Chapter 2

Chapter 2 - R{MSx#dwJwA`#I#M [email protected]#a#~zZ9G KFs#00 N xvdk!NN!NN!NN N#zV#l#$R#K%^#l#$ 2Q [email protected]#` 2Q

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N################################################################################## ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### #################################################################zV####### ##l##$R#K#%^#####l##$+ 2Q [email protected]######`+ 2Q [email protected][email protected]####### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### #################K3###############P####################h(## ###############################Y############AF#####1#######.####### ##############h#####################aa@##################=#######ysu####W# ######,####k#######9$####v#######WU###########(###########X\ ###########R###########o###########1################## ##### ################W###########My###########6############g#### ########!y############L####%####### ####/#######: ^####9########z####C#######o>####U########@####d####### /#####n#######!########### Qb###########T)q###########[A#######################zZ######## ##############[Y>###########:############v*T############r[#### '#######g ####G#######q####Q#######2| ####q#######)#####{#######.D###########$aR###########Y7########### ############]?########### [email protected]###########D########### ##5jG_#### #######M ####*#######F}#####B#######}P###############zV######## `R#K# %^########$################################################################## ################################################################################### ######################################################################## ####K3##zV#########pR#K#%^######### #I#'###&`-Bh########################0f|#######! 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##############################################t################ ### #####-############z#######R######### ##### #### ###6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################################z###y## x## ###### ##$###$&##$6n6#######################z###>######B#########@###6#### #### ########~#######A####C#a#l#i#b#r#i#L#######@###D##F #########@###C###D##F #########@###C###D##F ### ####### C## v###4######6###(########(########(########(########(######## ###################################################### #####+####1###For b > 0, y=b^x is continuous on the real line#############z#######R######### #### ###-6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#############################z###y## x## ###### ##$###$#6#6###########################z###y## x## ###### ##$###$ 66###############z###>######B#####@#######6######## #K###P(x)/Q(x) is continuous for all values c, such that Q(c) doesn't equal 0 ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## \###N################################################`### ########G################z#######R######### #### ###6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s###############################z###y## x## ###### ##$###$&##$66#######################z###>######B#####@#######6###### ## #%###P(x) is continuous on the real line #######J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## 6###(################################################`### #######################z#######R######### #### ###6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################z###>######B#####@### ####6######## #)###Let P(x) and Q(x) be polynomials, then: #######J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## :###,################################################`### ########&#####################z###y## x## ###### ##$###$6n6###############z###>######B#####@########6######## #=###Theorem 2: Continuity of Polynomial and Rational Functions ########P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D##F ###H## ####### C## N###@################################################f### ########1###########################z###y## x## ###### ##$###$m6l6###############z###>######B#####@#######l6######## ##### ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`########## ######################z###y## x## ###### ##$###$l66###############z###>######B#####@#######f6######## #)###(iv) f(x)/g(x) if g(c) doesn't equal 0 ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## :###,################################################`### ########%#####################z###y## x## ###### ##$###$66###############z###>######B#####@#######6######## ##### ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`########## ######################z###y## x## ###### ##$###$66###############z###>######B#####@#######6######## ####f(x) has infinite discontinuity at x=c of one or both of the one-sided limits is infinite (even if f(x) itself is not defined at x=c) #######d#######A####C#a#l#i#b#r#i#2#######@###D##F #########@###D##F ###H## ####### C## ### ######"###( #######(########(f##############################################z### #############################z###y## x## ###### ##$###$66###############z###>######B#####@#######6######## #####Theorem 1: Laws of Continuity #######P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D##F ###H## ####### C## 0###"################################################f### #######################z###>######B#####@########6######## #s###Assume that f(x) and g(x) are continuous at a point x=c. Then the following functions are also continuous at x=c: #######J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## ###v################################################`### ########p###########################z###y## x## ###### ##$###$#66###############z###>######B#####@#######C6######## #! ###(ii) k*f(x) for any constant k ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## 2###$################################################`### ##############################z###y## x## ###### ##$###$C66###############z###>######B#####@#######56######## #####(i) f(x) + g(x) and f(x) - g(x) #########r#######A####C#a#l#i#b#r#i#@#######@###D##F #######@###D##F #######@###D##F ### ####### C## ^###&######,###(########(########(########(################# ############################################## #############################z###y## x## ###### ##$###$566###############z###>######B#####@#######M6######## #####(iii) f(x)g(x) ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## "####################################################`### #############################z###y## x## ###### ##$###$M66###################################z###y## x## ###### ##$###$6*6##############################z###y## x## ###### ##$###$66###############z###>######B#####@#######6######## ##### ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`########## #########################z###y## x## ###### ##$###$&##$6t6#######################z###>######B#####@#######6##### ### #a###Right continuous at x=c if the limit of f(x) as x approaches c from the right is equal to f(c) ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## r###d################################################`########## ##H####N#############z#######R######### #### ###6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s###############################z###y## x## ###### ##$###$&##$p6D6#######################z###>######B#####@#######m6####### # #_###Left continuous at x=c if the limit of f(x) as x approaches c from the left is equal to f(c) ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## p###b################################################`### ########[############z#######R######### #### ###C6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################z###>######B#####@### ####>6######## #####A function, f(x), is called: ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## 0###"################################################`### ################################z###y## x## ###### ##$###$%6#6###############z###>######B#####@########6######## #####Definition: One-Sided Continuity ########P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D##F ###H## ####### C## 4###&################################################f### ##############################z###y## x## ###### ##$###$#6#6###############z###>######B#####@########6######## ##### ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`########## ######################z###y## x## ###### ##$###$#66###############z###>######B#####@########6######## ####A worse case of discontinuity is jump discontinuity, which occurs if the limit of f(x) as x approaches c from the right and the limit of f(x) as a approaches c from the left exist, but they are not equal. This type of discontinuity cannot be fixed. ########d#######A####C#a#l#i#b#r#i#2#######@###D##F #########@###D##F ###H## ####### C## ,#########"###(! #######(########(##############################################z### #################################z###y## x## ###### ##$###$66###############z###>######B#####@#######6######## ##### ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`########## ######################z###y## x## ###### ##$###$616###############z###>######B#####@#######6######## ####If both the limit of f(x) as x approaches c and f(c) exist, but they are not equal f(x) has a removable discontinuity at x=c. Removable discontinuities are "mild" because f(x) can be made continuous by redefining f(c). ########d#######A####C#a#l#i#b#r#i#2#######@###D##F #########@###D##F ###H## ####### C## ##########"###(^#######(########(e########################## ####################z#################z###>######B#####@#######&6##### ### #####f(c) must exist #######J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## "####################################################`### ######## ##########z#######R######### #### ####6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s###############################z###y## x## ###### ##$###$&##$#6 6#######################z###>######B#####@########6######## #1###The limit of f(x) as x approaches c must exist ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## B###4################################################`### ########)#################################z###y## x## ###### ##$###$066##########################z###y## x## ###### ##$###$.6.6###############z###>######B#####@#######.6######## ##### ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`########## #########################z###y## x## ###### ##$###$&##$.6(6#######################z###>######B#####@#######+6####### # #####They are equal ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## "####################################################`### ######## ##########z#######R######### #### ###(6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s###############################z###y## x## ###### ##$###$&##$&6#6#######################z#######R######### #### ####6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################z###>######B#####@### #####6######## #A### For f(x) to be continuous at x=c, the following must be true: ########^#######A####C#a#l#i#b#r#i#,#######@###D##F #######@###D##F ### ####### C## h###D##########(>#######(####################################### ########t### ########=################z###>######B#####@#######6######## #####Assume that f(x) is defined on an open interval containing x=c. Then f is continuous at x=c if the limit of f(x) as x approaches c equals f(c). If the limit does not exist or if it does exist but doesn't equal f(c), we say that f has a discontinuity (or is discontinuous) at x=c ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## *####################################################`########## ##############################z###y## x## ###### ##$###$6Z6###############z###>######B#####@#######6######## ##### ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`########## ######################z###y## x## ###### ##$###$66###############z######@#######Ei6 #1###2.2 Limits: A Numerical and Graphical Approach#####| ###D#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D###F ###H## C## >###4#############################################Z### ########&################z###>######B#####@#######\i6######## #####2.4 Limits and Continuity #######P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D###F ###H## ####### C## ,####################################################f### ###################z###>######B#####@#######Qi6######## #####2.3 Basic Limit Laws ########P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D###F ###H## ####### C## (####################################################f### #######################z###>######B#####@#######i6######## #%###2.5 Evaluating Limits Algebraically #######P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D###F ###H## ####### C## 6###(################################################f### #########################z###>######B#####@#######i6######## #####2.6 Trigonometric Limits ########P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D###F ###H## ####### C## ,####################################################f### ###############################z###y## x## ###### ##$###$i6i6###############z###>######B#########"###i6######## ###############A####C#a#l#i#b#r#i#P#######@###D##F #########@###B# #C###D##F #########@###C###D##F ### ####### C## ###r######,###(########(########(3#######(################# ################################# ########1####p###x# #! #0#+# #m#e#a#n#s# #a#s# #x# #a#p#p#r#o#a#c#h#e#s# #0# #f#r#o#m# #t#h#e# #r#i#g#h#t# #o#r# #a#b#o#v#e# ########z###>######B#########"###P6######## ###############A####C#a#l#i#b#r#i#T#######@###C###D##F #########@###B# #C###D##F #########@###C###D##F ### ####### C## D### ######,###(########(########(########(############################# ############################## ###x#!c################z###>######B#####@#######q6######## #####lim k = k#######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d### ###########################$###%#####z###y## x## ###### ##$###$&##$q626##################### #z######### ####### ###########;###h6########)######C#a#l#i#b#r#i######## #####################'#####z###y## x## ###### ##$###$^6A6###############z###>######B#####@#######6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############4#####z###y## x## ###### ##$###$66###########################z###y## x## ###### ##$###$6i6###############z###>######B#####@#######6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############.#####z###y## x## ###### ##$###$6z6###############z###>######B#####@#######6######## #####Lim x = c #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d### ###########################*###,#####z###y## x## ###### ##$###$&##$6l6#######################z###>######B#########"####6###### ## ###############A####C#a#l#i#b#r#i#T#######@###C###D##F #########@###B# #C###D##F #########@###C###D##F ### ####### C## D### ######,###(########(########(########(############################# ############################## ###x#!c######################2#####z###y## x## ###### ##$###$66#####################8#####z###y## x## ###### ##$###$#6#6###############z###>######B#####@########6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############6#####z###y## x## ###### ##$###$#66###############z###>######B#####@########6######## ####For the limit of f(x) as x approaches c to exist, the limit of f(x) as x approaches c from the right and the limit of f(x) as x approaches c from the left, both must exist and be equal ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## ###>################################################d### ####################z###>######B#####@#######^6######## #7###The limit of f(x) as x approaches a equals infinity ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## H###:################################################d### ########+################z###>######B#####@#######|6######## #?###The limit of f(x) as x approaches a equals negative infinity #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## P###B################################################d### ########+######################S###[#####z###y## x## ###### ##$###$&##$| 6h6#######################z###>######B#####@#######w6######## #E###The limit of f(x) as x approaches a from the left equals infinity ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## V###H################################################d########## ##-####9###################I###Q#####z###y## x## ###### ##$###$&##$w6g6#######################z###>######B#####@#######r6####### # #E###The limit of f(x) as x approaches a from the right equals infinity #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## V###H################################################d########## ##-####:###################?###G#####z###y## x## ###### ##$###$&##$r6e6#######################z#######R######### #### ###i6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################z#######R######### #### ###h6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################z#######R######### #### ###h6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################z#######R######### #### ###g6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################z#######R######### #### ###e6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#######################<###=#####z###y## x## ###### ##$###$&##$d6E6################## ##########;###>###H###R###\###f###p###:#####z###y## x## ###### ##$###$6#6#################################3#######!#######&###)######1###5###7###9###s### #####z###y## x## ###### ##$###$63i6#####################q#####z###y## x## ###### ##$###$66###############z###>######B#####@#######6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############g###o#####z###y## x## ###### ##$###$&##$6i6#######################z###>######B#####@#######6##### ### #M###The limit of f(x) as x approaches a from the left equals negative infinity #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## ^###P################################################d########## ##9####B#############z###>######B#####@#######6######## #O###The limit of f(x) as x approaches a from the right equals negative infinity ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## `###R################################################d### ########:######################]###e#####z###y## x## ###### ##$###$&##$6h6#######################z###>######B#####@#######6##### ### #u###An infinite limit is not a true limit infinity and negative infinity are NOT numbers and should be treated as such ########l#######A####C#a#l#i#b#r#i#:#######@###C###D##F #########@###C###D##F ###H## ####### C## ###x######"###(I#######(########(&########################## ####################### ########n##################t#####z###y## x## ###### ##$###$66###############z#######R######### #### ###<6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################z###>######B#####@### ####86######## #w###The line x=a is called a vertical asymptote of the curve y=f(x) if at least one of the following statements is true: ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## ###z################################################d### ########s############## #z######### ####### ###########;###/6########)######C#a#l#i#b#r#i######## #####################"#####z###y## x## ###### ##$###$*6#6###############z###>######B#####@#######*6######## #####For any constants k and c, ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## .### ################################################d### ###################z###>######B#####@########6######## ####Theorem 1: ########T#######A####C#a#l#i#b#r#i#"#########@###C###D# #F ###H## ####### C## #####################################################j########## ############# #####z###y## x## ###### ##$###$#6 6###############z###>######B#########"####6######## # #############A####C#a#l#i#b#r#i#T#######@###C###D##F #########@###B# #C###D##F #########@###C###D##F ### ####### C## ###n######,###(########(########(1#######(################# ################################# ########/####l###x# #!0#-# #m#e#a#n#s# #a#s# #x# #a#p#p#r#o#a#c#h#e#s# #0# #f#r#o#m# #t#h#e# #l#e#f#t# #o#r# #b#e#l#o#w###############x#####z###y## x## ###### ##$###$#6#6###############z###>######B#####@########6######## ##### ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`########## #################v#####z###y## x## ###### ##$###$#66###############z###>######B#####@########6######## ####The Basic Limit Laws are used for computing limits of functions constructed as sums, multiples, products, or quotients of other functions #######J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## ####################################################`### #################################~#####z###y## x## ###### ##$###$6B6#################################z###y## x## ###### ##$###$#6N6###################z###>######B#####@#######(6######## ####The limit of (f(x) + g(x)) as x approaches c is equal to the limit of f(x) as x approaches c plus the limit of g(x) as x approaches c #######J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## ### ################################################`############+##############################z###y## x## ###### ##$###$(66###############z###>######B#####@#######S6######## #]###The limit of (k*f(x)) as x approaches c is equal to k * the limit of f(x) as x approaches c #######J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## n###`################################################`### ########Z#########################z###y## x## ###### ##$###$S6! 6#####################u###w###y###{###}###################z###y## x## ###### ##$###$6Hi6#############################z###y## x## ###### ##$###$6`6##############################z###y## x## ###### ##$###$66################################z###y## x## ###### ##$###$6k6###############z###>######B#####@#######6######## #A###If the limit of g(x) as x approaches c DOES NOT equal 0, then: ########d#######A####C#a#l#i#b#r#i#2#######@###D##F #########@###D##F ###H## ####### C## r###D######"###('#######(########(############################ ###################z### ########=################z###>######B#####@#######6######## ####The limit of (f(x)/g(x)) as x approaches c is equal to the limit of f(x) as x approaches c divided by the limit of g(x) as x approaches c #######J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## ####################################################`### ###################################z###y## x## ###### ##$###$66###############z###>######B#####@#######6######## ####The limit of (f(x)*g(x)) as x approaches c is equal to the limit of f(x) as x approaches c multiplied by the limit of g(x) as x approaches c ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## ####################################################`########### #f####i##########################z###y## x## ###### ##$###$6[6###############z###>######B#####@#######46######## #7###"Continuous" means having no breaks or interruptions ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## H###:################################################`### ########'#######################z###y## x## ###### ##$###$46#6##########################z###y## x## ###### ##$###$G6=6###############z###>######B#####@#######G6######## ##### #######^#######A####C#a#l#i#b#r#i#,#######@###D##F #######@###D##F ### ####### C## *##############(########(####################################### ########t###################z###>######B#####@#######B6######## #/###A break in a graph is called a discontinuity ########~#######A####C#a#l#i#b#r#i#L#######@###D##F #########@###D##F ###H########@###D##F ###H## ####### C## `###2######"###(########( #######(############################################################### ################z###y## x## ###### ##$###$B646##########################z###y## x## ###### ##$###$W6J6###############z###>######B#####@#######V6######## #####Definition: Continuity at a Point #######P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D##F ###H## ####### C## 4###&################################################f### ###################z###>######B#####@#######r6######## #####(iv) Quotient Law:########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## &####################################################`### #######################z###>######B#####@#######h6######## #####(iii) Product Law: ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## &####################################################`### #######################z###>######B#####@#######_6######## #####(ii) Constant Multiple Law: #######J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## .### ################################################`### #######################z###>######B#####@#######M6######## #####(i) Sum Law:########^#######A####C#a#l#i#b#r#i#,#######@###D##F #######@###D##F ### ####### C## @##########"###(########(########(############################ ###################t################ ##########################|#####z###y## x## ###### ##$###$?6#6###############z###>######B#####@#######?6######## #g###Assume that the limit of f(x) as x approaches c and the limit of g(x) as x approaches c exist. Then, ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## x###j################################################`### ########c##################z#####z###y## x## ###### ##$###$#6#6###############z###>######B#####@########6######## #####Theorem 1: Basic Limit Laws #######P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D##F ###H## ####### C## .### ################################################f### #########################z##########@#######P6 #####Chapter 2 ####z###B#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D#T#F ### C## ##################################################X### ################################### #z###y## x## ###### ##$###$######P6N6######################0###e############## ####6}N&#p-t|#####C#h#a#p#t#e#r# #2############ #z########## #######@####### 6 # ###5:36 AM ####j###L#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###C###F # ####### C## #### ####################b############################# #z###y## x## ###### ##$###$## ##4### 6 6################# #z########## #######@####### 6 #####Thursday, January 22, 2009 #####j###L#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###C###F # ####### C## .### ####################b################################# #z###y## x## ###### ##$###$## ##4### 6 6###########################z### ##$####### ### #######4############ ##>###### 6############?######@?##@?###?#### ############z### ##$####### ### ###################>###### 6###############?######@? ##@?###?##@#### ################z###########>######### ##$ 6######## # ################## ########$##################################### #####z###y## x## ###### ##$###$66###########################z###y## x## ###### ##$###$66###############z###>######B#####@#######6######## ##### #######b#######A####C#a#l#i#b#r#i#0#######@###C###D##F #######@###D##F ### ####### C## *##############(########(####################################### ########x#######################z###>######B#####@#######6######## #G###If n is a natural number, then y=x^(1/n) is continuous on its domain ########b#######A####C#a#l#i#b#r#i#0#######@###C###D##F #######@###D##F ### ####### C## n###J##########(D#######(####################################### ########x### ########>#################### ###!#####z###y## x## ###### ##$###$&##$66#######################z###>######B#####@#######^6##### ### ##### #######^#######A####C#a#l#i#b#r#i#,#######@###D##F #######@###D##F ### ####### C## *##############(########(####################################### ########t#########################(#####z###y## x## ###### ##$###$^6^6###############z###>######B#####@#######^6######## ####Let F(x) = f(g(x)) be a composite function. If g(x) is continuous at x=c and f is continuous at x=g(c), then F(x) is continuous at x=c ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## ### ################################################`### ##############################z###y## x## ###### ##$###$^6#6################################################## ###############################################"########## %###########'########z###y## x## ###### ##$###$^6Ti6# #############z###>######B#####@########6######## ##### ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`########## #################&#####z###y## x## ###### ##$###$#6#6###########################z###y## x## ###### ##$###$#66###############z###>######B#####@#######6######## #/###Theorem 3: Continuity of Some Basic Functions #######P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D##F ###H## ####### C## @###2################################################f### ########$##############z#######R######### #### ###6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################z###>######B#####@## #####6######## #I###For b > 0 and b doesn't equal 1, log base b of x is continuous for x >0 #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## Z###L################################################d### ########F##############################z###y## x## ###### ##$###$&##$66#######################z###>######B#####@########6##### ### ####If f(x) is a continuous function on an interval I with range R and the inverse of f(x) exist, then the inverse of f(x) is continuous in the domain R ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## ####################################################`### ####################z###>######B#####@########6#########1###Theorem 4: Continuity of the Inverse Functions ########P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D##F ###H## ####### C## B###4################################################f### ########%############z###>######B#####@########6######## #3###Theorem 5: Continuity of the Composite Functions ########P#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D##F ###H## ####### C## D###6################################################f### ########'################A#####z###y## x## ###### ##$###$16/6###############z###>######B#####@#######/6######## ##### ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`########## #################*#####z###y## x## ###### ##$###$/6q6###############z###>######B#####@#######-6######## #C###The rule of substitution only works when f(x) is continuous . Consider the limit of (x^2-25)/(x-5) as x approaches 5; substitution gives you 0/0, but the limit of (x^2-25)/(x-5) as x approaches 5 equals the limit of ((x+5)(x-5))/(x-5) as x approaches 5 which equals the limit of( x+ 5) as x approaches 5, which equals 10 ########J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## T###F################################################`### ########>################z###>######B#####@#######g6######## #y###We say that f(x) has an indeterminate form at x=c if, when f(x) is evaluated at x=c, we obtain an undefined expression: #######d#######A####C#a#l#i#b#r#i#2#######@###D##F #########@###D##F ###H## ####### C## ###| ######"###(########(########(N###################################### ########z### ########v################z######@#######336 #####Theorem 1: Squeeze Theorem #####|###D#######A####C#a#l#i#b#r#i###########@###D##F ###H## C## *### #############################################Z### ###########################Z#####z###y## x## ###### ##$###$666))6############## ########\#####z###y## x## ###### ##$###$YY6AA6############## ##z###>### ###B#########"###XX6######## ###############A####C#a#l#i#b#r#i#P#######@###D##F #########@###B# #C###D##F #########@###C###D##F ### ####### C## ###z######,###(########(########('#######(################# ################################# ########9####x###A#s#s#u#m#e# #t#h#a#t# #f#o#r# #x# #`" #c# #(#i#n# #s#o#m#e# #o#p#e#n# #i#n#t#e#r#v#a#l# #c#o#n#t#a#i#n#i#n#g# #c#)# ########z###>######B#####@########6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############`#####z###y## x## ###### ##$###$$66 66###############z###>######B#####@########6######## #c###Then, the limit of f(x) as x approaches c exist and the limit of f(x) as x approaches c equals L ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## t###f################################################d### ########_##################^#####z###y## x## ###### ##$###$$6``6###############z###>######B#########"####6######## # ##############A####C#a#l#i#b#r#i#T#######@###C###D##F #########@###B# #C###D##F #########@###C###D##F ### ####### C## .#########@###(########(########(########(########(a####### (################################################## ########m#######l#(#x#)# #d" #f#(#x#)# #d" #u#(#x#)# #a#n#d# #t#h#e# #l#i#m#i#t# #o#f# #l#(#x#)# #a#s# #x# #a#p#p#r#o#a#c#h#e#s# #c# #e#q#u#a#l#s# #t#h#e# #l#i#m#i#t# #o#f# #u#(#x#)# #a#s# #x# #a#p#p#r#o#a#c#h#e#s# #c# #e#q#u#a#l#s# #L# ##############b#####z###y## x## ###### ##$###$$66 66###############z###>######B#####@########6######## #+###Theorem 2: Important Trigonometric Limits #######T#######A####C#a#l#i#b#r#i#"#########@###C###D## F ###H## ####### C## <###.################################################j### ######################### ### #############z### ##$####### ### ########################6#############?######@?##@?####PA#?##?#@ ############z###>######B#####@#########6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############X#####z###y## x## ###### ##$###$##6##6############## ########V#####z###y## x## ###### ##$###$##66########## ##########)###@###B###P###S###U###W#########z###y## x## ###### ##$###$##6ci6###################z###>######B#####@#########6######## ####When f is indeterminate at x=c, we try to transform f into a new expression that coincides with f(x) near c but is continuous at x=c and then use substitution ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## ###$################################################d### ############################T#####z###y## x## ###### ##$###$66###############z###>######B#####@#######6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############Q#####z###y## x## ###### ##$###$66###############z###>######B#####@#######6######## #+###We also say f(x) is indeterminate at x=c ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## <###.################################################d### ########'##################D###F###H###M###C#####z###y## x## ###### ##$###$656#####################N###O#####z###y## x## ###### ##$###$&##$66#######################z###>######B#####@#######6######## #####Infinity - infinity #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## &####################################################d### ###################z#######R######### #### ###6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#######################I###L#####z###y## x## ###### ##$###$&##$66#######################z###>######B#####@#######6######## ##### infinity * 0 #######d#######A####C#a#l#i#b#r#i#2#########@###C###D## F #######@###D##F ### ####### C## 6##############( #######(###############################################z### ######## ############z#######R######### #### ###6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#################z#######R######### #### ###6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#######################G###K#####z###y## x## ###### ##$###$&##$66#######################z#######R######### #### ###6###########W#i#n#g#d#i#n#g#s#######################E###J#####z###y## x## ###### ##$###$&##$66#######################z###>######B#####@#######6######## #####infinity/infinity #######d#######A####C#a#l#i#b#r#i#2#######@###D##F #########@###C###D##F ### ####### C## D##########"###( #######(########(###############################################z### ######## ##############z###>######B#########@###6######## #######J#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###D##F ### ####### C## #####################################################`### #################0/0######zV########|####'x@:+@ O######################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ##############################################################K3 #######u###(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#####zV########H#J# D#######-H#@# J########-H#6# F#######-H#,# K########-H#"# L########-H##$I########-H## H#######-H## O########-H###N########-H## M#######-H## B#######-H##"Q########-H###P#######-H#q##T########H#i##S#######-H#8#1V########-H#,# ########-H#$##U#######-H####W#######-H####X########-H### ### ####`s#Q#C#a####-H###d########`#'#AE>^d ####-H###a#######`g#G--##9####H#~#G^########`#AA%H4RB*####-H#v##]### ####`c[{K#_Lo#\####H#M#)`########``NkN&II I V=WM####-H#E##_###### #H#)[email protected]####-H##7\########H###[#######`whRI#%2 ####-H###Y#######`1}E7WK|##[####H###Z########`##2Hyr####H##3C########`##K?+'M b_@@####-H#N#E*########`#+O]P9####-H#F##)#######H#*##A########`,q,DN#t####-H#"##@### ####`b#ZJ6^6####H############`#`QuEW@##~####-H############`S! Bi#j:####-H##/#########`*j#lE2SY####-H## ########-H#}#&#########-H#s# !########`EU#\H#<####-H#P## ########`%RYLL## # # # ####-H#H######### #-H# @##%### ####-H#$##&########`#MlV?s####-H# ## #######-H############-H##-#########-H###'#######-H##! (########`'GC! ####-H## ########-H#y#+ ########H#W#"#########`2=#XMv#q<####-H#O##"#######-H#E# ########`:$KqEP'W######-H#B## ###7####-H#9# ###,####-H#*###### ####-H######## ####-H### ########-H############-H## ########-H############-H#######0####-H## ########-H############-H##!z########-H#y##y#######-H#P#)| ########-H#H##{#######-H#"#&~########-H### ########H###########-H###########-H##!########-H###### ####-H##########-H#g#,########-H#F#!########-H#>##### ####-H#6#########-H############-H###########H##/########-H##########-H##.########H#z#,########-H#q# #######-H#i#########-H#`# ### ####-H#T# #######-H#L#########-H#$#(########-H###########H##.########-H## ####### # #-H# }######## H##.v########-H###u#######-H###x########-H###w#######H#L#6#########-H#D##########-H#&## ########-H### "########H##!#######-H# %########-H#,:########-H# =########-H##s#######-H#3t########-H#w \#######-H#P']########-H#)'g########-H## f#######-H###q########-H# #p#######-H# #########-H# 9#######-H# ;#######-H# G########-H# Q########-H# [########-H# e########-H# o########-H# >#######-H#t &?########-H#j H#######-H#D &I########-H#: R#######-H## %S########-H##$<########-H##46########-H###5#######H###8########-H###7#######-H###1#######-H#_#*.########H#U# )#######-H#7##*########-H#/##-#######-H####2########-H######## ####-H####3#######-H# #4########-H# #&#######-H# ,########-H# ########-H# #$########-H# *'########-H#K 6#########-H#C #########-H## #########-H## "#########-H# #########-H# ########-H# # ########-H# ########-H#~ ####-H#6 @########-H# #########-H#v #### *########-H## ########-H## #######-H## ########-H###########-H## #######-H###########-H##########-H## #######-H#v#"########-H#l# #######-H#b# ########-H#D##########-H###>########-H##########H###########-H##########-H##C########-H###### ####-H#s##########-H#k#########-H#J#!########-H#B##### ####-H#"# ########-H### ########-H##(########-H## #######-H## ########-H##)########-H## #######-H###########-H##########-H#{# #######-H#s#########-H#U##########-H#M#########-H#! #,########-H###########-H## ########-H##########H##+########-H##!########-H##########H#i#4########-H#a#########-H#E##########-H#=#########H###!########-H###########-H###########-H##########H##%########-H##########-H##!########-H## ########-H#w#!########-H#m# #######-H#c# ########-H#=#&########-H#5#########-H#-##########-H### #########`>>E[#sf####-H##1#########`# ZZI`#####-H## ########`xy{#E#####-H## #########`C###Gr\e####H##.#########`#WJ#eK9Q####-H## [email protected]####-H## # # #########`=D##K^6V####-H## #######-H#v##########-H#l# #######`\. #9J##MT ####-H#d##### ####`:$KqEP'W######y#########@$######'N>CsK##KbD ####y#########@$#######{#;#F#iED####y#########@$####### 19E<$,##D####y#########@$#######Ty/Ac %W<#D####y#########@$#######{I| LkWMD####y#########@$#######'x@:+@ D####`udCu| C@#####-H#Z# o########-H#;##f########-H#3##e#######-H#'# ########-H### l########-H####p#######-H### g#######-H##>h########-H## c#######-H## m#######-H###q########-H#^#?n########` y#A#515#####-H#6#( ########-H#.##i#######-H##fj########Y0########Y0 #######d##########u]###############K3##z V######## `+ 2Q [email protected][email protected]##### ################################################################################### ############################################################################### ####K3##zV#########p+ 2Q [email protected]########## kH~WO#V########################## | #######!##$`####e<)Cv%pY$`####R#K#%^(#` K#]k####-H#=######1####-H#6## ########-H#,# ########Y0########Y0 #######################K3##################,##,0###e###c##,########## ##/vB##J"t|############## #####0###e### ##$####GG(( M %pM| Nj #########################zV########d######### #y9########################################################################## ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ##############################################################K3 #######z###>######B#########"###u6######## ###############A####C#a#l#i#b#r#i#l#######@###C###D##F #########@###B# #C###D##F #########@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## D### ######,###(########(########(########(########################## ##### ###x#!c####################'#####z###y## x## ###### ##$###$u6A6############# ###'########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########<####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####*:@(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >:#######I;G'G###################6##################### ######zV######### z1> #a-#VV#####I#'###&`-Bh#####{{#######! 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##>##>####S#BB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ###########z###>######B#####@#######*6######## #####Corollary 2: Existance of ########r#######A####C#a#l#i#b#r#i#@#########@###C###D# #F ###H########@###C###D##F ###H## ####### C## N### ######"###(#######( #######(############################################################## ##############################z###y## x## ###### ##$###$*6"6############# ############z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SUEB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6##################### ######################z###y## x## ###### ##$###$ 6 6########## #######################################z###y## x## ###### ##$###$ 6#6###############z###>######B#####@####### 6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## ###################z###y## x## ###### ##$###$ 66##########zV########`#####kL4####A0#)#### ##-H#)############`65G##}#####A0#)# ####-H#)###########`#'1 gG--####A0#p)( ####-H#h)###########H#>)*###########x##########~####### f##(#####/\[email protected] #######! ##&@############(#`nWiI#AcZ####A0#*"#####`0#/ `E0Nzz####A0#* ####A0#*######`}|P EE 7 ]####A0#u*( ####-H#m*###########H#O*############x###########v####### 1- (7# } qe^,####f##(######{{{ #######! ##&@############(#`$oI#}####A0#*( ####A0#*######A0#*!#####d##########9#(### `{c# %7%# n#####)T ##t####0### #######! ##&@############)#`N#XBB.. eL ####A0#)f#####`#### #kL4####A0#)######H#)######<##`65G##}#####-H#)##### =##`nWiI#AcZ####H#*"#####<##`0#/`E0Nzz####A0#* ####-H#*##### =###################\##########K3#######z###>######B#####@###### #66######## #####If f ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #### ################################################d### #####################################z###y## x## ###### ##$###$6656############# ############z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SHB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6##################### ######################z###y## x## ###### ##$###$36"6########## ###########################################z###y## x## ###### ##$###$36#6###################z###>######B#####@#######16######## #!###Corollary 2: Existence of Zeros #######T#######A####C#a#l#i#b#r#i#"#########@###C###D## F ###H## ####### C## 2###$################################################j### #########################z###>######B#####@#######>6######## #####If f(x) is continuous on [a,b #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## 0###"################################################d### #####################################z###y## x## ###### ##$###$>656############# ############z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SHB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6##################### ##########z###>######B#####@#######J6######## #9###If f(x) is continuous on [a,b] and if f(a) and f(b) are #######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## j###<######"###(########(########(############################ ###################|################ #####4########################z###y## x## ###### ##$###$J656############# ############z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SHB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######7###7########## #####zV########`dKDF?#g####A0#X+( ####-H#P+#####=##-H#$ +,#####<##x##########^#p'####### l$##<#i####`{c# %7%# n######t}#########!# #&@############(#` # Lt1/####A0#8,( ####A0#0,######A0##,0#####d##########9#(### #W##)ic####l$##<#-i##### #######!# #&@############(#`###%DV'$####A0#,( ####A0#,######A0#`,4#####d##########9#(### i#6`##- Q####)T ##t#### #########!# # %0########%0########%0########(#`5ip#tEB7A`#~####A0#f#####A0#-######-H#-############-H#-###########-H#-"###########H#-###########-H#R-4###########-H#J-###########-H#.-############A0#!- ####-H##-###########A0#,( ####`?a #I'(3K_####-H#,###########-H#, %###########x##########J]])####### 4! ##a8####i#6`##- Q####2#########!# #%0######## %0######## %0########(#####################8u##########K3#######z###>###### B#####@#######T6######## #[###If f(x) is continuous on [a,b] and if f(a) and f(b) are nonzero and have opposite signs, #######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ###^######"###(########(########(=########################## ####################|################ #####W######################z###y## x## ###### ##$###$T656############# ############z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SHB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######Y###Y########## ##########z###>######B#####@#######^6######## #w###If f(x) is continuous on [a,b] and if f(a) and f(b) are nonzero and have opposite signs, the f(x) has a zero on (a,b) #######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ###z######"###(########(########(Y########################## ####################|################ #####q##########################z###y## x## ###### ##$###$^656############# ############z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SHB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######u###u########## ##########z###>######B#####@#######h6######## #####Bisection Method: #######l#######A####C#a#l#i#b#r#i#:#########@###C###D## F ###H######@###C###D##F ### ####### C## :##############(########(####################################### #########################################z###y## x## ###### ##$###$h6b6############# ############z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SKB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6##################### ######################z###y## x## ###### ##$###$a6`6########## ###################################################z###y## x## ###### ##$###$a6#6# #################z###>######B#####@#######`6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## ###################z###y## x## ###### ##$###$`656###############z###>######B#####@#######^6######## #w###If f(x) is continuous on [a,b] and if f(a) and f(b) are nonzero and have opposite signs, the f(x) has a zero on (a,b) #######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ###z######"###(########(########(Y########################## ####################|################ #####q##########################z###y## x## ###### ##$###$36"6###############z###>######B#####@#######16######## #!###Corollary 2: Existence of Zeros #######T#######A####C#a#l#i#b#r#i#"#########@###C###D## F ###H## ####### C## 2###$################################################j### #####################################z###y## x## ###### ##$###$ 6 6###############z###>######B#####@####### 6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## ###################z###y## x## ###### ##$###$ 66###############z###>######B#########"####6######## ####X##########A####C#a#l#i#b#r#i########@###C###D##F #######@###C###D##F #########@###B# #C###D##F #########@###C###D##F ### ###@###B###C###D##F ###J #### ####### C## ###\######^###(,#######(########(########(########(V####### (########(########(########(########################################### #######-########,### /############### ############Z###I#f# #f#(#x#)# #i#s# #c#o#n#t#i#n#u#o#u#s# #o#n# #a# #c#l#o#s#e#d# #i#n#t#e#r#v#a#l# #[#a#,#b#]# #a#n#d# #f#(#a#)# #`" #f#(#b#)#,# #t#h#e#n# #f#o#r# #e#v#e#r#y# #v#a#l#u#e# #M# #b#e#t#w#e#e#n# #f#(#a#)# #a#n#d# #f#(#b#)#,# #t#h#e#r#e# #e#x#i#s#t# #a#t# #l#e#a#s#t# #o#n#e# #v#a#l#u#e# #c# ### #(#a#,#b#)# #s#u#c#h# #t#h#a#t# #f#(#c#)# #=# #M############z###>######B#####@#######s6######## #####Assume f is continuous, #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## *####################################################d### #############################!#####z###y## x## ###### ##$###$s6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####S#OB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6##################### ######################z###y## x## ###### ##$###$j6b6######################################################## ### #####z###y## x## ###### ##$###$j6#6# ########zV#### ###`l#g#F(####A0#. ####A0#.######`.#b8L# '####A0#j.( ####-H#b.# #########-H#B. ! ####################ljC############ *wD#?s ####)T ##t####c!!! #######! ##&@############(#`N#XB .eL####A0#(f#####`##### kL4####A0#)######H#)######D#d#`65G##}#####-H#)##### E#d#`nWiI#AcZ####H#*"#####D#d#`0#/`E0Nzz####-H#*##### E#d#`###%DV'$####H#`,4#####D#d#`#;#MQ#=Fmc####-H#/#####E#d#H#/######D#d#``}} } } _H#2e####-H# /#####E#d#` @H######-H#/%#####D#d#A0#/ ####-H#/#####E#d#`Yz XJ#>}''####A0#\/( ####-H#T/# ###E#d#-H#'/-! ####D#d#x##########A#&####### )| #A##8q####*wD#?s [email protected]$$$ #######! ##&@############(#`\#*DOf0@####A0##0( ####A0##0# ####A0#/&! ####d##########9#(###################################### ########K3#######z###>######B#####@#######6######## #C###Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have oppisite signs #######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## t###F######"###(3#######(########(############################ ###################|############3### ;####<################!#####z###y## x## ###### ##$###$6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########<####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####S#OB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######A###A########## ######################z###y## x## ###### ##$###$j6b6######################################################## ### #####z###y## x## ###### ##$###$j6#6# #############z###>######B#####@#######h6######## #####Bisection Method: #######l#######A####C#a#l#i#b#r#i#:#########@###C###D## F ###H######@###C###D##F ### ####### C## :##############(########(####################################### #########################################z###y## x## ###### ##$###$a6`6###############z###>######B#####@#######`6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## ###################z###y## x## ###### ##$###$`656###############z###>######B#####@#######6######## #C###Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## T###F################################################d########## ##3####<#####################!#####z###y## x## ###### ##$###$6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########<####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####S#OB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######;###;########## ##########z###>######B#####@#######6######## #_###Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in ( ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## p###b################################################d### ########[######################!#####z###y## x## ###### ##$###$6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########<####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####S#OB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######\###\########## #####zV#### ####\ OoDs##B ####)|#A##8q####C--- #######! ##&@############(#`#5y#FDD{{ | ####A0#q0( ####A0#i0# [email protected])!####d##########9#(### D]#}#8B#F+L####)T ##t####666 #######! ##&@############)#`N#XBB.. eL ####A0#)f#####`#### #kL4####A0#)######H#)######<##`65G##}#####-H#)##### =##`nWiI#AcZ####H#*"#####<##`0#/`E0Nzz####-H#*#####=##`### %DV'$####-H#`,4#####<##`#;#MQ#=Fmc####-H#/##### =##-H#/######<##``}} } } _H#2e####-H# /##### [email protected]######-H#/%#####<##A0#/ ####-H#/#####=##`# I#i####A0#U1( ####-H#M1# ###=##-H##14! ####<##x##########A#&####### e /3?## ))Y ####D]#}#8B#F+L####p#+=== #######! ##&@############(#`%+C##2p####A0#1( ####A0#1# ####A0#}1?! ####d##########9#(####################### ##########K3 #######z###>######B#####@#######6######## #{###Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a #######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ###~######"###(\#######(########(########################### ####################|############\### _####x################! #####z###y## x## ###### ##$###$6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####S#OB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######y###y########## ##########z###>######B#####@#######6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m ##(######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ##########J###(\#######(########(########(########(########( ########(###############################################| ###(########\### _####x### {####### ##########################! #####z###y## x## ###### ##$###$6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####S#OB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ###########z###>######B#####@#######6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m=(a #(######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ##########J###(\#######(########(########(########(########( ########(###############################################| ###(########\### _####x### {####### ########################! #####z###y## x## ###### ##$###$6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####S#OB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ######zV######### U1#A#*#mkn####e /3?## ))Y #####]=CCC #######! ##&@############(#`6C"xRX#####A0#32( ####A0#+2# ####A0#1?!####d##########9#(### k; #[f##6y#) ####)T [email protected] #######! ##&@############)#`N#XBB.. eL ####A0#)f#####`#### #kL4####A0#)######H#)############`65G##}#####-H#)##### ######`nWiI#AcZ####H#*"###########`0#/`E0Nzz####-H#*###########`### %DV'$####-H#`,4###########`#;#MQ#=Fmc####-H#/##### ######-H#/############``}} } } _H#2e####-H# /##### [email protected]######-H#/%###########A0#/ ####-H#/###########`#e&9<#-@#QlT####A0##3( ####-H##3# #########-H#2@! ##########x##########A#&####### #: ,(7}-####k; #[f##6y#) #####"RRR #######! ##&@############(#`&XE8i#####A0#3( ####A0#3# ####A0#K3F! ####d##########9#(#################################K3 #######z###>######B#####@#######6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m=(a +b)/2#######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ##########J###(\#######(########(########(########(########( ########(###############################################|###########\### _####x### {####### #########################! #####z###y## x## ###### ##$###$6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########<####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####S#OB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ###########z###>######B#####@#######6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). 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Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a.b] to determine which compute ##d#######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## P#########r###(\#######(########(########(########(######## (########(########(########(########(########(######################### ######################|###<########\### _####x### {####### ####### ####### ########################!#####z###y## x## ###### ##$###$6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########<####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SURB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ######zV#### ####\ F*jp#/o:0#####)T ##t####=ZZZ #######! ##&@############)#`N#XBB.. eL ####A0#)f#####`#### #kL4####A0#)######H#)########T#`65G##}#####-H#)##### ##T#`nWiI#AcZ####H#*"#######T#`0#/`E0Nzz####-H#*##### ##T#`###%DV'$####H#`,4#######T#`#;#MQ#=Fmc####-H#/#######T#H#/########T#``}} } } _H#2e####-H# /##### [email protected]######-H#/%#######T#A0#/ ####-H#/#######T#`e&[email protected]####A0##4( ####-H##4# #####T#-H#3N! ######T#x##########A#&####### #zg#&'G PZ####F*jp#/o:0#####3#aaa #######! ##&@############(#`##CJr####A0##5( ####A0##5# ####A0#4O!####d##########9#(### g| [email protected]#####zg#&'G PZ#####ggg #######! ##&@############(#`(N#v#JOC####A0#5( ####A0#5# ####A0#>5S! ####d##########9#(####################### ##########K3#######z###>######B#####@####### 6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a.b]. To determine which compute f(m). ##d#######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## X#########r###(\#######(########(########(########(######## (########(########(########(########(########(%######################## ######################|###<########\### _####x### {####### ####### ####### ########################!#####z###y## x## ###### ##$###$\ 6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SURB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ###########z###>######B#####@#######6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a.b]. To determine which compute f(m). If f(a) and f(m) have opposite #d#######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## v#########r###(\#######(########(########(########(######## (########(########(########(########(########(D######################## ######################|###<########\### _####x### {####### ####### ####### ##########################!#####z###y## x## ###### ##$###$6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SURB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ###########z###>######B#####@#######6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a.b]. To determine which compute f(m). 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Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a.b]. To determine which compute f(m). A zero lies in (a,m) if f(a) and f(m) have opposite signs #####&###f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## #############(\#######(########(########(########(######## (########(########(########(########(########(4#######(########((#### ##########################################|###K########\### _####x### {####### ####### ####### ####### #######################!#####z###y## x## ###### ##$###$#6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SURB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ###########z###>######B#####@########6######## #/###Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a.b]. 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Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a.b]. To determine which compute f(m). A zero lies in (a,m) if f(a) and f(m) have opposite signs and in (m,b) if f(m) and f(b) have opposite signs. Continuing this process, we can ####:###f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ###f#########(\#######(########(########(########(########(### #####(########(########(########(########(4#######(########(/#######( ########(I##############################################| ###P########\### _####x### {####### ####### ####### ####### ######## #####]####################!#####z###y## x## ###### ##$###$.6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SURB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######a###a########## #####zV######### 64R o# ########V#!# "V####444 #######! ##&@############(#`<#E/#k*@+####A0#O8( ####A0#G8# ####A0#7h!####d##########9#(### [#7##J###### e## ##1J####/DDD #######! ##&@############(#`s#]ydH^#H####A0#o9( ####A0#g9# ####A0#8p!####d##########9#(### vN [### K#&H####[#7##J######ww#######!# #$`#####mnE #<V;&@############(#`'k#)lHT#f=####A0#:#i####A0# ,:Tj####`#+T,Ekl#x_####A0##:( ####A0#9# ####A0#9e!####d###########-### 36#)8#P####vN [### K#&H####``` #######!# #L####A0#:( #&@ ############(#`gV%HmF#| ####A0#:# ####A0#:^!####d##########9#(### #V00K %Fr2####36#)8#P####### #######! ##$`#####Y#-d %0########&@############(#`#CG"9>####A0#;Z! ####A0#;# ####-H#;############A0#a;* ####-H#Y;#"### #################H##########K3#######z###>######B#####@#######= 6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a.m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a.b]. To determine which compute f(m). A zero lies in (a,m) if f(a) and f(m) have opposite signs and in (m,b) if f(m) and f(b) have opposite signs. Continuing this process, we can locate zero with aritrary accura ####N###f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## @#############(\#######(########(########(########(########( ########(########(########(########(########(4#######(########(/####### (########(Y#######(########(######################################### ######|###Z########\### _####x### {####### ####### ####### ####### ######## #####r### z####{######################! #####z###y## x## ###### ##$###$=6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SUB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ###########z###>######B#####@#######G6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [am] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a.b]. To determine which compute f(m). A zero lies in (a,m) if f(a) and f(m) have opposite signs and in (m,b) if f(m) and f(b) have opposite signs. Continuing this process, we can locate zero with arbitrary accuracy ##i#######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## #### ######r###(#######(########(########(########(########(########( 4#######(########(/#######(########(m################################### ###########|###A########x####z####### ####### ####### ####### ######## ################!#####z###y## x## ###### ##$###$G6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SUB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######y###y########## ##########z###>######B#########"###D6######## # #############A####C#a#l#i#b#r#i########@###C###D##F ###"#####@###B###C###D##F ###J ##########@###C###D##F #########@###B# #C###D##F ###"#####@###B# #C###D##F ###J #### ###@###B###C###D##F ###J #### ####### C## J###^#########(########(########(########(########(######## (########(########(########(########(########( #######(########(########(########(########(########(########(######## (########(########(########(####################### #############\###c#o#s#r# #d" #s#i#n#r#/#r# #d" #1#,# #f#o#r# #-##/#2# #<# #r# #<# ##/#2#,# #r# #`" #0###############j#####z###y## x## ###### ##$###$D6K6###############z###>######B#####@#######Q6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a,m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a,b]. To determine which compute f(m). A zero lies in (a,m) if f(a) and f(m) have opposite signs and in (m,b) if f(m) and f(b) have opposite signs. Continuing this process, we can locate zero with arbitrary accuracy #######f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ### ######6###(#######(########(/#######(########(m################# #############################| ###A########x####{############################### ######## ####################!#####z###y## x## ###### ##$###$Q6k6############# ###!########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SUB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ##################################################### ###"########z###y## x## ###### ##$###$Z6#6##################### ### ########### ###$#####z### ##$####### ### ######################Z6#############?######@?##@?####PA#?##?#@ ############z###>######B#####@#######Y6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############%#####z###y## x## ###### ##$###$Y6Y6###########################z###y## x## ###### ##$###$Y6Y6############# ###%########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####SUB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >N#######I9haDe#CrC####2##############6##################### #######?eB#############z###>######B#####@#######Y6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############!#####z###y## x## ###### ##$###$Y6k6###############z###>######B#####@#######W6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a,m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a,b]. To determine which compute f(m). A zero lies in (a,m) if f(a) and f(m) have opposite signs and in (m,b) if f(m) and f(b) have opposite signs. Continuing this process, we can locate zero with arbitrary accuracy ########f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ### ######"###(########(########(m###################################### ########| ###7########x####{########################################zV#### ####-H#Q;#$#########-H#5;#%##########`##XXH#llwK####A0#$;# ####A0##;# ####x##########nHi####### T \##>ps#####V00K %Fr2####0 #######!##&@############%0######## %0########(#`^#oA s'"O####A0#<"%####A0#<* ####A0#<# ####A0#< $####`kE#o'i####-H#<#&#########H#<#'##########x############(####### ##: 47q####36#)8#P############!# #$`#####Y#d&@############(#`#:#Gs####A0##>Z! ####A0#=# ####-H#=############-H#=#"#########A0#=# ####-H#="%##########A0#=# ####`#i,C+ma####-H#r=!'##########` 2 #N0f####-H#i= $#########-H#a=#&#########`# s@!]ww####A0## 9=( ####-H#1=#(#########H##=#)##########x##########Cl####### m7I###{ ######%#:47q####//#######!# #&@############(#`/ Dz#A\2"####A0#>( ####A0#~>#(####A0#Z>$)###############p##########K3#######z###>#### ##B#####@#######k6######## ##### ########T#######A####C#a#l#i#b#r#i#"#########@###C###D# #F ###H## ####### C## #####################################################j########## ###############'#####z###y## x## ###### ##$###$k6k6#####################&###%#####z###y## x## ###### ##$###$h6`6##################### ### ########### ###$#####z### ##$####### ### ######################h6#############?######@?##@?####PA#?##?#@ ########## ###'########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####XB(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >N#######I9haDe#CrC####2##############6##################### #######?XB#############z###>######B#####@#######h6######## #'###2.8 The Formal Definition of a Limit ########T#######A####C#a#l#i#b#r#i#"#########@###C###D### F ###H## ####### C## 8###*################################################j### ###################z###>######B#####@#######z6######## #####supp ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #### ################################################d#################### #######)#####z###y## x## ###### ##$###$z6z6############# ###)########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####S#[B(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6##################### ################'#####z###y## x## ###### ##$###$v6o6#####################&###(###%#####z###y## x## ###### ##$###$v6`6###############z###>######B#####@#######v6######## #####Formal Definition of a Limit: #######T#######A####C#a#l#i#b#r#i#"#########@###C###D## F ###H## ####### C## 0###"################################################j### ##################### ### ########### ###$#####z### ##$####### ### ######################h6#############?######@?##@?####PA#?##?#@ ############z###>######B#####@#######h6######## #'###2.8 The Formal Definition of a Limit ########T#######A####C#a#l#i#b#r#i#"#########@###C###D### F ###H## ####### C## 8###*################################################j### ############################################################# ###"########z###y## x## ###### ##$###$Z6#6###############################z###y## x## ###### ##$###$Y6Y6###############z###>######B#####@#######Y6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############!#####z###y## x## ###### ##$###$Y6k6###############z###>######B#####@#######W6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a,m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a,b]. To determine which compute f(m). A zero lies in (a,m) if f(a) and f(m) have opposite signs and in (m,b) if f(m) and f(b) have opposite signs. Continuing this process, we can locate zero with arbitrary accuracy ########f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ### ######"###(########(########(m###################################### ########| ###7########x####{#############################################z###>### ###B#####@#######6######## #=###Suppose that f(x) is defined for all x in an open interval #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## N###@################################################d### ########2################)#####z###y## x## ###### ##$###$6z6############# ###)########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########>####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####S#[B(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######;###;########## #####zV########d##########9#(### VHw#p###aq#####36#)8#P####000 #######! ##$`#####Y#-d&@############(#`4l:? ##^I>J#f#####A0#?Z!####A0#?# ####-H#?############-H#?#"### ######A0#?# ####-H#?"%##########A0#?# ####`#i,C+ma####-H#r=!'##########` 2 #N0f####-H#i= ###}#####A0#_?( $#########-H#a=#&[email protected]! ####-H#W?#(#########H#.?))##########x##########Cl####### n) 8L<b####VHw#p###aq######_*#######! ##&@############(#`apI gz-#####A0#@( ####A0#z@#(####A0#N@,)####d##########9#(### # ##9n}#T####36#)8#P####` #######! ##$`#####Y#-d &@############(#`O3RL#_####A0#AZ!####A0#A# ####-H#A############-H#A#"#########A0#A# ####-H#A"%##########A0#A# ####`#i,C+ma####-H#r=!'##########` 2 #N0f####-H#i= $#########-H#a=#&### ##########################K3#######z###>######B#####@####### 6######## #e###Suppose that f(x) is defined for all x in an open interval containing c (but not necessarily at x= ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## v###h################################################d### ########a################)#####z###y## x## ###### ##$###$6z6############# ###)########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########<####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####]B(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######b###b########## ############ ### ########### ###$#####z### ##$####### ### ######################h6#############?######@?##@?####PA#?##?#@ ############z###>######B#####@#######h6######## #'###2.8 The Formal Definition of a Limit ########T#######A####C#a#l#i#b#r#i#"#########@###C###D### F ###H## ####### C## 8###*################################################j### ############################################################# ###"########z###y## x## ###### ##$###$Z6#6###############################z###y## x## ###### ##$###$Y6Y6###############z###>######B#####@#######Y6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############!#####z###y## x## ###### ##$###$Y6k6###############z###>######B#####@#######W6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a,m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a,b]. To determine which compute f(m). A zero lies in (a,m) if f(a) and f(m) have opposite signs and in (m,b) if f(m) and f(b) have opposite signs. Continuing this process, we can locate zero with arbitrary accuracy ########f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ### ######"###(########(########(m###################################### ########| ###7########x####{#############################################z###>### ###B#####@#######6######## #}###Suppose that f(x) is defined for all x in an open interval containing c (but not necessarily at x = c). Then the limit of ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## ####################################################d### ########w################)#####z###y## x## ###### ##$###$6z6############# ###)########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########<####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####]B(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6######z###z########## #########L#######_######d#######s####n#########D############U########## #############|###########8H###########Z+s###########Y##############t########### W###########H#############y! 3###########1uZ########################Ur############################ ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################### ################################################################################# z###>######B#####@#######6######## ####Suppose that f(x) is defined for all x in an open interval containing c (but not necessarily at x = c). Then the limit of f(x) as x approaches c equals L if for all #######N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## ###*################################################d### ##############################)#####z###y## x## ###### ##$###$6z6############# ###)########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########<####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? ##>##>####]B(###B#r#a#n#d#i# #L#y#n#n# #G#u#a#r#i#n#o#########? >>#######I9haDe#CrC####"##############6################## ############# ### ########### ###$#####z### ##$####### ### ######################h6#############?######@?##@?####PA#?##?#@ ############z###>######B#####@#######h6######## #'###2.8 The Formal Definition of a Limit ########T#######A####C#a#l#i#b#r#i#"#########@###C###D### F ###H## ####### C## 8###*################################################j### ############################################################# ###"########z###y## x## ###### ##$###$Z6#6###############################z###y## x## ###### ##$###$Y6Y6###############z###>######B#####@#######Y6######## ##### ########N#######A####C#a#l#i#b#r#i#########@###C###D##F ### ####### C## #####################################################d########## #############!#####z###y## x## ###### ##$###$Y6k6###############z###>######B#####@#######W6######## ####Assume f is continuous. Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a,m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a,b]. To determine which compute f(m). A zero lies in (a,m) if f(a) and f(m) have opposite signs and in (m,b) if f(m) and f(b) have opposite signs. Continuing this process, we can locate zero with arbitrary accuracy ########f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ### ######"###(########(########(m###################################### ########| ###7########x####{########################################zV#### ####`<<I-vK#####A0#dA( ####-H#\A#(#########H#*A2)##########x##########Cl####### #~yx ?sj@##### ##9n}#T#####WWW #######! ##&@############(#`gr;)L:##t(x####A0#-C( ####A0#%C#(####A0#BR)####d##########9#(### E# ;;YY Y ####3 6#)8#P ####pOO#######!# #$` #### #Y #d&@############(#``[=)B #M####A0#GDZ!####A0#? 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Suppose f(a) and f(b) have opposite signs, so that f has a zero in (a,b). Then f has a zero in [a,m] or [m,b], where m = (a+b)/2 is the midpoint of [a,b]. To determine which compute f(m). A zero lies in (a,m) if f(a) and f(m) have opposite signs and in (m,b) if f(m) and f(b) have opposite signs. Continuing this process, we can locate zero with arbitrary accuracy ########f#######A####C#a#l#i#b#r#i#4#######@###C###D##F #######@###C###D##F ### ####### C## ### ######"###(########(########(m###################################### ########| ###7########x####{#############################################z###>### ###B#########"###?6######## #6##############A####C#a#l#i#b#r#i#`#######@###C###D##F ### ###@###B###C###D##F ###J #### ###@###B###C###D##F ###J #### ####### C## ###| ######6###(#######(########(########(########(################## #############################################################z###S# u#p#p#o#s#e# #t#h#a#t# #f#(#x#)# #i#s# #d#e#f#i#n#e#d# #f#o#r# #a#l#l# #x# #i#n# #a#n# #o#p#e#n# #i#n#t#e#r#v#a#l# #c#o#n#t#a#i#n#i#n#g# #c# #(#b#u#t# #n#o#t# #n#e#c#e#s#s#a#r#i#l#y# #a#t# #x# #=# #c#)#.# #T#h#e#n# #t#h#e# #l#i#m#i#t# #o#f# #f#(#x#)# #a#s# #x# #a#p#p#r#o#a#c#h#e#s# #c# #e#q#u#a#l#s# #L# #i#f# #f#o#r# #a#l#l# ### #># #0#,# #t#h#e#r#e# #e#x#i#s#t# ## #>###############)#####z###y## x## ###### ##$###$?66############# ###)########z### ##$##$############L###M###N###O############################# ##u######_##$###########<####6##############?##?###@[email protected]##A###?###? 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This note was uploaded on 09/28/2009 for the course MATH 1550 taught by Professor Wei during the Spring '08 term at LSU.

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