edppoisson - Versi´ on 30/1/2008

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Unformatted text preview: Versi´ on 30/1/2008 http://matematicas.uclm.es/ind-cr/metnum/index.html Cap´ ıtulo 9 M´ etodos de diferencias finitas para la ecuaci´on de Poisson Contenidos del cap´ ıtulo 9.1 El problema de Dirichlet en una regi´on rectangular . . . . . 186 9.1.1 Planteamiento del problema y construcci´ on de la malla . . . . . 186 9.1.2 Discretizaci´ on de la ecuaci´ on de Poisson en nodos interiores . . 186 9.1.3 Discretizaci´ on para los puntos de la frontera y construcci´ on del sistema discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 9.1.4 Aspectos computacionales e implementaci´on Matlab . . . . . 188 9.1.5 Ejemplo de aplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 9.2 Discretizaci´on del laplaciano en regiones no rectangulares . 192 9.2.1 Nodos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 9.2.2 Nodos en la frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.3 M´ etodos de diferencias finitas en coordenadas polares . . . 193 La ecuaci´ on de Poisson est´ a relacionada con estados estacionarios de distintos sis- temas f´ ısicos, apareciendo por ejemplo en teor´ ıa del potencial, al estudiar problemas estacionarios de trasmisi´on de calor, etc. El problema habitual a resolver es encontrar u ( x,y ) en una regi´ on Ω que satisface las ecuaciones ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂y 2 = f ( x,y ) , ( x,y ) ∈ Ω Lu = g ( x,y ) , ( x,y ) ∈ ∂ Ω donde L es un operador diferencial de primer orden y ∂ Ω es la frontera de la regi´ on Ω. En el caso particular f = 0 la ecuaci´ on se denomina ecuaci´ on de Laplace La soluci´ on anal´ ıtica de la ecuaci´ on de Poisson es posible s´ olo en algunos casos sen- cillos, lo cual hace de los m´ etodos n´umericos la ´unica forma de encontrar soluciones, especialmente cuando las geometr´ ıas no son sencillas. 185 Versi´ on 30/1/2008 http://matematicas.uclm.es/ind-cr/metnum/index.html Diferencias finitas para la ecuaci´ on de Poisson 186 X Y a b c d D y D x Figura 9.1: Malla cuadrada para el problema de Dirichlet para la ecuaci´ on de Poisson. 9.1 El problema de Dirichlet en una regi´on rectangular 9.1.1 Planteamiento del problema y construcci´on de la malla Para fijar ideas vamos a comenzar estudiando el caso de que la regi´ on Ω donde deseamos encontrar las soluciones de la ecuaci´ on de Poisson sea de forma rectangular. Esto es Ω = ( a,b ) × ( a,b ). Adem´ as consideraremos condiciones de contorno de tipo Dirichlet, esto es, directamente sobre la soluci´ on u de la forma u ( x,y ) = g ( x,y ) en ∂ Ω. El an´ alisis de condiciones de contorno m´ as generales complica la presentaci´ on t´ ecnica sin a˜nadir ning´un elemento sustancial al problema. Supondremos tambi´ en que tanto g ( x,y ) como f ( x,y ) son continuas en sus dominios de definici´on....
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This note was uploaded on 09/22/2009 for the course MATH MM415 taught by Professor B during the Spring '08 term at Universidad del Valle de Guatemala.

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