Topologia y Teoría de Nudos

Topologia y Teoría de Nudos - Febrero...

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Unformatted text preview: Febrero 2002 • Otsaila 2002 63 ¿Qué es la Topología? &QU¡ ES LA TOPOLOGoA? Marta Macho Stadler (*) ... Además de aquella parte de la geometría que trata sobre cantidades y que se ha estu- diado en todo tiempo con gran dedicación, el primero que mencionó la otra parte, hasta entonces desconocida, fue G. Leibniz, el cual la llamó geometría de la posición. Leibniz determinó que esta parte se tenía que ocupar de la sola posición y de las propiedades pro- venientes de la posición en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades, ni su cálculo... Por ello, cuando recientemente se mencionó cierto problema que parecía real- mente pertenecer a la geometría, pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitía solución mediante el cálculo de ellas, no dudé en referirlo a la geometría de la posición... L. Euler. La topología es probablemente la más joven de las ramas clásicas de las matemáticas. En con- traste con el álgebra, la geometría y la teoría de los números, cuyas genealogías datan de tiem- pos antiguos, la topología aparece en el siglo diecisiete, con el nombre de analysis situs , ésto es, análisis de la posición . De manera informal, la topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que perma- necen invariantes, cuando dichas figuras son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas, de modo que no aparezcan nuevos puntos, o se hagan coincidir puntos diferentes. La transfor- mación permitida presupone, en otras palabras, que hay una correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura original y los de la transformada, y que la deformación hace corres- ponder puntos próximos a puntos próximos . Esta última propiedad se llama continuidad , y lo que se requiere es que la transformación y su inversa sean ambas continuas: así, trabajarnos con homeomorfismos . El topólogo considera los mismos objetos que el geómetra, pero de modo distinto: no se fija en las distancias o los ángulos, ni siquiera de la alineación de los puntos. Para el topólogo un círculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo: se dice que la bola y el cubo son objetos topológicamente equivalentes , porque se pasa de uno al otro mediante una transformación continua y reversible. El objetivo de este texto es indicar algunos de los problemas que estudia la topología y la noción de invarianza topológica . Tras una breve revisión histórica de los hechos cruciales en la evolución de la topología, se estudian de manera muy intuitiva tres teorías topológicas: • la teoría de grafos , insistiendo en dos ejemplos clásicos, el problema de los siete puentes de Könisberg y, el teorema de los cuatro colores que parecen un juego de niños, pero que invo- lucran en su resolución complicadas teorías matemáticas; • la teoría de nudos , con sorprendentes aplicaciones en Biología Molecular, Física,......
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