1ofyllgramm2003 - 1 1 2003 2004 22 1 x y = x y x y x x < x...

Info icon This preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
1 ο Φυλλάδιο Βακαλόπουλος Γιώργος Γ ΡΑΜΜΙΚΗ Α ΛΓΕΒΡΑ 1 ο Εξά μ ηνο ΣΗΜΜΥ 2003 – 2004 1. Η ισότητα x * y = x + y + x 2 y 2 ορίζει μ ία πράξη * στο Ρ . Να βρείτε το ουδέτερο στοιχείο της πράξης * και να δείξετε ότι κάθε στοιχείο x Ρ * μ ε x < 1 3 4 έχει δύο συ μμ ετρικά στοιχεία , ενώ κάθε x Ρ μ ε x > 1 3 4 δεν έχει συ μμ ετρικό στοιχείο , ως προς την πράξη αυτή . Τα στοιχεία 0, 1 3 4 έχουν συ μμ ετρικά και ποια ; Έστω e το ουδέτερο στοιχείο της πράξης *. Τότε θα ισχύει : e * x = x = x * e για κάθε x ∅Ρ . Άρα : x + e + x 2 e 2 = x ° e (1 + x 2 e) = 0 ° e = 0 ή e = 1 x 2 . Η λύση e = 1 x 2 απορρίπτεται γιατί δεν καλύπτει την περίπτωση x=0. Άρα e = 0. Έστω x -1 το συ μμ ετρικό του x. Τότε θα ισχύει : x * x -1 = e ° x + x -1 + x 2 ( ) x -1 2 = 0 (1) Θεωρού μ ε την εξίσωση (1) ως τριώνυ μ ο μ ε μ εταβλητή το x -1 μ ε διακρίνουσα = 1 4x 3 ∆ιακρίνου μ ε τις εξής 3 περιπτώσεις ως προς το πρόση μ ο της : i) > 0 , δηλαδή x < 1 3 4 τότε η (1) έχει δύο ρίζες στο Ρ , που είναι τα συ μμ ετρικά στοιχεία του x. Άρα x -1 = 1 1 4x 3 2x 2 (x ? 0) ii) = 0 , δηλαδή x = 1 3 4 τότε η (1) έχει μ ία ( διπλή ) ρίζα στο Ρ που είναι το μ οναδικό συ μμ ετρικό του 1 3 4 . Άρα x -1 = … = 3 2 iii) < 0 , δηλαδή x > 1 3 4 τότε η (1) δεν έχει κα μ ία ρίζα οπότε δεν υπάρχει το συ μμ ετρικό του x. Για x = 0 τότε x -1 + 0 + 0 , x -1 = 0 ° x -1 = 0 1
Image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
1 ο Φυλλάδιο Βακαλόπουλος Γιώργος 2. Θεωρού μ ε το σύνολο Μ = α b b α : α , b Ρ , μ ε πράξεις την «+» πρόσθεση πινάκων και « , » πολλαπλασιασ μ ό πινάκων . Να δείξετε ότι : i) Η αλγεβρική δο μ ή ( Μ , +) είναι αντι μ εταθετική ο μ άδα .
Image of page 2
Image of page 3
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern