Matematica - Topologia - TOPOLOGIA GERAL Mauricio A....

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Unformatted text preview: TOPOLOGIA GERAL Mauricio A. Vilches Departamento de Anlise - IME UERJ 2 PREFCIO Provavelmente a topologia a mais novas das linhas da Matemtica clssica pois a topologia aprece no sequlo com o nome de Anlise Situs, isto anlise sa posio. Muitos autores concordam que o primeiro em tentar estudar propri, posteriormente Euler em publica a edades topologicas foi Leibniz em soluo do problema das pontes da cidade de Knigsberg, institulado "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis". As bases da topologia moderna foram cimentada no Congresso Internacional de Matemticos de em Roma, onde Riesz propoe um caracter axiomatico da topologia, baseado na teoria de conjunto, sem o conceito de distncia subjacente. Em , Hausdorff define os conjuntos abertos atravs de de axiomas, sem consideraoes mtricas. Existem outras vertientes onde a topologia echou novos impulsos para seu desenvolvimento, por exemplo, no Anlise Funcional e as Equaes Diferenciais Ordinarias, atraves de Banach e Poincar, respectivamente. A topologia utiliza os mesmos objetos que a Geometria, com a seguinte diferena: no interessa a distncia, os ngulos nem a configurao dos pontos. Na topologia objetos que podam transformase em outros, atraves de funes contnuas reversivis, so equivalentes e indestinguiveis na topologia. Por exemplo, crculos e elipses, esferas e paralelelppedos. A topologia pr-requisitos bsico em quasi todas as reas da Matemtica moderna, da Geometria Diferencial lgebra e fonte atual de efervecente pesquisa. Mauricio A. Vilches Rio de Janeiro 3 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reproduo parcial ou total 4 Contedo 1 Espaos Topolgicos 1.1 Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Subbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Topologia Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Pontos e Conjuntos Notveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Espaos Mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Conjuntos Abertos e Fechados em Espaos Mtricos 1.5.2 Espaos Vetoriais Normados . . . . . . . . . . . . . 1.5.3 Espaos Vetoriais com Produto Interno . . . . . . . 2 Funes em Espaos Topolgicos 2.1 Funes Contnuas . . . . . 2.2 Topologia Inicial . . . . . . . 2.2.1 Topologia Produto . 2.3 Funes Abertas e Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 12 15 18 21 23 30 31 33 34 37 37 42 42 45 49 49 54 58 61 65 65 68 69 75 78 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Homeomeorfismos 3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . 3.2 Exemplos de Homeomorfismos 3.2.1 Grupos de Matrizes . . 3.3 Homeomorfismos Locais . . . . 4 Topologia Quociente 4.1 Introduo . . . . . 4.2 Espaos Quocientes 4.2.1 Exemplos . 4.3 Teoremas . . . . . . 4.4 Aes de Grupos . -espaos . 4.4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6 4.4.2 CONTEDO Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 87 87 91 5 Compacidade 5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Compacidade em Espaos Mtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Axioma de Separao 6.1 Espaos de Frchet . . . . 6.2 Espaos de Hausdorff . . . 6.3 Topologia Quociente . . . 6.3.1 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 . 93 . 94 . 98 . 100 7 Conexidade 105 7.1 Aplicaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.2 Conexidade por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Bibliografia 116 Captulo 1 Espaos Topolgicos A seguir apressentaremos a definio de topologia que essencialmente a generalizao de algumas das propredades intrnsicas dos intervalos abertos em . 1.1 Conjuntos Abertos Seja um conjunto no vazio. Denotemos por a famlia de todos os subconjuntos de e por o complementar de em . Definio 1. Uma topologia sobre 1. uma famlia tal que: . 2. Dada uma famlia arbitrria , ento: 3. Dados , ento: Observaes 1. 2. O par chamado espao topolgico. Exemplo 1. Todo conjunto 1. Os elementos de so ditos conjuntos abertos de . no vazio possui as seguintes topologias: 7 64 75% 9 % @ ! 8 3 20 (& % 1! )' ! $# B QPI 9 @ ! I A FH ! GA EE9 8A CA F 99 D B T U S R " ! 8 1. CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS Exemplo 2. Seja de so uma topologia em 1. . Claramente, Exemplo 3. Seja Exemplo 4. Seja onde 6 745% 9 8 $ G ! ! % % 3 7& 64 75% ! %8 ! $ % % 8 ! 0 " 1! #( 3 64 75% 9 % @ ! 8 3 20 (& % 1! )' ! 8$# ! 9 ! ! ! ! ! 2 # 2 2 # # I 2 E # 9EU & ! E # 2 # D 2 D U B 2 2 # E # 2 # S # 2 2 E # 2 # S # D 2 2 2 # S # B 2 $ # I F I I 2 # F I , chamada topologia indiscreta. 2. , chamada topologia discreta. 3. Se tem mais de 2 elementos . . 2. 3. . . e so topologias para . no uma topologia em . A topologia e definamos a seguinte topologia: se, e somente se para todo existe um intervalo aberto 1. Claramente 2. Seja . , ento: De fato, seja e: , ento existe tal que . Verifiquemos se as seguintes famlias de subconjuntos , pois: dita de Sierpinski. tal que: ; logo, existe 1.1. CONJUNTOS ABERTOS 3. Sejam ; ento, dado , logo existem e . Se denotamos por 9 temos: Por induo: Se Exemplo 5. Seja e definamos a seguinte topologia: onde se, e somente se para todo tal que: existe um retngulo aberto De forma anloga ao exemplo anterior, uma topologia e tambm chamada euclidiana ou usual e ser denotada por . No difcil ver que esta topologia pode ser estendida a . Exemplo 6. Verifique que junto famlia: onde: um espao topolgico. (a) Se limitado inferiormente, seja 9 ' ! B$ # A 7 3 86 5 94 @7# # $ 3 # ' 2. Seja tal que 4! & 3 # " 1. , por definio. : , ento: 4. Esta topologia chamada euclidiana ou usual e ser denotada por D B # 2 D B # B A B B 2 D D B B ! C A ! ! ! B D !B 8A CA ! ! temos que tais que e , ento . . B QPI ! GA EE9 GA B A F 99 D ! I A FH 9 8A CA ! ! D B 2 & 2 0 & D ! ( # # $ 1 ) " 9 !$ ! ! # 2 ! &'& # $% D # " D ! 2D # D D 8A D D ! 8A ! D ! 8A ! B A ! D F ! # $ 3 e e , ! ! ! ! D 10 De fato, seja isto CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS , ento, existe e tal que ; logo, (b) Se no limitado inferiormente, ento: Exerccios 1. 1. Quantas topologias podem ser definidas no conjunto ? 2. Verifique que junto famlia: onde: uma topologia em . Exemplo 7. Seja um conjunto no vazio e: finito ou uma topologia para ? 3. Sejam e considere ; ento, # $ De fato, seja , ento, existe tal que contrrio, seria limitado inferiormente por , logo # $0 & ! ) 5 Seja , ento, ; logo, existe caso contrrio seria uma cota inferior de tal que maior que ; ento: ; caso . e: # $ & ) 4 ! ( # $ 2 $ # 3 3 4! & 3 92 ! & 3 F F 2 ! & G # C) 9 " ! # $ # $ # $ # 2 D & B & # B & 99 2 EE9 # F 9 7# 4 9 5# $ 3 A $ 5 ) 4 A 4! $ 94 @7# 9 B$ # $ A 3 & A $4! @47# 5 6) 9 3 ! ! & 94# 9 D # $ 3 & $# # $ , , # " ! # $ # $ 3 D ! ( 3 1.1. CONJUNTOS ABERTOS 11 2. Seja , ento: De fato: 3. Sejam a unio finita ou todo , pois cada conjunto finito ou todo . Observaes 2. 1. Seja com a topologia . O conjunto no aberto nesta topologia, pois seu complementar e no finito nem igual a . aberto. Nesta topologia os abertos so da forma: Mas, I Exemplo 8. Seja . Se para todo , , verifique que ! 2 %# ! " 2. Seja com a topologia Analogamente em . . Se finito, ento no aberto. . B QPI 9 2 ! I & I %# F 3 1 I 5. Se finito, ento . 4. Esta topologia chamada de cofinita e denotada B QPI B IP I A F 3 I A F H ! GA EE9 8A B A F 99 D % como finito, a interseo finita ou todo , ento: 6 5% 4 6 5% 4 % % H G 3 64 75% 9 % @ ! 8 3 . 1. Claramente, 1 F (& % 201! )' ! 8$# T R e pertencem a . . 12 CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS 1.2 Conjuntos Fechados Os conjuntos fechados so os duais dos conjuntos abertos, num espao topolgico. Veremos que a topologia num espao topolgico, tambm pode ser caracterizada atraves dos conjuntos fechados. Definio 2. Seja Exemplo 9. 1. . dito fechado em se e so fechados em . so , e 2. Seja ; ento os fechados de . (a) Primeiramente e so fechados em so fechados; de fato: . Os conjuntos (b) Por outro lado , e so fechados em : fechado em . I B QPI F3 2. Sejam conjuntos fechados em F EE9 D B 99 1. . Teorema 1. Seja espao topolgico e a famlia de conjuntos fechados; ento: ; ento: 2 E # 2 # 2 $ # 2 # 2 # 9 E & 2 # 2 # !& ! $ # 2E # 2 $ 9 E ! 2 # # 2 ## !! 22 # 2 2 # 3. Considere fechados de com a do exerccio [2], determine os conjuntos e no 2 E # ! 2 # T I R . T R ! . 1.2. CONJUNTOS FECHADOS 13 3. Sejam , arbitrrios tal que A prova imediata. De fato: Exemplo 10. Seja De fato, dado logo se ; ento todo conjunto finito fechado. pois Exerccios 2. Seja juntos finitos de . Observaes 3. com a topologia cofinita. Os fechados de so 1. O exemplo anterior vale em . 2. A propriedade de ser aberto ou fechado independe uma da outra. Um conjunto pode ser simultaneamante fechado e aberto, aberto e no fechado, fechado e no aberto ou nehum dos dois. 3. A unio infinita de conjuntos fechados pode no ser um conjunto fechado. Por exemplo, para todo subconjunto , temos: 4 9 2E # A 3 A 4. Uma topologia num espao topolgico tambm pode ser caracterizada, pelos seus conjuntos fechados. Exemplo 11. 1. Se tem a topologia discreta, todo subconjunto de aberto e fechado. 2. Seja com a topologia euclidiana; ento os conjuntos e so abertos. Como cada um deles complementar do outro, tambm so fechados. , ento fechado em temos que: , 1 2 %# B QPI B QPI 9 ! I F H T I F 3 R 6 5% 4 9 U ! % H 0 1! ( B IP 9 2 I %# F 3 F 99 2 F EE9 D B %# 2 %# ! T R 1 2# ! % , ento: ; e os subcon- 14 CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS 3. O conjunto no aberto nem fechado com a topologia usual e com a topologia cofinita de . Exemplo 12. Observaes 4. 1. As topologias sobre um conjunto no podem ser comparadas, necessariamente. Veja o exemplo: 2. Seja ento e com as topologias: no podem ser comparadas. sobre 4. No exemplo 1, temos: Exerccios 3. 1. Ache exemplo de um espao topolgico em que os conjuntos abertos so tambm conjuntos fechados. No considere a topologia discreta ou a indiscreta. (a) (b) As famlias definidas so topologias sobre D B D B D U B 2. Sejam e duas topologias sobre o conjunto no vazio a famlia formada por abertos comuns a ambas as topologias. a famlia formada pela reunio dos abertos a ambas as topologias. ? No caso negativo, ache um contra-exemplo. 9 I @ B F I 9 I GF I 3. Para toda topologia temos: D B 2 E # # "U 2 2 # # @ 2 e . Considere: a menos fina que a . De fato, seja Em fechado em e aberto em . D U @ B ! ' ' B D U B Definio 3. Sejam e topologia mais fina que topologias sobre . ' D B 2 E # . Se , ento dizemos que a D U 8 D ; ento finito; logo . 1.3. BASES 15 1.3 Bases Muitas vezes para introduzir uma topologia num conjunto no necessrio descrever todos os conjuntos abertos da topologia mas apenas alguns conjuntos especiais da topologia, os ditos abertos bsicos da topologia. . Seja um espao topolgico e uma base para uma famlia de subconjuntos de , temos que: Definio 4. se para todo Observaes 5. . 2. Para todo , se , ento, existe ! A 9 A A ED8 BC A ! D B 8A CA ! D B ! GA CA A 1. . tal que: Teorema 2. Seja . A famlia uma base de 9 8A ! % onde . Logo, existe tal que: A 4. Para todo existe tal que e uma base de , ento: . De fato, seja ; como se, e somente se ! 64 75% % 8A 3 0 ! ( ! A 3. Se uma base de topologia gerada por 2. Os elementos de so ditos abertos bsicos da topologia. dizemos que gera a topologia ou que ! % ! 8A 1. Como , ento toda unio de elementos de tambm pertence a . 4 9 A 3 ! 4 3 T S R ! tal que a 16 CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS Prova : Se uma base de alguma topologia , ento aberto; logo se escreve como unio de abertos bsicos. Se , ento , so abertos e aberto; logo se , existe um aberto tal que . Reciprocamente, se satisfaz 1 e 2 e se exitir uma topologia que tem como base, todo aberto nesta topologia pode ser escrito como unio arbitrria de elementos de . Definamos: unio arbitrria de elementos de Devemos provar que uma topologia sobre . Claramente ; por outro lado , pelo tem 1. Sejam , arbitrrios; cada , onde ; ento: D 8 B A 8A A % ! A ! GS C D B ! ( % % 9 T A 8 RA A GA % % 8 B D 3 3 3 % G 8A )C D % B ! G C D B A 3 3 % % 9 % % ! 8A 3 8A 3 3 Agora consideremos e , ento e , ento: Exemplo 13. 1. Uma topologia base de si prpria. 4. Logo, bases diferentes podem gerar a mesma topologia. I 3. Para FI 2. Para , a base , a base 2 ! & 2 %# # 2 # Definio 5. Os conjuntos . tal que . A ! ! A D B 8 C logo, aberto. O caso geral segue por induo. so chamados vizinhanas do ponto . Se por 2 existe , existe pelo menos um par de ndices tal que: tal que D A B 81 CA ! A B% A ! ! 92 % ! 8A D 8A B A A ! D A G B A % 8A 3 % A D B 8A CA ! & # 8 % ! ! D B ! 8A CA ; 1.3. BASES 17 gera a topologia usual ou euclidiana de . 1. 3. Para todo onde 1. Seja tal que e Exerccios 1. gera a topologia chamada do limite inferior em . 2. Sejam e espaos topolgicos. Verifique que: uma base para uma topologia de duto. 3. Em particular, sejam e Verifique que uma base para a topologia usual em . Verifique que no existe nenhuma topologia em 4. Seja que tenha como base: 5. Seja com a seguinte topologia: Verifique que: uma base para . 6. Verifique que em . uma base para a topologia discreta D 2 & ! # 9 2 2 % # 2 # 2 %$ # 2 # # 2 % # 9 2 2 # 2 # 2 # # 2 2 %$ # 2 % # 2 # # 2 D ! B ! & # . Esta topologia chamada pro. 2 ! # 2 ! & & # ! % T D R T B S R 2 # e tal que 2. Para todo , 2 D B # 5 D ! D B & B 7& D ! D B ! B ! 2 D B # 5 ! ! ! ! 1 8 ! 7& 3 De fato: . . 2 ! # , temos: . . Verifique que: . Exemplo 14. Seja e tal que 8 ! , ento: 18 CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS 1.3.1 Subbases . Proposio 1. Sejam um cojunto no vazio e uma famlia de elementos de tais que para todo existe tal que . Seja a coleo de intersees finitas de elementos de . Ento, a famlia formada por , e as unies arbitrrias de elementos de uma topologia para e a menor topologia que contm . Prova : Claramente e toda unio de elementos de pertence a . Mostraremos que qualquer interseo finita de elementos de est em , ou melhor, provaremos que se , ento : 1. Se ou vazio, est provada a proposio. e so no vazios. Ento: 2. Suponha que 4. Se outra topologia em que tambm contm , ento ; logo, deve conter as unies arbitrrias de elementos , isto . Ento a menor topologia sobre que contm . Isto , uma subbase de . Observao 1. Exemplo 15. Em geral no uma base de , pois os elementos de necessariamente, como unies de elementos de . no podem ser escritos, 3. Claramente . % Por outro lado e so intersees finitas de elementos de uma interseo finita de elementos de e, . 9 T 8 R A % ! A % 3 A 3 % 8 % 3 A A 8 % onde . Logo: , logo % % A 3 A G 3 ! ! A Definio 6. uma subbase de uma base de . se a coleo de intersees finitas de elementos de Seja um espao topolgico e uma famlia de subconjuntos de ! A A ! A ! % ! A 8 ! T S R tal que A 1.3. BASES 1. Toda topologia subbase de si mesma. 2. 3. . 19 de . 4. Sejam e espaos topolgicos; ento: uma subbase para a topologia produto em Topologia de Zariski A topologia de Zariski fundamental para o estudo de diferentes reas da lgebra, como por exemplo, lgebra Comutativa e Geometria Algbrica. Exemplo 16. Se , ento . Observaes 6. 1. e . Por outro lado: . De fato, se tal que 2. Sejam e . Denotemos e . Afirmamos que e , ento: todo para todo todo . e ; logo e para todo ou . Definio 7. A topologia que gera em chamada de Zariski. Denotemos por base para uma topologia em . A famlia forma uma ! para para 5 ! I F 9 E9 D B 9 E 9 2 ! I & F ! %# I 9 # 2 ! F E9 9 E D B ! I & I Seja Isto : ou . Consideremos a famlia dos polinmios de -variveis em . Seja: D 2 U ! B ! & # F F ! 2 ! & I 1"# T I R I 1! ! " I ! ! I T I R I C I I G I I ! B 2 ! 2 8 ! T D R T B S R & 1 # & 1 # uma subbase para a topologia usual de uma subbase para a topologia discreta ! " I . . D 1 D ! ! $ 20 Observaes 7. 1. Os CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS 2. Em , a topologia de Zariski a topologia cofinita. De fato, todo subconjunto finito em conjunto soluo para algum polinmio de uma varivel real. Por exemplo, se um polinmio que tem conjunto soluo . Por outro lado o conjunto de solues de um polinmio de uma varivel de grau possui no mximo elementos. Por exemplo, a reta um conjunto finito. soluo do polinmio Topologia de Zariski em Anis Seja um anel e denotemos por o conjunto de todos os ideais primos de . Consideremos a seguinte famlia de subconjuntos: 2 % ! & # % 1. 2. Definimos sobre a topologia de Zariski, como a topologia que tem . como conjuntos fechados os 3. Se denotamos por possvel provar que se Zariski : os abertos da topologia de Zariski, um ideal principal, a base para a topologia de um ideal principal 92 6 5% 4 T % R % $ % 1! % ! & 1"# 6 5% 4 H % onde um ideal de . e . Por outro lado: ) 3. Se a topologia de Zariski no a cofinita. que no 9 F E9 9 D B 9 D 2 F E9 9 E B # , ento: I so os fechados na topologia de Zariski. 1.3. BASES 21 1.3.2 Topologia Relativa Uma questo natural que surge das ltimas definies : fixada uma topologia num conjunto, um subconjunto no vazio herda de alguma forma esta estrutura? Seja um espao topolgico e Definio 8. O par dito subespao topolgico de so ditos abertos relativos. Exemplo 17. 1. Em geral, os abertos relativos no so abertos no espao total. Por exemplo, seja com a topologia usual e com a topologia relativa, ento aberto em pois e no aberto em . 2. Seja com a topologia usual. e so subespacos topolgicos tais que a topologia relativa a topologia discreta. De fato, se ento: e A topologia gerada por estes conjuntos dita topologia estendida. Seja com a topologia relativa; ento a topologia euclidiana. Proposio 2. Seja 1. Seja para 2. . subespao topolgico de uma base de ; ento Prova : 3. Se fechado (aberto) em em . e fechado (aberto) em fechado se, e somente se , onde 201! & A # S T R . , ento 9 2 # 2)S! A # 0 & T R 3. Seja com a topologia gerada por: uma base fechado. fechado (aberto) ! T S R 9 T 1 R 1 ! 2 1 # 2 # 2 1 # 2 # T R 2 uma topologia sobre chamada topologia relativa a 2 ! & $# S & T R ! , ento: . . Os elementos de % # 22 1. Imediata. CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS Exemplo 18. com a topologia relativa dito crculo unitrio. Os abertos relativos em so os arcos abertos de crculos. Figura 1.1: Abertos relativos de 2. Em geral, seja com a topologia usual. O conjunto: com a topologia induzida, chamado esfera unitria. B B QPI 9 2 DI F & B F ! B F F E9 9 B # F B F D 2 D 1 D & D ! # B B 1. Seja com a topologia usual. O conjunto 3. Como e ambos so fechados em , ento fechado em logo, fechado em . Reciprocamente, se , onde fechado, ento: 9 T R 2. Se fechado, ento , onde aberto em , onde ; por outro lado: aberto em ; logo 1.4. PONTOS E CONJUNTOS NOTVEIS 23 1.4 Pontos e Conjuntos Notveis Nesta seo estudaremos alternativas para determinar se um conjunto aberto, e/ou fechado. Definies 1. Seja 1. um espao topolgico e 7. Um conjunto onde todos os pontos so isolados dito discreto. 8. dito denso em se: Observaes 8. Seja 1. Se e : , ento 9 8 T S R 6. um ponto isolado de se vizinhana de , onde as unies so disjuntas. O conjunto de todos os pontos da fronteira de denotado por: 2 %# 5. um ponto da fronteira de se aderente a ea . . O conjunto de todos os pontos de acumulao a denotado por: 9 T 2 %# R 4. um ponto de acumulao de se para toda vizinhana de temos: . O conjunto de todos os pontos aderentes a dito fecho de A. denotado por: 9 3. um ponto aderente a se para toda vizinhana O conjunto de todos os pontos exteriores a denotado por: 9 2. um ponto exterior a se interior a . O conjunto de todos os pontos interiores a denotado por: de 9 ! um ponto interior a se existe vizinhana de T U S R ! ! ! ! ! ! tal que: . temos: . O conjunto 24 2. 3. 4. CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS : Logo, disjuntas, temos: e como , onde as unies so sendo a unio disjunta. 8. 9. um conjunto fechado, pois . que aberto. 1. 2. 3. 4. 5. 1. e so discretos. Exemplo 20. Sejam 2 # 2 # 2 # 1 5 . . Exemplo 19. Sejam com a topologia usual e ; ento: . . . e e com a topologia usual. A ! , temos: se , ento 7. Para todo ento existe vizinhana de tal que , ento . . De fato, se , , isto ; como A &! 6. Para todo de tal que 2 # A 5. O conjunto fechado. De fato, que aberto. , ento existe . vizinhana , temos . De fato, se , isto ; logo 8 R T &! S A A A ! &! & ! T 8 R T R 9 T R ! se, e somente se existe uma vizinhana de tal que &! T R T R &! e . e, por definio, um conjunto aberto. , isto T 8 R 8 U A 1.4. PONTOS E CONJUNTOS NOTVEIS 2. 3. 4. 25 e nais. , pois nenhum intervalo aberto pode ser formado apenas por racio, pois todo intervalo aberto contem racionais e irracionais. denso em . Proposio 3. Sejam Prova : 9 e fechado Teorema 3. Seja isto : & H TU R 3. anterior 2. Como fechado, pelo . e ; ento o menor conjunto fechado que contem se , ento existe uma vizinhana isto aberto fechado. de tal que S ! 1. Suponha fechado; ento vizinhana de tal que . aberto. Se ; ento &! 1 8 ! &! &! ! 2. 1. fechado se, e somente se . T S R 6. . e : . , ento , logo existe isto ; logo Mas, todo intervalo contm nmeros racionais, logo existe , logo o que uma contradio. ! 9 ! ! ! De fato, suponha que existe tal que: , ento existe . Como ! ! ! 5. , isto , ! . aberto, tal que , 26 CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS Exemplo 21. 1. Seja 2. Seja onde a topologia discreta. Como todos os subconjuntos de so fechados, o nico conjunto denso em . 3. Seja (a) Pelo teorema temos que: (b) Logo, o menor fechado que contm (c) Note que Teorema 4. Sejam isto : denso em e . Proposio 4. Sejam 2. . Em particular, aberto se, e somente se Prova : T R 1. . Em particular, T U S R ( ) Seja , ento existe pelo menos um e . fechado se, e somente se . ; ento Prova : ( ) aberto e . tal que e aberto , isto . ! 9 & 3 2 5 # E # 2 9 5 % # 2 $ # $ # 5 # 2 2 2 9 2 5 % # 2 % # 2 %$ # 2 # # 2 2 5 % # T U S R T I R ; ento 2 # 2 # E # 2 com a seguinte topologia: ; ento ( ) fechado e ; ento . e . e . o maior conjunto aberto contido em 2 &! T , ento tal que , ento que aberto; logo, existe pelo ; como aberto, existe vizinhana de tal que ; logo . ! ! R ! & ! E # 2 T U S R 2 # ! Prova : ( ) Se menos um . , ! 1.4. PONTOS E CONJUNTOS NOTVEIS 27 1. Por definio ; por outro lado , ento . Reciprocamente, seja . Se est provado. Se , ento toda vizinhana de tal que , isto , . Exemplo 22. 1. Seja (a) (b) (c) 2. Seja ; ento: , . e . . ; ento: (a) Para todo tal que , temos que . . e (b) Para todo no vazio, tal que (c) Para todo . (d) Para todo 3. Seja tem mais de um elemento, ; . ; ento: (a) Para todo temos que . . (b) Para todo (c) Para todo (d) Para todo temos que . temos que temos que 2 %# e fechado e fechado G T I S R 8 2 %# T F I S R 2 C E # # 2 2 # 2 # E # 2 2 # 2 # E # 2 T I S R e aberto 8 2. Se , ento e os conjuntos abertos complementares dos conjuntos fechados tais que anterior: ! & ! & & & T 2 %# R ! ! 9 T R H 3 3 so exatamente os . Pelo exerccio 28 4. Seja CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS (d) Para todo . Exemplo 23. aberto tal que infinito, Considere 1. 2. 3. e . Ento . , se e somente se , se e somente se Exemplo 24. 1. Seja 2. Seja ; para todo ; para todo tal que , temos que . temos que Proposio 5. So equivalentes as seguintes condies: 4. . , ento Prova : . Logo, . Suponha que bsico no vazio tal que no contm pontos de . ; como ; como Seja aberto bsico no vazio tal que que uma contradio pois fechado. ; ento aberto, ento existe , e T R Se , logo . 3. Todo aberto bsico no vazio de 1 T R G 2. Se fechado e , ento 1. denso em . . contm elementos de . 8 , se e somente se T R Exerccios 2. Seja e fechado. aberto e fechado. aberto. 8 e (c) Para todo tal que infinito, e se finito, ; caso contrrio . . (b) Para todo tal que infinito, (a) Para todo temos que S T R G & ! T R T I R T F I R ; ento: . . . ,o aberto ; logo 1.4. PONTOS E CONJUNTOS NOTVEIS 29 Exerccios 4. Seja e defina a seguinte topologia em Observao 2. Seja subespao de ; ento: Ento: 1. fechado em ; por outro lado, . Logo, ; logo 2. ; logo fechado em . Logo, 9 Exemplo 25. Seja relativa. com a topologia usual e 2 # # # 3. 1 2. 1 1. . . . com a topologia Verifique que uma topologia e que denso em . e denotemos por o conjunto 2 # 9 2 ! & ! # ! : como subconjunto de aberto e . 30 CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS 1.5 Espaos Mtricos Uma importante classe de exemplos de espaos topolgicos a dos espaos mtricos. Seja Definio 9. Uma mtrica ou distncia sobre tal que, para todo 1. 2. 3. e , tem-se: . . Observao 3. O par Exemplo 26. 1. chamado espao mtrico. um espao mtrico com a mtrica: dita mtrica discreta. Exemplo 27. uma espao mtrico com: onde e . F ! F EE9 D B 99 F I B I I B QPI I I F B QPI D I I F B D F EE9 D B 99 F 3 2. uma espao mtrico com em . 9 ' se se , onde se, e somente se 3 3 . 3 !3 1 3 4! % 6 3 3 . uma funo: o valor absoluto 1.5. ESPAOS MTRICOS Exemplo 28. Seja o conjunto de todas as funes limitadas Como a soma e a diferena de funes limitadas limitada, ento: 31 uma mtrica em Exerccios 5. . (Verifique!) 1.5.1 Conjuntos Abertos e Fechados em Espaos Mtricos Definio 10. Uma bola aberta em de centro e raio denotada e definida por: " Exemplo 29. Seja isto , as bolas abertas so os intervalos abertos. Exerccios 6. 1. Determine a topologia definida pela mtrica discreta. 2. Determine, geometricamente, as bolas abertas em anteriormente. Proposio 6. As bolas abertas num espao mtrico formam uma base para uma topologia no espao mtrico. Prova : De fato. " " " 1 A 3 9 2 & 3 ! %# 'A " " , com ; ento: F ) 3 Seja um espao mtrico e ! D B Verifique que e so mtricas em T ! R " D $D 7B 2. Seja o conjunto das funes contnuas tal que 1. Verifique que no exemplo [27], temos: . Defina: . . com as mtricas definidas 3 ! 9 D 94 B 3 'A . 3 A T ! R " 3 32 1. Claramente: 2. Seja . CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS De fato, seja Observao 4. A topologia gerada por esta base chamada topologia mtrica gerada pela distncia , e ser denotada por . Exerccios 7. Seja um espao mtrico: Verifique que um conjunto fechado. 3. Sejam e espaos mtricos. Definamos em onde (a) . Verifique que: (b) Se uma bola aberta em e uma bola aberta em uma base para uma topologia em O espao topolgico Exemplo 30. Seja a topologia discreta. . Observao 5. Nem todo espao topolgico metrizvel. Exemplo 31. Se possui mais de 2 pontos, no metrizvel. , onde a mtrica discreta; ento & 2 %# $ 'A T F I S R dito metrizvel se uma topologia mtrica. ; logo uma mtrica em . Esta mtrica dita mtrica produto. 4! D D B B 3 D B $D 1 D B 7B D ( D B ( B T D ! R T B !3 R 3 2 D A B A # D A 3 3 3 T ! 3 R T S R B A 2. Seja finito. Verifique que 9 2 & 3 ! %# A " " " A 3 ) 1. Seja 9 1 1 " " " 'A ! 9 'A A " 'A ) " " " 8 A ! 9 @4 'A 3 3 ; ento ; ento ; logo ; como ; temos: e: . Consideremos ! 3 fechado. : , ento: 1.5. ESPAOS MTRICOS 33 1.5.2 Espaos Vetoriais Normados Definio 11. Uma norma sobre Observao 6. O par chamado espao vetorial normado. Exemplo 32. 1. uma espao vetorial normado com: onde 2. . um espao vetorial, sendo: uma norma em Observaes 9. . 1. Seja um espao vetorial normado. Definindo: temos que um espao mtrico. 9 @4 F I B I B QPI I F D B QPI DI F )B 3 A 9 F ! F E9 9 D B ' 3 A ! " F 3. 1 1 2. . 1. Se , ento . tal que, para todo e , tem-se: . ! ! % Seja um -espao vetorial. uma funo: 34 CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS 2. chamada mtrica proveniente da norma . Exerccios 8. 1.5.3 Espaos Vetoriais com Produto Interno Definio 12. Um produto interno sobre 1. Se 2. 3. 4. , ento . . tal que, para todo ) 1 ) G) 1 ) G) ) G) ) 0 ) ! ! % ) e , tem-se: . . Seja um -espao vetorial. uma funo: onde norma produto. . Verifique que uma norma em D 1 B 2. Sejam e espaos vetoriais normados. Definamos em . Esta norma dita T Verifique que e so espaos vetoriais normados. : B 4F 9 2 F # B F F P ! TD R TB R R T R Definamos em (b) & 2 1 2 ! UF %# B F & %# F P & %# e em , respectivamente: (a) , . 1 2 1 4FTF R 1. Sejam uma seqncia em e: . 1.5. ESPAOS MTRICOS Observaes 10. 1. Seja 35 3. Nem toda norma num espao vetorial provm de um produto interno. Exerccios 9. 3. Sejam e espaos vetoriais com produtos internos vamente. Definamos em : . onde . Verifique que um produto interno em T 2. Verifique que D B ) D B ! D D B B D @) D B 1 B ) D B G) D D B B D B D ) B ) R T e D B R 4 F 5F R T 1. Sejam uma seqncia em e considere e como o exerccio [8]: so espaos vetoriais com produto interno. e , respecti- ) 2. chamada norma proveniente do produto interno temos que um espao vetorial normado. . ) 0 ) " um espao vetorial com produto interno. Definindo: 36 CAPTULO 1. ESPAOS TOPOLGICOS Captulo 2 Funes em Espaos Topolgicos 2.1 Funes Contnuas A continuidade de uma funo um dos conceitos centrais em quasi todas as reas da Matemtica. E o primeiro paso para tentar distinguir objetos diferentes em topologia. Sejam Definio 13. A funo contnua se para todo Observaes 11. 1. 2. Uma funo contnua no leva, necessariamente, abertos em abertos. Por exemplo se tal que no a topologia discreta, ou se tem mais de dois elementos e no a topologia indiscreta. Exemplo 33. 1. Toda funo constante contnua. contnua se, e somente se B GU D T U S R T B S R D D B 2. Seja tal que e so topologias em . A funo identidade: . 37 contnua se a imagem inversa dos abertos de so abertos em D ! 9 B ! T R B D D U T U R D T D R T B S R e espaos topolgicos. temos que: . 38 3. Sejam e CAPTULO 2. FUNES EM ESPAOS TOPOLGICOS contnua. 4. Sejam e . Toda funo contnua. 5. Sejam Se e espaos vetoriais normados de dimenso finita. linear, ento contnua. contnua. Proposio 7. Sejam 1. Se , e espaos topolgicos. e so contnuas, ento: contnua. 2. Se contnua e subespao topolgico, ento: contnua. 3. Se contnua e subespao topolgico, ento: contnua. Prova : De fato, se , a continuidade de implica que em ; logo qualquer topologia onde for contnua deve conter T RB T R CT R T R T U R T B S R D Observao 7. Seja menor topologia sobre . A topologia relativa tal que a funo incluso: pode ser caracterizada como a deve ser aberto . T D ) R T B R " T F I R T S R T R T I S R ! . Toda funo 2.1. FUNES CONTNUAS 39 1. Segue do seguinte fato: 3. . Teorema 5. Sejam e condies so equivalentes: 1. espaos topolgicos e . As seguintes contnua. 5. 6. , para todo . , para todo . , para todo Prova : Seja uma base da topologia de e ; como contnua, aberto em . A prova da recproca segue de que todo aberto pode ser escrito como: e que: Como contnua e que vizinhana de aberto (vizinhana de e: ), consideramos T RA B D ! 64 75% 64 75% 9 T 8 RA B % % T GA R B 3 3 ! A 64 75% % GA 3 9 T R De fato, . 4. Para todo e para toda em tal que: vizinhana de em , existe 3. A imagem inversa por de qualquer elemento da base (subbase) de (no necessariamente um aberto bsico ou subbsico de ). 9 8 R T T R B C R B T A T RA B T RA B T R T R ! 2. Para todo fechado, fechado em . aberto em vizinhana de 2. Note que contnua. , onde a incluso; pelo tem anterior T R B $T R R B T R B $T R R B T T B B B T R T RB T D R T B R T R B 40 CAPTULO 2. FUNES EM ESPAOS TOPOLGICOS ento . Seja ; ento se se contnua. Observaes 12. 1. Pelo teorema, basta utilizar os abertos bsicos da topologia para estudar a continuidade de uma funo. " 2. dita contnua no ponto para . se o item [4] do teorema anterior vale 3. Sejam e espaos mtricos; ento: ) 9 D A T B RA $D ) contnua em implica em , se para todo . Isto : , existe tal que 7B 3 ! T D !3 R T B ! 3 R 3 ! " Como e so abertos, ento 9T RB T T A C R B R 8 T T T T A R contnua. T RB T RB RB R B R R B T R B Prova : Seja fechado, ento: Corolrio 1. Seja (abertos) em . Se para todo tal que e , ento a funo , onde e so conjuntos fechados so funes contnuas tais que definida por: ! T R Seja e a vizinhana de tal que ento ; logo: A !! A ! A T R A A T A R B A T T A R B R T R T R T 8 R ! T R T 8 R T R T R T R ! T R ! ; provaremos que . Denotemos por , onde vizinhana de . Se , ; 2.1. FUNES CONTNUAS 41 Pela propiedade anterior, basta provar que Temos trs casos: 3. Se , ento: 4. Nos trs casos, os conjuntos . Ento Proposio 8. Seja ambos os conjuntos: so abertos; logo contnua se, e somente se para todo e so abertos. Prova : Seja . Consideramos topologia euclidiana; logo: e elementos da subbase da Exemplo 35. A condio que ambos os conjuntos sejam abertos no pode ser ignorada. Por exemplo, a funo caracterstica de , no contnua. De fato, considere ; ento no aberto e todos so abertos, Logo, na proposio ambos os conjuntos devem ser abertos. Exerccios 10. Sejam 1. 2. e com as seguintes topologias: , respectivamente. Ache to- das as funes contnuas entre as funes contnuas entre e e . e , respectivamente. Ache todas e . 2 ) & % # 2E & %# 2 E T ! R B 9 T ! R B 9 2E 2 9 $ 8T ! R B 2 2 # # D 2 & # 2 7& 2 2E # # DU 2 2 # 2 # 2 # S # B 2 2 # 2 # 2 # # B 2 # & %# %# T ! R B & & %# T 1 R B ) 1 !$ ) & %# T R T ' R 2. Se , ento: 9 T 7& R B 1. Se , ento: Exemplo 34. Seja com topologia usual. Verifique que T ! R B D contnua. aberto. contnua. 8 ! 42 CAPTULO 2. FUNES EM ESPAOS TOPOLGICOS 2.2 Topologia Inicial Sejam , um conjunto no vazio e uma funo. possvel achar uma topologia para tal que seja contnua? Por exemplo se , ento contnua. Seja um conjunto no vazio e: uma subbase para uma topologia sobre que torna contnua. Definio 14. dita topologia inicial para . 2.2.1 Topologia Produto Sejam , e . Denotemos por: Note que: so a subbase e a base que geram uma topologia sobre es contnuas. Esta topologia dita topologia produto. Esta a menor topologia com esta propriedade. Isto , todo existe , aberto em e aberto em tal que ! 2 D ! B ! & # D 2 U ! B ! & T R B D T R B B # as respectivas projees cannicas, onde e . e , que torna as proje aberto se para . T I S R E D 9 G 9 2 U ! & T R B # D ( 7B T R B D T R B B ) T R B D T R B B D E B D T U R T B S R 8 TD R ! 2.2. TOPOLOGIA INICIAL 43 XxV V UxV U UxY Observao 8. Todos os argumentos nesta seo so vlidos para uma quantidade finita de espas topolgicos. Exemplo 36. 1. tem a topologia produto induzida pela topologia de . Se consideramos em a topologia usual, ento a topologia em tambm a topologia euclidiana ou usual. um conjunto fechado. De fato, seja com topologia usual e consideremos a funo definida por: contnua e S1 S 1 Figura 2.2: O toro 4. Seja com a topologia induzida de produto, dito toro. , ento com a topologia T 3. O cilindro T 2 #RB 9 5 B DF 1 DF 1 9EE9 1 DD 1 BD B F F EE9 D 9 99 B F 2. ; logo, fechado. tem a topologia produto induzida pela topologia de F B B D F D Figura 2.1: Elementos de e . D EE9 F 99 B F B B F F B . 44 Proposio 9. Sejam e CAPTULO 2. FUNES EM ESPAOS TOPOLGICOS , , e definamos: , espaos topolgicos, por . Ento, contnua se, e somente se e so contnuas. Reciprocamente, se as ento: so contnuas, seja um aberto bsico de logo, contnua. por . Se e e so contnuas, ento Prova : Sejam Como: as respectivas projees. so contnuas, ento contnua. Se e so contnuas, ento contnua. Prova : Sejam que tal que ; a funo contnua. Ento 1 9 1 Proposio 11. Sejam um espao topolgico e normado. Como possui uma estrutura algbrica, dadas definir a nova funo: T R um e D B e contnua. -espao vetorial podemos , contnua. tal Proposio 10. Sejam espaos topolgicos, , , , e definamos: , T R T R T R T G R T R B D 8 R B B T R B T B DE 5 D B D 7B ( D B D B D B T D R T B S R , se D 1 B D B 1 T 1 R 1 D E B D B T B S R D B Prova : Sejam Como e contnua, ento as respectivas projees. so contnuas ( ). ; B I I I B I D 5 D B D 7B D T G R T G R T U R T B S R D I 2.3. FUNES ABERTAS E FECHADAS Proposio 12. Sejam 45 e definamos a nova funo: Se Observao 9. 2.3 Funes Abertas e Fechadas Sejam Definio 15. A funo: Exemplo 37. 1. A funo identidade: aberta (fechada) se, e somente se . 2. As projees so abertas. 3. As projees no so fechadas. Por exemplo, seja com a topologia usual e considere as projees ,( ) e o conjunto: 9 2 & D ! # D I D U @ B T U S R T B S R D aberta (fechada) se para todo (fechado) em . aberto (fechado) em , temos que , mas no contnua quando T 8 R T D R T B S R e 5 A prova de que Veja [EL2]. e so contnuas segue do fato de serem ambas contraes. espaos topolgicos. Prova : Sejam que 6 5 5 5 ( 5 ( ( ( 9 ( R( ( ( e e so contnuas, ento contnua. ; a funo tal que contnua. Ento e , contnua. tal aberto D U B 46 CAPTULO 2. FUNES EM ESPAOS TOPOLGICOS 4. Se e com a topologia discreta, ento contnua, fechada e no aberta. Observao 10. Seja Seja bijetiva. Ento aberta se, e somente se aberto; logo fechado e logo, fechada. Proposio 13. Seja 1. 2. 3. . So equivalentes as condies: aberta. , para todo . ; ento ; por outro lado aberto e maior aberto contido em ; logo . T R T R Prova : 9 ! 4. Para todo e toda vizinhana de , existe leva abertos bsicos de em abertos bsicos de fechado em e 2 # I Figura 2.3: e a projeo , que aberto. definida por 2# fechada. De fato. tal que: o D 2 E # T R ! 2.3. FUNES ABERTAS E FECHADAS 47 ; ento: logo, aberto bsico. Para cada . Considere Seja ; logo: , seja . vizinhana de ; existe ento, aberta. Proposio 14. Prova : Se fechada se, e somente se fechado e . fechada, ento , logo: Exerccios 11. contnua? 2. Sejam , e : espaos topolgicos. Considere (b) Se da)? aberta (fechada) e contnua e sobrejetiva, ento aberta (fecha- (a) Se e so abertas (fechadas), eno aberta (fechada). 1. Seja A funo: & F $ T R T G R T D R T B R 2 ! C $# & & ento, e fechado. com a topologia induzida pela topologia usual de . Reciprocamente, seja fechado, logo: aberto; para todo existe vizinhana 9 ! 3 4 ! Seja aberto bsico de T R ! ; aberto bsico tal que tal que e 48 CAPTULO 2. FUNES EM ESPAOS TOPOLGICOS 3. Verifique que so equivalentes: (a) fechada. , ento 4. Toda funo fechada? 5. Toda funo aberta e fechada? (c) Se (b) Se fechado, ento T R T R T ' R T R 2 B & ! # D U ! 2 B & ! # B ! (c) Se aberta (fechada) e contnua e injetiva, ento . fechado em aberta (fechada)? . Captulo 3 Homeomeorfismos 3.1 Introduo Um dos problemas centrais em topologia poder decidir se dois espaos so diferentes ou no. Por exemplo, no trivial dizer que um cilindro diferente de uma esfera, se uma esfera diferente de um toro ou se diferente de , se . Neste captulo comearemos com os primeiros conceitos que nos permitiro responder a algumas destas questes. Definio 16. contnua. um homeomorfismo se bijetiva, contnua e Observaes 13. 1. A composta de homeomorfismos um homeomorfismo. 2. Ser homeomorfo uma relao de equivalncia na famlia dos espaos topolgicos. 3. Veremos nos prximos pargrafos que os espaos topolgicos homeomorfos tem as mesmas propriedades topolgicas. Isto , se consideramos as classes de equivalncia, teremos que espaos homeomorfos so essencialmente iguais em topologia. 4. Uma funo bijetiva e contnua no necessariamente um homeomorfismo. Veja o seguinte exemplo. 49 9 Se e so homeomorfos utilizamos a seguinte notao: B Sejam e espaos topolgicos. A F 5 50 Exemplo 38. e 1. Sejam topologias usuais. 2. Definamos 3. CAPTULO 3. HOMEOMEORFISMOS por contnua e bijetiva. 4. Por outro lado, Exemplo 39. Consideremos e o conjunto onde ambos com topologia induzida pela topologia usual de . Ento: 1. Seja definida por: bem definida e contnua. ) Ento Logo, e , para todo uma bijeo contnua que no um homeomorfismo. ! 9 T BB FF E9E9 BB R B F EE9 B 99 9 F 9 F B F 2# ! I 9 9 2 B DF B DF 9EE9 1 BD BD & B F ! B F E9 9 B # B F F 5 B F B F F B Seja ; para cada , pois o arco F F F ! 1 F ! B B , seja maior que a corda. Figura 3.1: . tn zn p B D B com as respectivas topologias induzidas pelas . F descontnua em . De fato: , logo e 9 B 2 # D 9 T R # D B 9 ( D 1 D ) B # D 9@ B 2 # D B 2 D D 1 D & ! # D D 2 # D D Figura 3.2: Dois espaos homeomorfos a definida por: . Ento: F ' 9 T B F B F 9 9E9 B B R B F 9 9E9 B F por: e com topologia induzida pela topologia usual de Exemplo 40. Consideremos usual de e os conjuntos F 3.1. INTRODUO 2. Definamos 3. Ento, bem definida, contnua e morfo a . e 2. Definamos 1. Seja bem definida, contnua e inversa de . Logo: bem definida e contnua. so topologicamente "iguais". por: com topologia induzida pela topologia . Logo, homeo51 52 CAPTULO 3. HOMEOMEORFISMOS bem definida e contnua. 4. Definamos bem definida, contnua e inversa de . Logo: Teorema 6. Seja 1. 2. 3. 4. homeomorfismo. contnua e aberta. contnua e fechada. , para todo Segue do pargrafo anterior. Como contnua, ; como fechada, aberto em . contnua se, e somente se para todo aberto Prova : 9 T D 1 D 1 R por: bijetiva. So equivalentes as condies: . : B T B R Figura 3.3: 9 D 1 D 1 e B 9 B & B & 3. Por outro lado, definamos B por: B & . 3.1. INTRODUO Corolrio 2. Seja 53 . O grfico de Considere e somente se com a topologia induzida pela topologia produto. Ento . Prova : De fato, definamos por ento bijetiva e contnua. Por outro lado, se que contnua, aberto: Corolrio 3. Seja 1. 2. . homeomorfismo e . Exerccios 12. 1. Sejam , temos: e . Verifique que para todo e Em particular, 2. Verifique que . no homeomorfo a . e D B e 3. Sejam equivalentes se , ento , espaos mtricos. Dizemos que as mtricas e so um homeomorfismo. Verifique que se definidas anteriormente so equivalentes. 1 ! 9 2 %# D B F T 3 R T R T D 3 3 R T B ! 3 R ! T R T R B F 2 # F F 2 # que um aberto relativo. Reciprocamente, . , ento: D $ T R 2 ! & # $ $ $ 2 %# 2 # ! 3 9 2 ! & # $ definido por: contnua se, e para todo 54 CAPTULO 3. HOMEOMEORFISMOS 3.2 Exemplos de Homeomorfismos , com a topoA) Seja com a topologia usual. Ento, todo intervalo aberto logia induzida pela topologia usual de , homeomorfo a . De fato: 1 1. Seja definida por: contnua. Logo: B) Sejam e o quadrado induzida pela topologia usual de ; ento: em a b u d z c Figura 3.4: D 9 B D 2 2 # & # 9 ! 3. Ento, dos tens anteriores : B . bijetiva e contnua e: 1 2. definida por: 9 ! contnua. Logo: 1 28 B 1 bijetiva e contnua e: ! ! B com a topologia v w 3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 55 , o segmento em e onde e um homeomorfismo. ; claramente e so contnuas; logo , claramente, um homeomorfismo. Os conjuntos e so ditos hemisfrios de . Note que . O conjunto chamado equador de ; claro que: Isto , podemos considerar como o equador de . Figura 3.5: como equador de F F F F F B F 9 B F F F 2 F ! & F ! # 2 F ! & F ! # B F F F D) Seja sideremos com a topologia induzida pela topologia usual de . Denotemos por: B F 9 F F 9 9E9 D D B B F EE9 D B 99 ( 9 E9 E9 9 9 9 F B F B F F Se e , , onde . Por outro lado, ( -vezes). Definamos: EE9 F 99 "% ! F 99 EE9 F F F 1 ! DF para todo . F DF DF C) Sejam e ambos com a topologia usual. Ento: ( -vezes) . Con- e B R B D 1 D 2 # 5 T 5 5 R Definamos segmento em mandando o segmento em e o segmento em , isto: B F ,o 56 Consideremos a projeo: CAPTULO 3. HOMEOMEORFISMOS De fato, a funo: Figura 3.6: E) Projeo Estereogrfica : Seja logia usual de e De fato. Seja considere a semi-reta definida da seguinte forma, seja ; ento , onde a interseo de 2 # F ! F A F , com a topologia induzida pela topo, ento: bem definida, contnua com inversa contnua . e D 9 F A F B F ! F "2 # F 9 F 2 # F 9 E9 9 B F B F F F A Se projeo: , , logo ; ento B F CA F 9 F F F ! . Via a ; com 3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS o semi-plano definido por 57 : logo, bijetiva e contnua e: De fato: ) 3. , para todo e todo 2. As homotetias homeomorfismos. definidas por , 2# ! ! 1. As translaes morfismos. definidas por , ! 1 'A F) Seja um espao vetorial normado; ento: so homeoso e contnua. D D 9 F EE9 D B B F 99 B F B F 1 B F ! 1 )B F F , homeomorfo a e ; ento: p x ( z) ( x) z 9 D 1 D F 1 9 E9 B 1 Figura 3.7: Definio de B B T " R D B 58 CAPTULO 3. HOMEOMEORFISMOS 3. Definimos o homeomorfismo 3.2.1 Grupos de Matrizes Da lgebra Linear sabemos que o conjunto formado pelas matrizes de ordem , tendo como entradas elementos de ou , um -espao vetorial. Fixemos ; o caso complexo anlogo. Denotemos este espao vetorial por: Seja . Definamos: 1. claramente um isomorfismo de espaos vetoriais. 2. Via o isomorfismo , o espao topolgica de . 3. Utilizaremos a mtrica usual de . 9 99 99 F A 9E9 9 B A EE9 BF EE9 BD BB F T R A F 3 herda toda a estrutura linear e para introduzir uma topologia em T R A F 3 que contnua e bijetiva; ; logo, um homeomorfismo. 9 T R A F 3 1 B A F A T R A F 4! I 3 A F para todo e . Agora definamos 'A 'A 'A ) ! logo, um homeomorfismo. Ento: T R A F 3 2. so bijetivas, contnuas e 1. so bijetivas, contnuas e B B , que contnua. , que contnua. por: por: 5 3.2. EXEMPLOS DE HOMEOMORFISMOS 4. Dada 59 uma norma em Logo, um espao topolgico. que o torna um espao vetorial normado. a matriz transposta de . 6. imediato que contnua com inversa contnua. Logo: 7. Denotemos por ; ento . definida indutivamente: onde e a matriz omitindo a -sima linha e a -sima coluna de . (c) A funo 9. A funo tambm um grupo, chamado linear geral real. Seja em o conjunto das matrizes invertveis de ordem . . De fato: $ I B QPI I B I B I F multilinear, logo contnua. aberto 9 2 # B $ (b) Se , seja e: multilinear, logo contnua. BB (a) Se , T R F 3 ) I BB T R F 3 $ 8. Seja com a topologia usual. A funo: . F T R F 3 9 F T R A F 3 A T R F F 3 T R F 3 8 B 5. Note que , onde B 9 I P I D B D F T R A F 3 )B T R A F 3 ! I , definamos: B $ , que se obtem 9 ! & B B . De fato: $ 9 # B 2 2 & $ T R B 4! $# $ 2# 9 ! & 2 # 2 # 9 2 # 2 # B . De fato: 3 e 9 . ! ! 8 ! $ 60 1. Denotemos por onde matriz identidade. Logo, grupo, chamado ortogonal. 2. Denotemos por 3. um grupo, chamado ortogonal especial. so fechados em B T R F 4. 5. Seja , denotemos por definimos: 7. 6. De forma anloga, os grupos , e so ditos, linear complexo, unitrio e especial unitrio, respectivamente. um isomorfismo de grupos. um isomorfismo de grupos. isomorfo a isomorfo a definido por: , definido por: CAPTULO 3. HOMEOMEORFISMOS . De fato: . De forma anloga ao caso real, um 3.3. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 61 3.3 Homeomorfismos Locais Observao 11. Proposio 15. Se Prova : Seja um homeomorfismo local, ento aberta. tal que: Observao 12. Homeomorfismo implica homeomorfismo local, a recproca falsa. Exemplo 41. Seja com a topologia usual e topologia usual de . Ento: um homeomorfismo local. 1. Denotemos por 2 & B ! # 2 ) & B ! # 2 & B # D 2 ) & B # SB ! ! e B I D B que aberto em . Logo, aberta. 4 3 T 4 R 3 4 3 onde . Como: . Seja . Pela observao anterior com a topologia induzida pela , . aberto; para cada existe vizinhana de ! Sejam aberto , abertos e um homeomorfismo; ento para todo , temos que aberto em , logo aberto em . aberto em Definio 17. Seja existe vizinhana de homeomorfismo. . dito homeomorfismo local se para todo tal que aberto em e um ! , ( D T B R B B D D B B T B R B B B B T B R ) 9 B B I D ( B B B & $ & ' $ 1 $ ' $ D $!& 1 1 B 1 & & & S2 62 2. Sejam S1 , . Figura 3.8: CAPTULO 3. HOMEOMEORFISMOS S3 , e 4. A funo contnua 3. Definamos: um homeomorfismo. De fato, . B D B $B 7. Definamos: 6. Logo, um homeomorfismo. 5. Consideremos: , Como , ento propiedades bsicas de Trigonometria Figura 3.9: Homeomorfismo -1 1 por por um homeomorfismo e 1 1.5 . Logo, pelas um homeomorfismo: . . possui a seguinte inversa S4 3.3. HOMEOMORFISMOS LOCAIS 63 possui a seguinte inversa 9. De forma anloga, um homeomorfismo. um homeomorfismo e 11. Como intervalos destes tipos cobrem . Por exemplo: 4 F 9 $ 1 & 3 Ento, um homeomorfismo local. Observao 13. 1. Este exemplo mostra (por que?) que, em geral, um homeomorfismo local no homeomorfismo. 2. Em particular, uma funo aberta (no fechada). Exemplo 42. De forma totalmente anloga: e: so homeomorfismos locais. Exerccios 13. 2. Seja (a) (b) (c) com a topologia usual, os seguintes subespaos so homeomorfos? e e . . e 2D & D 2 &D ! ( # 2 D & D ! # ! # 2 & D ! # D 1. Sejam e com a topologia induzida pela topologia usual de , so homeomorfos? 10. De forma anloga as anteriores, verifica-se que e . D I D I D B B D I D B D T D R B D D D T D R B D D E D 7D 8. A funo contnua um homeomorfismo. De fato, . 64 CAPTULO 3. HOMEOMEORFISMOS (d) 3. Seja um espao topolgico e denotemos por: homeomorfismo Verifique que: (a) um grupo com a composta de funes, um isomorfismo de grupos? (Note que 4. e no so homeomorfos) abeliano? Caso contrrio, quando abeliano? (b) Se e com a topologia induzida pela usual de , defina: 92 $ $ 2 D & D ! ( # 2 e & # $ $ T B S R & D ! # . $ Captulo 4 Topologia Quociente 4.1 Introduo A topologia quociente a fonte dos mais importantes exemplos de espaos topologicos e sero a parte central desta notas. Neste captulo introduziremos os exemplos clssicos na Matemtica, como a faixa de Mbius ou Moebius, os espaos projetivos reais e complexos e a garrafa de Klein. Sejam , um conjunto no vazio e a seguinte topologia: Exemplo 43. 1. Seja 2. Seja e com a topologia usual; definamos Ento, por . a topologia quociente em 65 9 ' ) se se se induzida 2 E! # E # 2 # # 2 2 2 ! ! # Suponha que e se aberto, logo para todo . Seja . Se , ento , ento . Isto , qualquer subconjunto de a topologia discreta sobre . por: ! " ! B ! constante. Determine . "" &! B " Definio 18. dita topologia quociente em induzida por . 9 2 ! B & # T U S R sobrejetiva. Definamos em 66 CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE Definio 19. Sejam , e sobrejetiva. A funo sobrejetiva que induz a topologia quociente chamada uma identificao se . Observao 14. 1. Se uma identificao, em . aberto em se, e somente se 3. Nem toda funo bijetiva e contnua uma identificao. Por exemplo: uma identificao se, e somente se . 4. A composta de identificaes uma identificao. Exemplo 44. com a topologia induzida pela topologia usual de 1. Seja Definamos o conjunto dos pares no ordenados: onde o antipodal de . De forma natural temos a seguinte funo sobrejetiva: 2. Seja com a topologia induzida pela topologia usual de . Definamos o conjunto dos pares no ordenados: onde o antipodal de . De forma natural temos a seguinte funo sobrejetiva: tal que de dimenso . . O par 2 DF ! & 2 %# # F T F R F DF dito espao projetivo complexo tal que dimenso . . O par dito espao projetivo real de B F 2 F ! & 2 %# # F D @ B T U S R T B S R D T F R F F T R B B DF B F D DF DF 2 %# 2 %# B F F 2. Se se uma identificao, para todo , em geral . temos que T B R B 1 T R T R ! Prova : De fato, sendo outra topologia em aberto em , ento . e se para todo ! Proposio 16. A topologia quociente a mais fina sobre que torna contnua. temos que B aberto , mas . 4.1. INTRODUO 67 3. Considere o cilindro com a topologia induzida por . Definamos o conjunto dos pares no ordenados: De forma natural, temos a seguinte funo sobrejetiva: Exerccios 14. Proposio 17. 1. Sejam e espaos topolgicos, aberta (fechada); ento uma identificao. Prova : Exemplo 45. 1. A funo: sobrejetiva, contnua e aberta; pela proposio [17] uma identificao. I D B 2. Como aberto; ento identificao. T R B B B B 1 T B R ! ento sobrejetiva. Seja tal que aberto em ; logo uma topologia em 1. Seja aberta, para todo , ; como contnua, ento . Como aberto em ; logo . seja uma 2. Sejam e espaos topolgicos, tal que , ento 3. Considere 2. Verifique que B 1. Verifique que . . possvel definir,como antes, um espao projetivo? D B B tal que 2 D 1 D & ( # . O par 9 2 8 & 2 # # 3 ! 3 T 3R 2 # dito faixa de Moebius. uma funo sobrejetiva, contnua e uma funo contnua. Se existe uma identificao. 68 2. Analogamente: CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE uma identificao. Teorema 7. Propriedade universal da topologia quociente Sejam , espaos topolgicos e uma identificao. Ento, para toda contnua se, e somente se contnua. aberto em ; logo 4.2 Espaos Quocientes Funes sobrejetivas podem ser obtidas de forma natural utilizando classes de equivalncia de alguma relao de equivalncia. Seja uma relao de equivalncia sobre equivalncia em . Definamos: e o conjunto das classes de Observao 15. Definio 20. Seja ciente de . um espao topolgico. O par T R onde a classe de equivalncia que contm ; naturalmente sobrejetiva. dita projeo cannica e dito espao quo- B Reciprocamente, seja aberto; ento aberto em , pela definio da topologia quociente, contnua. B T R T B R B B T R Prova : Se contnua e contnua, ento I D I D D B D // ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ contnua. . Como T R 4.2. ESPAOS QUOCIENTES A projeo cannica: 69 aberto em . 4.2.1 Exemplos A seguir apresentaremos vrios exemplos de homeomorfismos, a maioria bastante intuitivos. Nos prximos pargrafos, teremos ferramentas suficientes para provar estes homeomorfismos. Por enquanto, ficaremos apenas com a parte geomtrica. Exemplo 46. Seja com a topologia induzida pela topologia usual de . Consideremos em a relao de equivalncia: ou 1 0 9 B T R ' e e: T Logo, R Se logo ; ento : e se ; ento e se , ento 1 [0]=[1] 0 Figura 4.1: uma identificao. Note que bijetiva salvo para 2 # naturalmente uma identifio. Note que 9 ' 2 ! & ! %# T R B T R 2 # 2 # 2 %# aberto 2 %# ! ; 70 Observao 16. CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE Nos seguintes exemplos, as setas indicam o sentido dos pontos que esto na mesma classe de equivalncia. com a topologia induzida pela topologia usual de Exemplo 47. Seja deremos em a relao de equivalncia: ou e para todo 1. Observe que se 2. Em particular, , ento e . e . e e Figura 4.2: Exemplo 48. Seja com a topologia induzida pela topologia usual de deremos em a relao de equivalncia: ou para todo 1. Observe que se , ento 2 # e D 3. Ento para uma identificao. Note que bijetiva salvo D B 2 # 2 B %# . Consi. 2 # 9 B B B ( T D R T D R D D ! B ( B ( B B B ( B D ! B ( B ( B B D D D D . Consi- D D 4.2. ESPAOS QUOCIENTES 2. Em particular, 71 e . bijetiva salvo e e onde a faixa de Moebius. (0,b) (0,1-a) (0,a) (0,1-b) Figura 4.3: Nos prximos captulos, verificaremos que a faixa de Moebius homeomorfa a uma superfcie parametrizada em : Figura 4.4: Faixa de Moebius Exemplo 49. Seja com a topologia induzida pela topologia usual de deremos em a relao de equivalncia: ou e para todo D 3 T D R . Consi- D ! B B ( B B ( B B D D D T ( 3 3. Ento para D R D uma identificao. Note que D e . Consi- T D R T D R D 2 ( # D ! B ( B ( B ( B B B ( ( 2 ( # e com a topologia induzida pela topologia usual de Exemplo 50. Seja deremos em a seguinte relao de equivalncia: D D D 9 B B T D R T D R D ( , , e 72 2. Em particular, 1. Observe que se , ento 3. Ento para , ento . uma identificao. Note que e para todo 2. Em particular, 1. Observe que se 3. Ento para . uma identificao. Note que . 4. chamada garrafa de Klein. Note que a garrafa de Klein contm uma faixa de Moebius. , , e , ento Figura 4.5: CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE ou . . e bijetiva salvo bijetiva salvo e se e 4.2. ESPAOS QUOCIENTES 73 Figura 4.6: Garrafa de Klein Observaes 14. 3. O subsepao 1 naturalmente homeomorfo a I 0 Xx I CX X Figura 4.7: Seja contnua. Ento tal que contnua. De fato, basta considerar o diagrama comutativo: Observao 17. 2 ! & # 2. Intuitivamente ponto. obtido de onde identificamos 2 # 1. A classe de equivalncia dita vrtice de Exemplo 51. Seja usual de . O cone sobre 9 T R e denotado por com a topologia induzida pela topologia , onde: . a um . 74 onde . CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE ou Observaes 15. 1. Intuitivamente a um ponto. 2. O subsepao obtido de onde identificamos naturalmente homeomorfo a 1 SX XxJ 0 -1 Figura 4.8: Observao 18. Seja contnua. contnua. Ento tal que 2 # 2 # e . Exemplo 52. Seja A suspenso denotada por 9 com a topologia induzida pela topologia usual de . , onde: 2 & # 4.3. TEOREMAS 75 4.3 Teoremas Lema 1. Sejam , e relaes de equivalncias em e respectivamente. Se contnua e preserva as relaes, ento existe uma nica , contnua que torna o seguinte diagrama comutativo: Teorema 8. Sejam e espaos topolgicos e uma relao de equivalncia definida em tal que: Prova : Consideremos: I 5 5 T R ento, existe contnua e bijetiva. B B T R 4. Como , e so contnuas., pelo teorema [7], B T D R T B "$ R $ 3. Suponha que existe tal que um tal que diagrama comuta. tal que o diagrama comuta. Existe pelo menos um , como sobrejetiva, existe pelo menos . Isto uma contradio, pois o contnua. contnua e sobrejetiva. Se $ D B 2. Pela definio, . B D )B B B 1. A funo bem definida. De fato, seja ; logo , isto ; ento . B " B Prova : Definamos . , ento Alem disso, se uma identifio, ento uma identificao. D B ! D B T R T R " D B Definio 21. Sejam vamente. Dizemos que ento . , e relaes de equivalncia em e respectipreserva as relaoes se para todo tal que , ! ! 76 CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 1. Pelo lema [1], definimos ; logo bijetiva. Corolrio 4. Com as hipotses de teorema 8, so equivalentes: 1. uma identifio. um homeomorfismo. 2. Prova : Pelo teorema [8], basta provar que aberta. Observe que para todo temos que . aberto aberto em aberto em aberto em , pois tem a topologia quociente induzida por . Corolrio 5. Nas hiptese do teorema [8], se um homeomorfismo, ento: Prova : Seja Exemplo 53. ! existe existe tal que tal que 9 ED )B D 1 F UB Seja e . Consideremos topologia induzida. Definamos: com a topologia usual e ! ! 1 D D B B 3. contnua, pois B B D UB B B 2. bijetiva e contnua. 1. Pelo teorema [8], definamos por . e contnua. com a T R B T R T R 9 T R T R B " B B 2. Se , ento . Ento , isto B B 8 B B " B " . Logo, contnua e sobrejetiva. 4.3. TEOREMAS 77 Seja tal que Pelo teorema: Exerccios 15. com a topologia induzida pela usual de 1. Seja e relao de equivalncia definida por e . Considere com a topologia quociente, verifique que: com a topologia induzida pela usual de 2. Seja , onde a topologia definida por: se, e somente se . Se relao de equivalncia definida por . Verifique que com a topologia quociente homeomorfo a com a topologia induzida por . 3. Seja com a topologia de Zariski e para todo homeomorfo a 1 T & R ! ! D B T & R T & E E T 2 # R T 2 # @ . relao de equivalncia definida por . Verifique que com a topologia de Zariski. com a topologia quociente I I T & F R F E9 9 D ( B 9 9 B T R T R existe tal que D ) D F )B 1 9 D B D ) 1 F D F D B B ! ) ; F B F EE9 9 9 9 9 E9 D B R D R T U R homeomorfismo. Por outro lado: logo F B 78 CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 4.4 Aes de Grupos Seja um conjunto e Definio 22. O grupo funo: atua pela esquerda sobre tal que: 1. 2. , para todo e a identidade de e . . Em tal caso, , para todo -conjunto. Exemplo 54. 1. Sejam um espao topolgico e um homeomorfismo um grupo no comutativo com a composta de funes. Definamos: Ento, 2. Seja um e -conjunto. . Definamos: onde 3. Seja o antipodal de . Ento, e um -conjunto. . Definamos: Ento, um -conjunto. 92 $ 4! 9 1 9 $ D B ! $ D F ' F F $ & # $ $ D ! C T $ R T $ R ! TD B R T T D R F T 1 R $ D5 R B $ $ um grupo. se existe uma dito $ B $ ! $ $ 4! B F 9 B F B F um $ F B F 9 D I D B I D D B B D B I D B 92 D 9 F T . Definamos: 9 1 5 1 D 1 D B & D ! D B # D B ! I D I D I D I D B B 1 1 8 R 2 & $ ! & D ! # & D D 5 5 D D D T 1 D R D 4.4. AES DE GRUPOS 4. Seja 5. Sejam ; ento 6. Seja por . De fato, se : Ento, Ento, um -conjunto. um e -conjunto. . Definamos: tem uma estrutura de grupo multiplicativo induzida , ento . Consideremos I D Ento 7. Seja Definimos: um e Proposio 18. Seja por Prova : Note que ; logo est bem definida e , ento um -conjunto. bijetiva. e que para todo e -conjunto. Para todo o grupo ortogonal. Definamos: e , temos . Ento Definio 23. Seja um -conjunto. Definimos: definamos: -conjunto. . Logo, . 79 80 1. O estabilizador de CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE um subgrupo de . 2. A rbita de por: Exerccios 16. Verifique que: 1. Para todo 2. , ou so disjuntas. , (unio disjunta). Se um cia: -conjunto, podemos definir sobre isto : Denotemos por o conjunto das classes de equivalncia desta relao. Se um -conjunto, temos a projeo cannica, que sobrejetiva: Logo, se um -conjunto que espao topolgico, podemos dar a topologia quociente. $ & 9 $ " ! 9 $ & existe tal que ' $ 4! $ $ & $ 4.4.1 -espaos a seguinte relao de equivaln- $ B $ ! % Seja ; ento o estabilizador do ponto 9 8! & I D # 2 D B 9 D I D B I D D B : D B I D B Exemplo 55. Consideremos como um -conjunto, com a ao: 92 B 9 2 4! # $ & $ & $ ! # $ ! $ por: ! $ ! D B 4 3 $ $ a 4.4. AES DE GRUPOS Definio 24. Seja um espao topolgico que um se contnua, para todo . Exemplo 56. -conjunto, dito 81 2. 3. um -espao. um Observaes 16. 2. Se um -espao, ento existe um homomorfismo de grupos: Proposio 19. Se um -espao a projeo cannica: aberta. para algum para algum para algum que aberto, pois Exerccios 17. 1. Prove que se um homeomorfismo. 2. Ache exemplos de -espaos, onde $ finito, ento fechada. seja finito. 2 0! $ 2 4! ! $ 2 ! Prova : Seja aberto, devemos provar que equivalente a provar que aberto em aberto em . De fato: e 1. Se um -espao a funo um homeomorfismo, para todo , o que $ 4! $ & 9 5 $ $ 2 & & ! & $ $ & ! & T 4 RB 3 4 3 ! %# ! %# ! %# ! %# $ $ T R B D 1. um -espao. -espao. $ $ $ 4! D -espao $ $ $ D &D & D &F . 82 CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 4.4.2 Exemplos Agora estamos em condies de verificar alguns dos homeomorfismos vistos anterirmente. A) Seja com a topologia usual e ; ento: 2. Observemos que se consideramos como grupo aditivo e multiplicativo (multiplicao induzida por ). Ento: isto , um homomorfismo de grupos com ncleo . 3. Para todo , . 5. Ento, uma identificao, pelo corolrio [4] temos: // {== {{ {{ {{ { B) Seja com a topologia usual e pela usual de , ento: ' onde ou . B T 2 # 2 %# & R B Logo um homeomorfismo, onde 9 B & B ' 1 4. um -espao com a operao tal que . . Logo, existe , logo: com a topologia induzida ! B I D I D I D 1 1. Seja tal que definida por I D 1 ! 9 B & B com a topologia induzida pela usual de ! B . Veja o exemplo [41] . como grupo 4.4. AES DE GRUPOS 83 1. Seja tal que definida por . Analogamante ao exemplo anterior, uma identificao; pelo corolrio [4], temos: // == zz z zz z zz 3. Ento: C) De forma anloga, temos que: onde com a topologia induzida pela topologia usual de , consideremos a relao de equivalncia: ou e o toro de revoluo em , parametrizado por: O homeomorfismo: fica para os prximos captulos. D T &D R ) onde e . 9 D D B B D & D T ) 9T 9T & R 1 1 & R B B B B & D ! ) &D R D B ( B D ! B B ( D D 2. Logo um homeomorfismo: I D B e para todo B 84 CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE homeomorfismo homeomorfismo sobrejetiva e contnua sobrejetiva e contnua Prova : Com as notaes anteriores, definamos: e Proposio 20. Com as notaes anteriores: Prova : T 8 R B 3. contnua. Sejam que aberto em topologia quociente, devemos provar que . T $ T R B T R B T R R T T & 6$ T $ RR & R G " ! 2. naturalmente bem definida e bijetiva. aberto; devemos provar , isto , pela definio de aberto em & $& ll lll lll ll vvlll // $& 1. Definamos , isto , 9 5T & R T $ & R T T D B No difcil provar que um -espao e um homeomorfismo. : T 0$ R 9 T R T R T R T R ( S $ R T " $R Lema 2. Sejam um -espao e um -espao. Ento um $ 9 & $ & S T Sejam um -espao e um -espao, onde T R T $R e $ R $R $ $ so tais que: -espao. 9 D B B 9 1 5 1 ( 5 D D D D U 5 D D D D $ D um B B B B B T $T R B R B B B G , ento 4.4. AES DE GRUPOS 4. Ento, Sejam Exemplo 57. que aberto, pela definio da topologia quociente. e -espao, e: . Definamos: ; logo: 85 86 CAPTULO 4. TOPOLOGIA QUOCIENTE Captulo 5 Compacidade Do Clculo sabemos que funes contnuas definidas sobre conjuntos limitados e fechados possuem um ponto de mximo e um de mnimo absoluto (Teorema de Weierstrass) e da Anlise conhecemos o teorema de Heine-Borel sobre intervalos encaixados. As formulaes de compacidade em espaos topolgicos envolve muito mais do que o conceito de fechado e limitado, os quais no so equivalentes. A importncia principal da compacidade que ela nos permite obter propriedades globais a partir de propriedades locais. Existem vrias formas de introduzir o conceito de compacidade em espaos topolgicos. Ns escolhemos a seguinte. 5.1 Introduo Seja um espao topolgico e Definio 25. 2. Se finito, a cobertura dita finita. 87 9I 4 I 3 4. Se , ento uma cobertura se: 3. A cobertura dita aberta se os so conjuntos abertos. 9I 4I 3 !I 1. Uma cobertura de uma famlia de subconjuntos 2 ! & I # . tal que: 88 CAPTULO 5. COMPACIDADE com a topologia usual. 2. Seja de . ; ento Exemplo 59. A seguir, somente consideraremos coberturas abertas. Definio 27. Um subconjunto uma cobertura finita. Em particular, compacto, se todo cobertura de admite uma cobertura finita. Observaes 17. 1. Os conjuntos finitos, em qualquer espao topolgico, so compactos. 2. A unio e a inteseo finita de compactos um compacto. Exemplo 60. 1. Seja 2. Seja . Todo compacto. . compacto se, e somente se finito. e Exerccios 18. Seja com a topologia induzida. 5. Para todo , um subespao. ! ! 4. no compacto, pois finita. 2 8 ! & 1 # compacto. Veja [EL1]. compacto se, e somente se compacto 3. Se discreto infinito, ento no so compactos. no compacto. Em particular, no possui uma cobertura dito compacto, se toda cobertura de um subrcobertura de . 2 ! & 1 # existe Definio 26. Sejam . Se para todo subcobertura de . e tal que coberturas de , ento, dizemos que uma 2 # I & ! '& # # 3. 1. Seja aberta de ; ento . uma cobertura aberta uma cobertura aberta de . 2 & 2 ! & $ & ! & $ ! ! & 2 ! & I # 2 8! & 1 # 2 8! & 1 # & # $ # & T I R T F I R Exemplo 58. Seja uma cobertura no admite 5.1. INTRODUO Proposio 21. So equivalentes as condies: 1. 89 Prova : A prova segue diretamente das leis de de Morgan. Por exemplo: equivalente a contnua. Se Proposio 22. Seja compacto em . compacto, ento Prova : um recobrimento de ; ento uma Seja cobertura de ; como compacto, existe subcobertura finita , onde finito. Como , ento uma subcobertura finita de . Corolrio 6. Observao 19. Nem todo subconjunto de um espao compacto compacto. compacto. Em particular, seja . Ento definida por compacto em . O toro Exemplo 61. O trao de uma curva contnua D D ! 2. Se , ento compacto se, e somente se compacto. compacto. tal que tambm compacto. 1. Se compacto e contnua e sobrejetiva, ento particular, se tem a topologia quociente induzida por , ento compacto. Em compacto. no 2 & 2 ! '& # # & ! '& # B # 2 ! & I B # 9 % 45% 3 # ento existe uma subfamlia finita tal que: % B 9 QPI % F H 99 2 % EE9 % % # 5% 4 % H 2. (Propriedade da interseo finita) Se fechados e: % 2 ! ( & # # B & B D & 4 5% % H 2 ! &I# compacto. tal que os so 90 CAPTULO 5. COMPACIDADE Proposio 23. Se compacto e uma cobertura de , onde cada aberto em Prova : Seja ; ento uma cobertura de ; como compacto, possui um subcobertura finita, que pode ser: Reciprocamente, seja definio: uma cobertura aberta de ; logo compacto; , ento admite um subcobrimento . Seja: % uma cobertura aberta de ; como compacto, admite uma subcobertura finita ; ento: Logo, existe subcobertura finita de , provando que compacto. uma cobertura finita de que: I& ! & ! 9 99 2 E9E9 I & 5 EE9 & # # 9 & 2 5 9 E9 5 # , isto , para cada e , existe 2 # 9 $ # # # 2 % # %# 2 9I uma cobertura aberta de . Por outro lado, para cada , temos que como tambm uma cobertura de finito , onde 2 ! & " & # # # ! B PQI HF ! 99 2 EE9 & I I # # 2 ! & # # onde aberto em e aberto em , ento: e Prova : Se compactos. compacto, como as projees so contnuas, ento 4 7# T # # R 3 2 ! & # Proposio 24. e so compactos se, e somente se compacto. e so ; por onde finito. Logo um subcobertura finita de ou . I 2 # 2 ! & I # 2 2 2 # 2 ! & I # ! & I # ! & I # fechado, ento compacto. tal 5.2. COMPACIDADE EM ESPAOS MTRICOS Corolrio 7. pacto. Exemplo 62. 1. so compactos se, e somente se 91 no compacto. 2. Se , ento compacto. 4. O toro no homeomorfo ao cilindro 5.2 Compacidade em Espaos Mtricos Proposio 25. Sejam e espaos mtricos tal que contnua, ento uniformemente contnua. Prova : existe tal que se , enComo contnua, para todo to . Seja ; uma cobertura aberta de ; por compacidade, admite um cobertura finita . Denotemos por , ento dados tais que , temos . Isto , se para algum , e: Proposio 26. Seja fechado e limitado. e , ento para todo , existe Prova : Provemos que fechado. Se tal que ; logo possui uma cobertura ; como compacto, existe uma cobertura finita ; ento o que uma contradio, pois ; logo . Por outro lado, para todo : logo, limitado. & I $D I 1 $D I A ! 9 2 9 E9 & # 9 ! % 2 E9E9 C & I A # & 2 ! ) & A # ) B B " F QPI GA 3 9 E9E9 $ A $8A 7CA " " D " B " 3 ! A 9 ! A 2 E9E9 & A # ) 2 ! & A # ! &! !" T ! 3 R 3 9 & 1 & I D 1 I $D 6 $D 6 I I 7B 7B $D um espao mtrico. Se compacto, ento logo 3 B T D R T B ! 3 R 3. O toro compacto. . F EE9 D B 99 B B D 9 E9 9 F F EE9 D B 99 com- 3 F compacto. Se 92 Observaes 18. CAPTULO 5. COMPACIDADE 1. Em geral, a recproca desta proposio falsa. De fato, seja com a mtrica discreta tal que infinito; ento fechado e limitado, pois para todo e no compacto. 2. No caso temos: Proposio 27. (Heine-Borel) Um subconjunto fechado e limitado em mente se compacto. Prova : Seja fechado e limitado. Se , para todo ; logo Por outro lado, compacto, pois num compacto; ento, compacto. Exemplo 63. 1. 2. O toro se, e so- compacta. compacto. 3. compacto. 4. O toro e a esfera no so homeomorfos a 5. O toro e a esfera no so homeomorfos ao cilindro 6. A faixa de Moebius compacta. Corolrio 8. (Weirstrass) Seja um espao topolgico compacto e nua; ento existem tais que: para todo . " B " Prova : Como contnua, compacto em , logo fechado e limitado; como limitado, existe e ; alm disso fechado; ento . De fato, suponha que , como , ento existe tal que . Isto , para todo , o que uma contradio. Analogamente para . Logo, existe tais que e , e: para todo . B " 1 3 3 & ! 3 2 ! & # 7 2 ! )B ! " B " 3 ! B 3 ! ) & # ! 3 3 7. Os grupos e para toda e so compactos. De fato, sabemos que so fechados , temos que . cont- & & 9 & & 9 E9 & " & & ' & & F & & ) limitado, existe . Logo, tal que . fechado contido . . F 3 B D 3 !B ! 3 & & ! F F 3 ! D 3 ! 8A D F F & Captulo 6 Axioma de Separao Consideremos um espao mtrico com mais de dois elementos. Sempre podemos escolher tal que com e , ento . Esta propriedade natural dos espaos mtricos, que nos permite diferenciar os pontos dos espaos, no vlida, em geral, em espaos topolgicos arbitrrios. Neste pargrafo estudaremos que tipo de espaos possuem esta propriedade, que por exemplo, fundamental para provar a unicidade do limite de uma sequncia em espaos mtricos. Veja [EL2]. 6.1 Espaos de Frchet Seja um espao topolgico Exemplo 64. 1. 2. so fechados em ; ento ; logo . 93 2 # 2 %# B isto , aberto. Reciprocamente, se e abertos, e e 2 # # & %# 2 %# & ! ! 2 2 2 %# 4 B Prova : Suponha que de tal que ; logo: . Seja 2 %# 3 2 %# ! ! B Proposio 28. se, e somente se fechado em e , para todo ; ento existe ! 2 %# B no . B e os espaos topolgicos metrizavis so . . vizinhana B " Definio 28. um espao de Frchet ou existe tal que e . se para todo tal que so ! % 3 ! % ( &! E EA A ) T ! 3 R ! &! T F I R T I R ! T R , 94 CAPTULO 6. AXIOMA DE SEPARAO 6.2 Espaos de Hausdorff Seja Exemplo 65. 1. 2. 3. 4. 5. Utilizando propriedades dos anis de polinmios possvel verificar que topologia de Zariski no de Hausdorff. Teorema 9. So equivalentes as seguintes condies: 1. de Hausdorff. 2. Se , para todo existe uma vizinhana de tal que 3. Para todo temos que: vizinhana de Prova : que vizinhana de 92 Se existe uma vizinhana de tal que &! & # Dados , existem ; logo . e vizinhanas de e & H ! ! 4. A diagonal um conjunto fechado em respectivamente, tais ; ento: &! e . 9 2 %# 2 no de Hausdorff. De fato. Para todo . De fato, sejam e , onde ; como finito, ento ser de Hausdorff. Note que . , temos so finitos; ento ; logo no pode . D B ! B T R D B T D B R D U B T R T F I S R T I S R T R 2 ! & # & # H ! ! B implica . A reciproca falsa. Veja o seguinte exemplo: de Hausdorff e os espaos topolgicos metrizavis so de Hausdorff. no de Hausdorff. D ! ! ! Definio 29. , existem um espao de Hausdorff ou , e tais que se para todo . ! % T R um espao topolgico tal que D 6.2. ESPAOS DE HAUSDORFF 95 ; ento ; como e . Por outro lado, e Corolrio 9. 1. Se 2. Se 3. Se Prova : de Hausdorff e contnua e injetiva, ento 2. Como contnua e injetiva: um homeomorfismo e: Logo, fechado em 9 B B B B ( e 9 T R 3. Se e Logo fechada em e de Hausdorff. so de Hausdorff, definamos: 9T R B 4 Logo fechado em e de Hausdorff. 9 T R 1 1. Denotemos por e so de Hausdorff, ento de Hausdorff. a diagonal de , ento de Hausdorff. de Hausdorff e Logo; e , . um subespaco, ento de Hausdorff. de Hausdorff. existe de . tal que Dados vizinhana , ento tal que , isto que aberto; logo existe 6 Provaremos que aberto. Seja vizinhana de , existe tal que , ento . 2 %# 9 ! ! ! T ! & ! & ! ! ! T R R & ! 8 R ! T 2 ! ! & T 8 R # 96 Exerccios 19. Se Hausdorff. Teorema 10. Se Prova : Se para todo CAPTULO 6. AXIOMA DE SEPARAO ou nada temos a provar. Sejam e ; existem e vizinhanas de e respectivamente, tais que . Por outro lado, um recobrimento aberto de ; como compacto, existe um subrecobrimento finito . Consideremos: 9 E9 9 5 # & 2 Observao 20. A condio de ser de Hausdorff e de compacidade so essenciais no teorema anterior. Vejamos os seguintes exemplos: Exemplo 66. 1. Considere com a seguinte topologia . Ento compacto e , logo no fechado. Note que no de Hausdorff. 2. Seja com a topologia dada no exerccio [1], tem 2. Seja compacto e pois para todo aberto temos para todo , e no compacto. De fato: onde . Logo, o fecho de um compacto pode no ser compacto. ; logo fechado em ; ento compacto em Prova : Seja . Por outro lado, como , todo recobrimento aberto de em um recobrimento aberto de em ; ento compacto em . Como de Hausdorff, segue que fechado em ; logo e . TB R B S B GD B ! B D U GB Corolrio 10. Sejam e topologias em dorff e compact, ento . tal que . Se F # GS6 2 # 2 , . Isto , de Haus- 2 2 ! # 2 # # T B S R vizinhana de tal que existe um aberto tal que para todo ; logo , isto , para cada , logo aberto e fechado. ! de Hausdorff e compacto, ento fechado. de Hausdorff e D U F 8 ! B 9 QPI FH 4F F $ 3 & ! E! # 2 B @ 2 ! & # D D D B B@ D U ! T D S R DU B@ 2 # CF $ ! ! 2 $ # 2 ! ! # uma bijeo fechada, ento de ! ! D 6.2. ESPAOS DE HAUSDORFF 97 espao de Hausdorff e 3. O grfico de 4. Se Prova : Seja fechado em injetiva, ento de Hausdorff. Segue, de imediato, pois fechado e denso, ento: A funo Hausdorff. uma bijeo fechada do espao Observaes 19. 1. O tem da proposio [29], no vlido sem a hiptese de ser de Hausdorff. Por exemplo, considere e tal que ambas so contnuas e . T F I R , que no fechado em com a topolo 2. Note que as curvas contnuas e os planos so fechados em gia usual. 2# 2 T F I R T F I & ! %# R e fechado em . & Seja onde ; contnua e: 2 & 92 & ! %# e fechado em B B & $ & & & ! %# 2 ! ! %# & ! 2 ! %# 2 & ! ! %# & ! %# onde . B 2 2. Se denso e ento . em ; contnua e: 1. fechado em . Proposio 29. Sejam contnuas. Ento: espao topolgico, . . Como que de ! 2 & ! %# 98 CAPTULO 6. AXIOMA DE SEPARAO 1. 2. um homeomorfismo. bijetiva. Prova : Se um homeomorfismo, ento bijetiva. Reciprocamente. Se bijetiva, ento aberta e fechada; logo um homeomorfismo. Observao 21. A condio de compaciade essencial no corolrio [11]. De fato, considere os , e a funo identidade: seguintes espaos topolgicos que contnua, bijetiva e no um homeomorfismo. 6.3 Topologia Quociente Em geral, falso, que espaos quocientes de um espao de Hausdorff sejam de Hausdorff. ou Consideremos com a topologia quociente e a correspondente projeo cannica. Se , ento , que no fechado em ; logo no fechado em , o qual implica em que no pode ser de Hausdorff. T R 9 2 %# " B ' T R " T ! R Exemplo 67. Seja cia: com a topologia usual e definamos a seguinte relao de equivaln- 9 Corolrio 12. Sejam injetiva ento: compacto, espao de Hausdorff e contnua e T R T I R T I R T ' R Corolrio 11. Sejam equivalentes: compacto, espao de Hausdorff e Prova : Seja fechado; logo compacto; ento implica fechado em e fechada. Proposio 30. Se fechada. compacto, de Hausdorff e contnua, ento compacto, o que contnua. So " 2 # 6.3. TOPOLOGIA QUOCIENTE Teorema 11. Seja compacto, de Hausdorff e fechada, ento de Hausdorff (compacto). uma identificao. Se 99 e e lado, finita so abertos tais que e , . Por outro uma cobertura de , logo existe uma subcobertura , onde e finito. Sejam: e e so abertos disjuntos tais que ento e so fechados em e . Denotemos por: e ; como fechada, e . Se so abertos tais que , ento donde , pois e e e ; logo . , pois Corolrio 13. Seja compacto, de Hausdorff e relao de equivalncia: fechado. Definamos em ou comum na literatura denotar-se por Logo, fechada. . 9 T R B fechado e , ento a projeo cannica. Se , ento que fechado. De fato: Prova : Seja T Ento compacto e de Hausdorff. D B A D B tal que , ento Prova : Sejam disjuntos. Seja e , ento existem tais que e . Por outro lado, ; logo existe uma subcobertura finita finito. Sejam: e so compactos abertos disjuntos uma cobertura de , onde e e . Se D B & & B D "B B ! BB ! D B B B ! B B ! !B D B 9 T R D T R B D B B B 4 4 H 3 B B 2 ! & # B B 2 B B ! & # D B ! 4 4 3 H A 2 A ! & # D B 2 D B 8 & # ! ! ! D ! B 8 D B B 8 B ! D ! B D B B B 9 2 %# R e a 100 Corolrio 14. Se um compacto e de Hausdorff. CAPTULO 6. AXIOMA DE SEPARAO -espao compacto, de Hausdorff e finito, ento Prova : Seja fechado, ento: 4 3 8T R B Exemplo 68. 1. O toro compacto e de Hausdorff. so compactos e de Hausdorff. 3. A faixa de Moebius compacta e de Hausdorff. 4. A garrafa de Klein compacta e de Hausdorff. 6.3.1 Homeomorfismos Nas seguintes aplicaes utilizaremos o seguinte corolrio cuja prova segue diretamente do pargrafo anterior e do corolrio [4]: A) Seja 1. De fato, definamos 2. Por outro lado contnua e sobrejetiva. D B D B DD A B 9 T 2 # B F R T B F R BB F A B F 2# B F 2. e , ento: por ou fechado, ento compacto em Prova : Seja em , como de Hausdorff, fechado em e pela proposio [17], uma identificao. , logo compacto uma funo fechada e e Proposio 31. Se compacto, ento uma identificao. de Hausdorff e F F D T RB onde a projeo cannica. um homeomorfismo, para todo fechado e fechado; logo fechada. ; ento contnua sobrejetiva, . , $ & $ ! $ $ 6.3. TOPOLOGIA QUOCIENTE 101 , temos o seguinte diagrama 3. Denotemos por comutativo: // r88 r rrr rrr rrr 4. A funo contnua e sobrejetiva, como compacto e dorff, ento um homeomorfismo definido por B) Seja o toro de revoluo. Ento: 1. Pelo exemplo C em [4.4.2], provaremos que: 3. Seja e consideramos equivalncia definida em por: para todo . 4. Consideremos por D D D . D T D R D ! ) onde e . com a topologia usual e a relao de e com a topologia quociente e definamos: ) 1 1 D ! ) 2. parametrizado por: onde o toro de revoluo em . A " 9 D D T A de Haus. T 2 # B F R T B F R T D R D D R B B D B F D D D 102 CAPTULO 6. AXIOMA DE SEPARAO bem definida, contnua e sobrejetiva; como peridica, ento como e . Logo, temos o seguinte diagrama comutativo: 7. Em geral, com argumentos anlogos aos anteriores, se consideramos o toro -dimensional , ( vezes), temos que: C) Seja , isto de equivalncia: menos a origem, definamos em existe 1. Considere . 2. Seja 3. com a topologia induzida pela topologia usual de contnua e sobrejetiva. Logo, temos o seguinte diagrama comutativo: // << yy yy yy yyy 4. Como . compacta e de Hausdorff, ento F definida por a projeo cannica. , onde B F F 9 F F F B F F B F F T F B F Seja , ento: um homeomorfismo 9 tal que 9 F F F 99 B EE9 B B F ! D B D B 6. Como compacto e fismo. Note que de Hausdorff, ento . BB // y<< yy yy yy y D um homeomora seguinte relao a incluso e D D D B F T D R B F R 5. 6.3. TOPOLOGIA QUOCIENTE 103 // == zz z zz z zz D) Seja , isto de equivalncia: menos a origem, definamos em existe 1. Considere . com a topologia induzida pela topologia usual de 3. contnua e sobrejetiva. Logo, temos o seguinte diagrama comutativo: // :: vv v vv vv vvv Exemplo 69. F) Seja a faixa de Moebius, ento: 3 " Verifique que um ponto e . D B 4. Como mo . compacta e de Hausdorff, ento F B DF F 2. Seja e definida por a projeo cannica. , onde B DF 9 F B B DF B F B DF B DF T F B F 3 Seja , ento: tal que 9D B ! D B Logo, temos que . B a seguinte relao a incluso um homeomorfis- B B B F B B " B B B F 5. claro que um ponto e . De fato, basta considerar a funo tal que , por argumentos anlogos aos anteriores, temos o seguinte diagrama comutativo: D B B R 9 3 3 3 3 1 1 D D 3 ! . , onde 2 D 1 D & # R 3 1 D D 1 D ! onde 104 a superfcie parametrizada em onde 1. Lembremos que T 2. Seja e 3. A funo logo injetiva, contnua, CAPTULO 6. AXIOMA DE SEPARAO compacto e , por: definida por: de Hausdorff; . Captulo 7 Conexidade Seja conexo se no existem e abertos disjuntos no vazios tais que Definio 30. . Caso contrrio dito desconexo. Observao 22. conexo, se conexo como subespao de Exemplo 70. 1. e so sempre conexos. , todo subconjunto conexo. , os nicos conexos no vazios so os conjuntos de um elemen, desconexo. De fato, basta considerar: 2. Em 3. Em to. 4. Seja (a) e (b) Para todo , ento desconexo. De fato, basta considerar: e 5. conexo. De fato, nesta topologia no existem abertos no vazios disjuntos. com 105 Proposio 32. Seja com a topologia usual. Os nicos conjuntos conexos em mais de um ponto so os intervalos (abertos, fechados, etc). 9 9 A A A ! 2 %# T I S R T F I R 2 %# T ' R T R A um espao topolgico. . 106 CAPTULO 7. CONEXIDADE um intervalo. Suponha que no um intervalo, tal que . Sejam e e no conexo. Se um intervalo, ento conexo. Se for desconexo, ento existem e abertos disjuntos no vazios tais que . Sejam e tais que (caso contrrio, mudamos os papis de e ). Denotemos por: Teorema 12. So equivalentes: 1. conexo. so e . 2. Os nicos subconjuntos abertos e fechados em 3. No existe funo Se desconexo. contnua e sobrejetiva. , ento se se contnua e sobrejetiva. Exemplo 71. Segue do teorema que , com a topologia usual conexo. Corolrio 16. A Se onde so fechados e a funo e so abertos disjuntos no vazios, ento definida por: B Suponha que , como aberto e fechado em fechado em . contnua e sobrejetivaa, logo , ento aberto e e aberto, fechado e no vazio ou A !! T I T 2 # R A U R A T I 2 # R # B T I 2 # R T S R 2 Prova : T I 2 # R U R T Corolrio 15. Seja com a topologia usual. ou um intervalo. conexo se, e somente se , ento ) Como , ento aberto e fechado em ; logo tal que , contradio, pois um supremo. Segue de imediato da proposio anterior: e existe ( ( ( A Logo ; como um intervalo, . Por outro lado, A 7! A " ! ! ! ( ! ( ! ( 9 2 %# & A A !& Prova : Se conexo, ento ento existem e ; logo ( ! ( 2 %# $ A . , 107 1. Se conexo e contnua, ento 3. A unio arbitrria de subconjuntos conexos de que tem pelo menos um ponto em comum, conexa. Isto . Seja tal que , ento: conexo. Prova : 1. Note que contnua e sobrejetivaa. Se for desconexo, existe contnua e sobrejetiva; logo contnua e sobrejetiva, o que uma contradio, pois conexo. 2. imediata. 3. Sejam famlia de conexos, e: Suponha que existe contnua. Como cada conexo no sobrejetiva. Por outro lado, como , para todo ; ento , para todo e ; caso contrrio sobrejetiva. Logo no sobrejetiva. 4. Seja Por outro lado, contnua; como conexo, ento no sobrejetiva. e pela continuidade de : logo no sobrejetiva. . T 2 A %# R T 2 %# R A Prova : Sejam disjuntos. Ou e e conexos tais que , aberto ou existe A ! B BC C Proposio 33. e so conexos se, e somente se conexo. , onde e tal que so abertos ! ( % A A A 2 # " 9 8 % " " tal que 2 # A A 4. Seja subconjunto conexo. Se tal que conexo. Em particular, o fecho de um conexo conexo. H % 8 ! 45% H ! 2. Seja . Ento, conexo se, e somente se A % ! ( 8 ! 2 # 4 5% % 8 3 6 E 4 3 20 )S! & $# 2 # ( % 2 ! )& $# conexo. conexo. , ento 108 Exemplo 72. 1. CAPTULO 7. CONEXIDADE com a topologia usual conexo. De fato; seja definida por que contnua e . Em particular: pois, desconexo e ainda conexo. 3. e 4. A faixa de Moebius, o plano projetivo real, o plano projetivo complexo e a garrafa de Klein so conexos. 5. Sejam 1 1 -1 Figura 7.1: . 6. Seja a famlia todo . , logo para D B ! 2 D D 2 D & D ! B # O conjunto conexo, pois imagem de tambm conexo; pelo corolrio [16], . 9 2 # 2 & ) & # 2. O toro conexo. so conexos. e por uma funo contnua, conexo. Note que em , D " B 2 # B B D I 8 F B B D 2 %# ) D B 7.1. APLICACES 109 Figura 7.2: A famlia Como cada conexo, pelo corolrio [16]: 2 D D D @& D ! # B 3 ! conexo. 7.1 Aplicaces A primeira aplicao que estudaremos a generalizao do teorema do Valor Intermedirio do Clculo. tal que Corolrio 17. 1. Toda existe contnua admite, pelo menos menos um, ponto fixo. Isto , tal que . 2. Teorema de Borsuk - Ulam para : Seja pontos antipodais que possuem a mesma imagem. Prova : contnua. Existem ! ! Prova : Se contnua, ento e , ento tal que . conexo, logo ; portanto, para todo um intervalo. Se existe Proposio 34. Sejam conexo, com a topologia usual e Sejam tais que . Ento para todo , existe tal que . B ! ! B B . ! D B ! " B contnua. D B ! D B D ! 110 CAPTULO 7. CONEXIDADE ; ento tal que 2. Utilizando coordenadas polares, denotemos os elementos de pelo ngulo , em radianos. Logo, os pontos e so antpodas; consideremos a funo ; ento como e , pelo teorema do valor intermedirio, existe tal que . Note que se , ento o intervalo . A topologia gerada por esta subbase chamada topologia da ordem e dito espao odenado. Verifique que o teorema do valor intermedirio, pode ser estendido a espaos ordenados. Proposio 35. Seja Prova : Sem perda de generalidade, podemos supor que a origem (caso contrrio, por translao, movemos a origem). Seja . Provaremos que a origem e cada , esto contidos num conjunto conexo de e pelo corolrio [16], ser conexo. Denotemos por a semi-reta que liga a origem e por uma reta qualquer em nico ponto diferente de e . que intersecte Para todo , seja . Pelo corolrio [16] cada conexo e . x Lz z 0 A L Figura 7.3: &! F F ! ! 9 2 & ! # 2 & ! %# # B B 2 B e , enumervel. Ento F e Exerccios 20. Seja por se , onde: um conjunto ordenado, com a relao de ordem . Denotemos e . Definamos a topologia em que tem como subbase B " B conexo. ! B 1. Seja medirio, existe " " " . F ) ! U . Pelo teorema do valor inter- ! F 2 # 7.1. APLICACES 111 Pelo menos um ; caso contrrio se , para todo ,o ponto de interseo, necessariamente, deve ser diferente para diferentes . Logo, teramos uma correspondncia biunvoca entre e , o que impossvel, pois enumervel. Prova : Suponha que ; ento . Como conexo, seria conexo. Portanto no podem ser homeomorfos. Observao 23. Provar que se , surpreendentemente, muito complicado. Este resultado segue do teorema chamado da invarincia da dimenso, cujo enunciado : se , ento . A prova deste teorema envolve delicados conceitos topolgicos que ficam fora do contexto destas notas. Exerccios 21. Verifique que: ,. A componente conexa de Definio 31. Seja tos conexos que contm a . Observaes 20. 1. Denotamos por 2. Pelo corolrio [16], 3. Se conexo, ento , para todo . Proposio 36. fechado em Prova : Sabemos que , para todo o maior conexo que contm , ento Exemplo 73. , com a topologia usual, conexo. De fato; consideremos o homeomorfismo reogrfica. Como conexo, ento " " ! " 92 # F F 2 # F F 2 # F dado pela projeo este conexo e: ! " " ! B F F F ) 2. F B 1. . se . a unio de todos os conjun- a componente conexa de . o maior conexo que contm . . e que . conexo. Como 2 %# F T 2 # R T 2 %# F R 5 5 ) Corolrio 18. e , no so homeomorfos. ! ! # F 2 F A F F A F B " 112 CAPTULO 7. CONEXIDADE 7.2 Conexidade por caminhos e Sejam pela topologia usual de . Definio 32. Um caminho em Observaes 21. 1. Os pontos mente. uma funo e so ditos ponto inicial e final do caminho, respectiva- e Definio 33. dito conexo por caminhos ou conexo por arcos, se para todo , existe caminho ligando a . Exemplo 74. 1. conexo por caminhos. Em geral, todo espao vetorial conexo por caminhos. 2. O grupo no conexo por caminhos. De fato, se consideramos duas matrizes em , tais que uma tenha determinante positivo e a outra determinante negativo, qualquer caminho contnuo ligando estas matrizes, necessariamente dever passar pela matriz nula. conexo por caminhos e Proposio 37. Seja Ento conexo por caminhos. contnua e sobrejetiva. tais que contnua ligando a . Observaes 22. Corolrio 19. Se caminhos. , ento conexo por caminhos se, e somente se B Prova : Sejam ; como sobrejetiva, existem e . Como conexo por caminhos, existe a ; logo definimos , que um caminho que liga conexo por definidos por e so dois caminhos ligando e . 2. Um caminho no um conjunto em a topologia usual, ento: . Por exemplo, considerando ( !B D ( ( B D D ( )( ( B D B ( ! ( ( ! B T S R um intervalo fechado, com a topologia induzida , contnua. com B B B ! D B F 7.2. CONEXIDADE POR CAMINHOS 1. Pelo corolrio, podemos sempre considerar 113 caminhos tais que , isto , o ponto final de 2. Sejam coincide com o ponto inicial de . Nesta condies, podemos definir: se se , ento: conexo por caminhos. Proposio 39. Se Prova : Sejam caminhos ligando e so conexos por caminhos, ento e a conexo por caminhos. a . Denotemos por , respectivamente. Logo: e um caminho em Teorema 13. Se , ligando a . conexo por caminhos, ento conexo. Prova : Sejam e um caminho ligando a . Ento, um conjunto conexo que contm e ; logo e pertencem a mesma componente conexa, o que implica que possui uma nica componente conexa; portanto conexo. Observao 24. A reciproca do teorema falsa. Veja o seguente exemplo: ( ( ( D Prova : Sejam tais que e e caminhos com e , ligando a Basta considerar o caminho , que liga a . . Se , existem e a , respectivamente. H 1 ! B B B ( !B B B ( " B B 8 B B ! D B ( B ! D ! B ! D ! B ! D B Proposio 38. Seja nhos tal que uma famlia arbitrria de espaos conexos por cami- ligando a O caminho e contnuo e . Logo, , um caminho em ( & 5 &$ $ ( 5 $ & & $ . ( 64 7E 3 64 7E H 2 )0 ! & # ( ( ( ( ( & $ ( ( ' ( ( ( . 114 Exemplo 75. Sabemos que se: CAPTULO 7. CONEXIDADE o conjunto conexo, mas no conexo por caminhos. Provaremos que no existe caminho tal que e . Suponha que tal caminho existe. Sem perda de generalidade, podemos supor que . Seja ; pela continuidade de , existe tal que se . 1 1 Figura 7.4: Note que conexo. Denotemos por e a primeira projeo de ; ento e contnua e o conjunto conexo com , pois ); tambm . Por outro lado, um intervalo e contm ; logo para todo , existe tal que . Em particular, se , para grande, temos que se , ento e ; logo o ponto , para algum , ou seja, o ponto est a uma distncia menor que 1/2 do ponto . Istoe uma contradio, pois esta a uma distncia de pelo menos 2 do ponto . Proposio 40. Seja por caminhos. Prova : Seja com a topologia usual, se e denotemos por: pode ser ligados a por um caminho em A ) ! ! 2 & # ! Afirmamos que tal que aberto. De fato, seja , como uma vizinhana de e F & 5 $ E & B $ ! B & " & 5 " " ! B " ! ( 7B " ( " ( aberto, ento ! ( ! ( 2 ) 2 # 2 e ( ( $ ) & # & ! F E 5 & 5 &$ ( U B E 5 & & B $ ) B ( ! ! ( 5 T ( B R B D ( & $ & ! %# ! & $ ( ( conexo aberto, existe . Por outro 7.2. CONEXIDADE POR CAMINHOS 115 lado, conexo por caminhos, (pois homeomorfo a ); logo, todo ponto de pode ser ligado a por um caminho em . Por tanto, todo ponto de pode ser ligado a por um caminho em . Isto , e aberto. Afirmamos que fechado. De fato, seja ; logo o conjunto de todos os pontos de que no podem ser ligados a por um caminho em . Por um argumento anlogo ao anterior possvel verificar que aberto e por tanto fechado. Logo, no vazio, aberto e fechado, como conexo, ento . Exerccios 22. caminhos. 2. Seja 1. Verifique que todo espao com a topologia indiscreta conexo por um espao topologico e a seguinte ralao de equivalncia: a em se existe um caminho ligando Verifique que conexo por caminhos conexo por caminhos. ! ! 9 A F A A ! ! ! 116 CAPTULO 7. CONEXIDADE Bibliografia [EL1] [EL2] [DD] [CK] Lima E.: Anlise em Lima E.: Espaos Mtricos, Projeto Euclides, Impa - Brasil, (1977) Dugundji J: Topology, Boston, Allyn & Bacon (1966) Kosniowski C: A First Course in Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press (1980) F , Projeto Euclides, Impa - Brasil, (1977) 117 ...
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