo V: El ´ algebra homol´ogica 113 5.1 Categor´ ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2 Equivalencias homot´ opicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3 Productos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4 Productos de torsi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.5 Cohomolog´ ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Cap´ ıtulo VI: Productos 151 6.1 El teorema de los modelos ac´ ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.2 La homolog´ ıa de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.3 El producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.4 El producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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