1ofyllgramm2003 - 1ο Φυλλάδιο...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 1ο Φυλλάδιο Βακαλόπουλος Γιώργος ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 1ο Εξάµηνο ΣΗΜΜΥ 2003 – 2004 22 1. Η ισότητα x * y = x + y + x y ορίζει µία πράξη * στο Ρ. Να βρείτε το ουδέτερο στοιχείο της πράξης * και να δείξετε ότι κάθε στοιχείο x ∅ Ρ* µε x < στοιχεία, ενώ κάθε x ∅ Ρ µε x > Τα στοιχεία 0, 1 3 1 3 1 3 έχει δύο συµµετρικά 4 δεν έχει συµµετρικό στοιχείο, ως προς την πράξη αυτή. 4 έχουν συµµετρικά και ποια; 4 Έστω e το ουδέτερο στοιχείο της πράξης *. Τότε θα ισχύει: e * x = x = x * e για κάθε 22 2 x∅Ρ. Άρα: x + e + x e = x ° e (1 + x e) = 0 ° e = 0 ή e = − 1 1 2 . Η λύση e = − 2 x x απορρίπτεται γιατί δεν καλύπτει την περίπτωση x=0. Άρα e = 0. -1 -1 -1 2 -1 2 Έστω x το συµµετρικό του x. Τότε θα ισχύει: x * x = e ° x + x + x (x ) = 0 (1) -1 3 Θεωρούµε την εξίσωση (1) ως τριώνυµο µε µεταβλητή το x µε διακρίνουσα ∆ = 1 − 4x ∆ιακρίνουµε τις εξής 3 περιπτώσεις ως προς το πρόσηµο της ∆: i) ∆ > 0 , δηλαδή x < 1 3 τότε η (1) έχει δύο ρίζες στο Ρ, που είναι τα συµµετρικά 4 -1 στοιχεία του x. Άρα x = ii) ∆ = 0 , δηλαδή x = συµµετρικό του −1 ∃ 1 3 τότε η (1) έχει µία (διπλή) ρίζα στο Ρ που είναι το µοναδικό 4 1 3 3 1 − 4x (x ? 0) 2 2x 3 -1 . Άρα x = … = − 2 4 iii) ∆ < 0 , δηλαδή x > 1 3 τότε η (1) δεν έχει καµία ρίζα οπότε δεν υπάρχει το 4 συµµετρικό του x. -1 -1 -1 Για x = 0 τότε x + 0 + 0,x = 0 ° x = 0 1 1ο Φυλλάδιο Βακαλόπουλος Γιώργος ⎧ ⎫ ⎪⎡ α −b ⎤ ⎪ ⎥ : α, b ∅ Ρ⎬, µε πράξεις την «+» πρόσθεση πινάκων 2. Θεωρούµε το σύνολο Μ = ⎨⎢ ⎪⎣ b ⎪ α⎦ ⎩ ⎭ και «,» πολλαπλασιασµό πινάκων. Να δείξετε ότι: i) Η αλγεβρική δοµή (Μ, +) είναι αντιµεταθετική οµάδα. ii) Η αλγεβρική δοµή (Μ*, ,) είναι οµάδα. iii) Η αλγεβρική δοµή (Μ, +, ,) είναι σώµα. 2 Κατόπιν να λύσετε στο Μ την εξίσωση: X + I =O i) Για να είναι η δοµή (Μ, +) αντιµεταθετική οµάδα πρέπει να ισχύει η προσεταιριστική και η αντιµεταθετική ιδιότητα, να υπάρχει ουδέτερο στοιχείο και συµµετρικό για κάθε στοιχείο ∅ Μ. Πράγµατι: Έστω Μ1,Μ2,Μ3 ∅ Μ. Τότε: ⎛ ⎡ α1 −b1 ⎤ ⎡ α2 −b2 ⎤ ⎞ ⎡ α3 −b3 ⎤ ⎥+⎢ ⎥ ⎟+⎢ ⎥= (Μ1 + Μ2) + Μ3 = ⎜ ⎢ ⎝ ⎣ b1 α1 ⎦ ⎣ b2 α2 ⎦ ⎠ ⎣ b3 α3 ⎦ ⎡ α1+α2 −b1−b2 ⎤ ⎡ α3 −b3 ⎤ ⎡ α1+α2+α3 −b1−b2−b3 ⎤ ⎥ +⎢ ⎥=⎢ ⎥ ενώ =⎢ ⎣ b1+b2 α1+α2 ⎦ ⎣ b3 α3 ⎦ ⎣ b1+b2+b3 α1+α2+α3 ⎦ ⎡ α1 −b1 ⎤ ⎛ ⎡ α2 −b2 ⎤ ⎡ α3 −b3 ⎤ ⎞ ⎥+⎜⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎟= Μ1 + (Μ2 + Μ3) = ⎢ ⎣ b1 α1 ⎦ ⎝ ⎣ b2 α2 ⎦ ⎣ b3 α3 ⎦ ⎠ ⎡ α1 −b1 ⎤ ⎡ α2+α3 −b2−b3 ⎤ ⎡ α1+α2+α3 −b1−b2−b3 ⎤ ⎥ +⎢ ⎥=⎢ ⎥ =⎢ ⎣ b1 α1 ⎦ ⎣ b2+b3 α2+α3 ⎦ ⎣ b1+b2+b3 α1+α2+α3 ⎦ Άρα ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα. Επίσης εύκολα προκύπτει ότι Μ1 + Μ2 = Μ2 + Μ1 (αντιµεταθετική ιδιότητα) ⎡0 0⎤ ⎥ . Ισχύει Χ + Α = Χ, ! Χ ∅ Μ. Άρα ο πίνακας Α Θερούµε τον πίνακα A = ⎢ ⎣0 0⎦ είναι το ουδέτερο στοιχείο. ⎡ α −b ⎤ ⎥ τότε η εξίσωση Χ + Υ = Α έχει πάντα λύση την Επίσης αν Χ = ⎢ ⎣b α ⎦ ⎡ −α b ⎤ ⎥ που είναι το συµµετρικό στοιχείο του πίνακα Χ και υπάρχει πάντα. Y= ⎢ ⎣ −b −α ⎦ Άρα η δοµή (Μ, +) είναι αντιµεταθετική (ή αβελιανή) οµάδα. 2 1ο Φυλλάδιο Βακαλόπουλος Γιώργος ii) Για να είναι η δοµή (Μ*, ,) οµάδα πρέπει να ισχύει η προσεταριστική ιδιότητα, να υπάρχει ουδέτερο στοιχείο και συµµετρικό για κάθε στοιχείο του συνόλου Μ. Πράγµατι: Ως γνωστόν, στον πολλαπλασιασµό πινάκων ισχύει η προσεταριστική ιδιότητα (αποδεικνύεται µε απλή εκτέλεση των πράξεων όπως παραπάνω). ⎡1 0⎤ ⎥ τότε εύκολα προκύπτει ότι Αν θεωρήσουµε τον πίνακα Ι = ⎢ ⎣0 1⎦ X,I=X, !X∅M Όπως γνωρίζουµε για να υπάρχει το συµµετρικό στοιχείο ενός πίνακα Χ στον πολλαπλασιασµό (ή αλλιώς ο αντίστροφός του) υπάρχει η ικανή και αναγκαία 2 2 ⎡0 0⎤ ⎥ δηλαδή συνθήκη |Χ| ? 0. Όµως ! Χ ∅ Μ* ισχύει: |Χ| = α + b > 0 διότι Χ ? ⎢ ⎣0 0⎦ α,b ? 0. Άρα η δοµή (Μ*, ,) είναι οµάδα. iii) Η δοµή (Μ, ,) εύκολα προκύπτει ότι είναι ηµιοµάδα αφού ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα στον πολλαπλασιασµό πινάκων. Στο (i) δείξαµε ότι η δοµή (Μ, +) είναι αντιµεταθετική οµάδα. Άρα η δοµή (Μ, +, ,) είναι σώµα. 2 Για την εξίσωση X + I = O έχουµε: 2 2 ⎡ α −b ⎤ ⎡ α −b ⎤ ⎡ α −b ⎤ ⎡ α −b 2 ⎥ . Τότε Χ = ⎢ ⎥,⎢ ⎥=⎢ Έστω Χ = ⎢ ⎣b α ⎦ ⎣ b α ⎦ ⎣ b α ⎦ ⎣ 2αb Άρα πρέπει: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2 −2αb ⎤ 2 2⎥ α −b ⎦ 2 α −b = −1 ° α = 0 και β = ∃1. 2αb = 0 ⎡ 0 −1 ⎤ ⎡ 0 1⎤ ⎥ ήΧ= ⎢ ⎥ Άρα Χ = ⎢ ⎣1 0 ⎦ ⎣ −1 0 ⎦ 3. Έστω η οµάδα (G, ,). -1 -1 i) Να δείξτε ότι για κάθε α, b ∅ G ισχύει: (α , b) = b , α -1 -1 (µε x συµβολίζουµε το συµµετρικό στοιχείο του x ∅ G) 2 2 2 ii) Αν ισχύει η σχέση (α , b) = α , b για κάθε α,b ∅ G, να δείξετε ότι η οµάδα G είναι αντιµεταθετική. 3 1ο Φυλλάδιο Βακαλόπουλος Γιώργος -1 -1 i) Αρκεί να ισχύει: (α , b) , b , α = e όπου e το ουδέτερο στοιχείο της πράξης. Όµως ισχύει η προσεταριστική ιδιότητα: -1 -1 -1 ( α , b) , b , α = α , (b , b ) , α -1 -1 -1 -1 -1 = α ,e , α = α , α = e -1 Άρα (α , b) = b , α . ii) Αρκεί να ισχύει: α , b = b , α Όµως κάθε στοιχείο είναι απλοποιήσιµο. 2 2 2 Άρα: (α , b) = α , b ° α , b , α , b = α , α , b , b ° α , b = b , α 2 4. Ο δακτύλιος (∆, +, ,) λέγεται δακτύλιος του Boole αν ισχύει: x = x για κάθε x ∅ ∆. Να δείξετε ότι κάθε δακτύλιος του Boole είναι αντιµεταθετικός και ισχύει x + x = 0 για κάθε x ∅ ∆. 2 2 -1 Ισχύει: 1 + x = (1 + x) ° 1 + x = 1 + x + x + x ° x + x = 0. Άρα και x = x (1) 2 2 2 Έστω x, y ∅ ∆. Τότε ισχύει: x + y = (x + y ) ° x + y = x + xy + yx + y ° ° x + y = x + xy + yx + y ° xy + yx = 0 ° xy = (yx) -1 (1) × yx . Άρα κάθε δακτύλιος Boole είναι αντιµεταθετικός. 5. Έστω (G, ,) µία οµάδα και H⊗ G , H ? ⏐. To Η λέγεται υποοµάδα της G αν το Η είναι οµάδα ως προς την πράξη , της G. Να δείξετε ότι ένα υποσύνολο Η ? ⏐ της οµάδας G είναι υποοµάδα της G αν και µόνο αν ισχύει: x , y -1 -1 ∅ H για κάθε x, y ∅ H, όπου y είναι το συµµετρικό του y ∅ G. Αν x , y -1 ∅ H τότε: -1 • e ∅ H διότι αν θέσουµε όπου y το x προκύπτει x , x ∅ H (ύπαρξη ουδέτερου) • για κάθε x ∅ Η ισχύει: e , x = x ∅ H (ύπαρξη αντιστρόφου στο ίδιο σύνολο) • για κάθε x, y ∅ H ισχύει: x , y = x , (y -1 -1 -1 -1 ) ∅ H (η πράξη είναι εσωτερική) Επίσης η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει σε κάθε υποσύνολο του αρχικού συνόλου. Άρα και η δοµή (Η, ,) εκπληρεί τις προϋποθέσεις του ορισµού της οµάδας. Άρα είναι οµάδα οπότε και υποοµάδα της G. Αντίστροφα, αν Η υποοµάδα της G: • υπάρχει το αντίστροφο στοιχείο e και είναι το ίδιο µε την (G, ,) • υπάρχει το αντίστροφο κάθε στοιχείου ανήκει στο συνόλου. Άρα y ∅ H -1 4 1ο Φυλλάδιο • Βακαλόπουλος Γιώργος -1 το σύνολο Η είναι κλειστό ως προς την πράξη “,” οπότε x , y ∅ H, ! x, y ∅ H. 5 ...
View Full Document

This note was uploaded on 10/02/2009 for the course G 001 taught by Professor Shmmygr during the Spring '07 term at National Technical University of Athens, Athens.

Ask a homework question - tutors are online