Extra - ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ MARTINGALES Άσκησ Έστω X n n ∈ ακολουθία

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ MARTINGALES Άσκηση : Έστω { } ακολουθία ανεξάρτητων τ .μ. μ ε > 0 P- σ . β . και Ε ( )= 1 . Θέτου μ ε . ∆είξτε ότι η { } είναι F - martingale μ ε F n X,n ` n ∀∈ ` n n X ` n X n1 2 n Z X X ... X ,n = ⋅⋅ n (X ,. ..,X ). σ = n Z, n ` Λύση Επειδή ανεξάρτητες μ ε Ε ( < συ μ περαίνου μ ε ότι . Είναι ακό μ α προφανές ότι η τ .μ. Ζ είναι F - μ ετρήσι μ η . Τώρα F )= F )= F )= i X ,i 1,. ..,n = 1n X ) E(X ) = i X) ` Z nn 1 X / + 1 n E(X n ⋅⋅⋅ < ∞∀ n E(Z / + n E( n n n Z / + n n Z ) + Λόγω της ανεξαρτησίας της από την F . X + n Ό μ ως =1 και συνεπώς F n ) P- σ . β . ) + / + n Z = Άσκηση : Έστω ακολουθία τ .μ. { }, ανεξάρτητων μ ε Ε ( )=0 και V(X i )= σ για κάθε i=1,2,… . ∆είξτε ότι η ακολουθία Y( είναι F - martingale μ ε F n ` n i X 22 n ,n 2 n nk k1 X ) σ = = −∈ ` n (X ,. ..,X ). σ = Λύση Εύκολα διαπιστώνεται ότι Ε (|Y )< και είναι F - μ ετρήσι μ
Background image of page 1
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

This note was uploaded on 10/02/2009 for the course G 001 taught by Professor Shmmygr during the Spring '07 term at National Technical University of Athens, Athens.

Ask a homework question - tutors are online