741 - Σκοπός της άσκησης Σκοπός...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Σκοπός της άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η κατασκευή ενός ζωνοπερατού φίλτρου, το οποίο δέχεται τετραγωνικό παλµό και δίνει στην έξοδο ηµιτονοειδές σήµα. Τα φίλτρα είναι ηλεκτρονικά κυκλώµατα τα οποία επιτρέπουν τη διέλευση σηµάτων καθορισµένου εύρους συχνοτήτων και αποκόπτουν όλες τις υπόλοιπες συχνότητες. Θεωρητικά στοιχεία Τα φίλτρα χωρίζονται σε τέσσερις κατηγορίες: α) Ιδανικά βαθυπερατά φίλτρα (low pass filters) Τα φίλτρα αυτά επιτρέπουν τη διέλευση σηµάτων, η συχνότητα των οποίων είναι µικρότερη από την -χαρακτηριστική του φίλτρου- συχνότητα, που ονοµάζεται συχνότητα αποκοπής. Αν W είναι το εύρος ζώνης του φίλτρου τότε η συνάρτηση µετφοράς ορίζεται από τον τύπο : 1 για |f|≤W HLP(f)= 0 για |f|≥W και φαίνεται στο παρακάτω σχήµα : |HLP(f)| 1 -W 0 W β) Ιδανικά υψιπερατά φίλτρα (high pass filters) Tα φίλτρα αυτά επιτρέπουν τη διέλευση σηµάτων συχνότητας µεγαλύτερης της συχνότητας αποκοπής τους. Τα φίλτρα αυτά έχουν συνάρτηση µεταφοράς: 0 για |f|≤ W HHP(f)= 1 για |f|≥W και φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: |HΗP(f)| 1 -W 0 f W γ) Ιδανικά ζωνοπερατά φίλτρα ή διέλευσης ζώνης (band pass filters) Στα φίλτρα αυτά ορίζεται ελάχιστη και µέγιστη συχνότητα αποκοπής. Η διέλευση στην περίπτωση αυτή επιτρέπεται µόνο στα σήµατα που η συχνότητά τους είναι µεγαλύτερη από την κατώτερη και µικρότερη από την ανώτερη συχνότητα αποκοπής. Έχουν συνάρτηση µεταφοράς: 1 για |f±fo/2|≤W ΗΒ = 0 αλλού και φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: |HBP(f)| 2W 2W 1 -fo 0 fo f δ) Ιδανικά ζωνοφρακτικά φίλτρα (band-reject filters) Στα φίλτρα αυτά ορίζεται ελάχιστη και µέγιστη συχνότητα αποκοπής. Η διέλευση στην περίπτωση αυτή επιτρέπεται µόνο στα σήµατα που η συχνότητά τους είναι µεγαλύτερη από την ανώτερη ή µικρότερη από την κατώτερη συχνότητα αποκοπής. Έχουν συνάρτηση µεταφοράς : 1 για |f±fo/2|≥W ΗΒ = 0 αλλού και φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: |HBR(f)| 2W 2W 1 -fo 0 f fo Πρακτικά είναι αδύνατο να κατασκευαστεί φίλτρο που να επιτυγχάνει ακαριαία µετάβαση από τη ζώνη φραγής στη ζώνη διέλευσης και αντίστροφα. Επίσης, είναι δεν δυνατό να επιτύχουµε σταθερό κέρδος (ίσο µε τη µονάδα ) σε όλο το εύρος ζώνης διέλευσης , ούτε τέλεια εξασθένιση του σήµατος στη ζώνη φραγής. Συνεπώς, οι συναρτήσεις µεταφοράς για πραγµατικά φίλτρα µπορούν να έχουν τις ακόλουθες µορφές: α)Βαθυπερατά φίλτρα (low pass filters) |H(f)| f3dB β)Υψιπερατά φίλτρα (high pass filters) f |H(f)| f3dB f γ)Ζωνοπερατό φίλτρο |H(f)| fo fL fH f δ)Ζωνοφρακτικό φίλτρο |H(f)| fL fo fH Αν η ζώνη διέλευσης ενός φίλτρου αντιστοιχεί σε κέρδος µονάδα, η 1 ανώτερη και η κατώτερη συχνότητα αποκοπής αντιστοιχούν σε κέρδος . 2 Οι συχνότητες αυτές ονοµάζονται ανώτερη και κατώτερη συχνότητα 3db. Ένα ζωνοπερατό φίλτρο σε µια συγκεκριµένη συχνότητα fo που ονοµάζεται συχνότητα συντονισµού, δίνει µέγιστη τάση εξόδου. Η ανώτερη και κατώτερη συχνότητα 3db είναι fH, fL και καθορίζουν το εύρος ζώνης του φίλτρου: Β=fH-fL. Το εύρος ζώνης χαρακτηρίζει απόλυτα ένα φίλτρο και καθορίζει τη λειτουργία του. Τα ζωνοπερατά φίλτρα χωρίζονται σε ευρείας και στενής ζώνης. Ευρείας ζώνης χαρακτηρίζεται ένα ζωνοπερατό φίλτρο όταν η συχνότητα συντονισµού του είναι µεγαλύτερη από το 0,1Β, ενώ χαρακτηρίζεται στενής ζώνης όταν η συχνότητα συντονισµού του είναι µικρότερη από το 0,1Β. Ο λόγος της συχνότητας συντονισµού προς το εύρος ζώνης είναι γνωστός σαν f συντελεστής ποιότητας Q του κυκλώµατος: Q= o B Ο συντελεστής Q ωστόσο δείχνει την επιλεκτικότητα του φίλτρου. Μελέτη κυκλώµατος Το κύκλωµα που κατασκευάστηκε όπως φαίνεται από το πάνω µέρος της πλακέτας απεικονίζεται στο παρακάτω σχήµα : Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης οι δύο πυκνωτές λαµβάνονται ίσοι µε C1=C2=C=100nF, ενώ ο συντελεστής ποιότητας Q του κυκλώµατος πρέπει να είναι ίσος µε 10. Για τον υπολογισµό των αντιστάσεων R1,R2 και R3 χρησιµοποιούµε τις σχέσεις: R R 2 , R1 = 2 , R3 = 2 2 1 , R2 = BC 2 4π f o R 1 R 2 C 2 −1 όπου το Β είναι το εύρος ζώνης του φίλτρου Β=2πfo/Q. Από τους παραπάνω τύπους έχω: R1=2,274 kΩ , R2=4,547 kΩ , R3=11,4 Ω και Β=4398,2 Hz. Μετρήσεις Οι ονοµαστικές τιµές των αντιστάσεων που µας δόθηκαν στο εργαστήριο ήταν: R1=2,2 kΩ , R2=4,6 kΩ , R3=11 Ω .Μετρήσαµε τις αντιστάσεις που χρησιµοποιήσαµε στο κύκλωµα µε τη βοήθεια του πολυµέτρου και βρήκαµε ότι: R1=2,15 kΩ , R2=4,68 kΩ , R3=10 Ω. Μετά την πραγµατοποίηση του κυκλώµατος , το συνδέουµε στον παλµογράφο και αυτό που παρατηρούµε στην οθόνη του παλµογράφου είναι ένα ηµίτονο. Η συχνότητα του σήµατος είναι f=7 kHz όσο ακριβώς και η συχνότητα του σήµατος της εξόδου της παλµογεννήτριας . H συχνότητα τη στιγµή αυτή είναι σύµφωνα µε το συχνόµετρο fc=7003,8 Hz.Όπως φαίνεται η απόκλιση της µετρούµενης συχνότητας συντονισµού από τη θεωρητική τιµή των 7 kHz οφείλεται στο γεγονός ότι οι αντιστάσεις που χρησιµοποιήθηκαν είχαν αποκλίσεις απ τις τιµές που υπολογίσαµε θεωρητικά. Οι αντίστοιχες τιµές από το συχνόµετρο,που αντιστοιχούν στη συχνότητα 3db είναι : fL=6903,4 Hz και fH=7490,3 Hz. Γνωρίζοντας λοιπόν τις συχνότητες fL και fH µπορούµε να υπολογίσουµε το εύρος ζώνης το οποίο δίνεται από τη σχέση: Β=fH-fL. Εποµένως Β=586,9 Hz και για να διακρίνουµε αν το φίλτρο µας είναι ευρείας ή στενής ζώνης συγκρίνουµε το 0,1Β µε τη συχνότητα συντονισµού. Άρα αφού fο>0,1B το φίλτρο µας είναι στενής ζώνης. Ανάλυση Fourier Το ηµιτονοειδές σήµα που εµφανίζεται στην οθόνη του παλµογράφου περιγράφεται µαθηµατικά από µια συνάρτηση της µορφής f(t)=Asinωt. Σύµφωνα µε την ανάλυση σε σειρά Fourier η παραπάνω συνάρτηση µπορεί να γράφει στη µορφή: ∞ ∞ t⎞ t⎞ ⎛ ⎛ f(t) = αο + 2 ∑ a n ⋅ cos⎜ 2n ⋅ π⋅ ⎟ + 2∑ bn ⋅ sin ⎜ 2n ⋅ π⋅ ⎟ T⎠ Τ⎠ ⎝ ⎝ n =1 n =1 ∆εδοµένου ότι η f(t) είναι συνάρτηση περιττή (συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων) µπορεί να αναλυθεί µε τη βοήθεια µόνο ηµιτονικών όρων: ∞ t⎞ ⎛ f(t) = αο + 2 ∑ bn ⋅ sin⎜ 2n ⋅π⋅ ⎟ ⎝ T⎠ n =1 Εποµένως για τους συντελεστές Fourier έχουµε : αο = 1 T 1 Τ ⋅ ∫ f (t )dt ⇒ α ο = ⋅ ∫ A ⋅ sin(ωt ) dt ⇒ α ο = 0 0 T Τ 0 1 T t 1 T t ⋅ ∫ f (t ) ⋅ sin( 2 π⋅ n ⋅ )dt ⇒ bn = ⋅ ∫ A ⋅ sin(ωt ) ⋅ sin( 2 π⋅ n ⋅ )dt ⇒ T 0 T T 0 T A T t t bn = ⋅ ∫ sin( 2 π ) ⋅ sin (2 π n )dt T 0 T T bn = Γνωρίζουµε ότι το παραπάνω ολοκλήρωµα είναι 0 για n≠1 και Α/2 για n=1. Εποµένως για τους συντελεστές bn έχουµε: -Α/2, n=-1 bn = 0, άλλού Α/2 , n=1 Όπως φαίνεται η f(t) δεν αναλύεται σε επιµέρους σήµατα όπως ήδη γνωρίζαµε. Το φάσµα του παραπάνω ηµίτονου φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: A/2 0 -fo fo -Α/2 f ...
View Full Document

This note was uploaded on 10/02/2009 for the course G 001 taught by Professor Shmmygr during the Spring '07 term at National Technical University of Athens, Athens.

Ask a homework question - tutors are online