estimation-exercises - ∆.Φουσκάκης-...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
. Φουσκάκης - Ασκήσεις στην Εκτι μ ητική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ 1) Έστω Χ 1 ,…, Χ n και Υ 1 ,…, Υ m ανεξάρτητα τ .μ. από πληθυσ μ ούς μ ε μ έση τι μ ή θ και γνωστές διασπορές και . ∆είξτε ότι για c [0,1] η U = c 2 1 σ 2 2 σ X +(1-c) Y είναι α μ ερόληπτη εκτι μ ήτρια της παρα μ έτρου θ και βρείτε το c για το οποίο η διασπορά της U είναι ελάχιστη . Λύση : Έστω U = c X +(1-c) Y, c [0,1]. Τότε : nm i i=1 i=1 11 1 1 E(U) = cE(X)+(1-c)E(Y) = cE( X )+(1-c)E( ) = c n θ +(1-c) m θ = θ n m i Y ∑∑ , δηλαδή η U είναι α μ ερόληπτη εκτι μ ήτρια της θ . Ακό μ α : 22 2 2 i i=1 i=1 Var(U) = c Var(X)+(1-c) Var(Y) = c Var( X )+(1-c) Var( ) i Y . Αλλά Χ i , Υ j (i=1,. .n; j=1,. .,m) ανεξάρτητα , άρα και ασυσχέτιστα , οπότε η τελευταία έκφραση παίρνει την μ ορφή : Var(U) = 222 2 12 cn σ +(1-c) m σ = g(c) . Η τελευταία συνάρτηση ελαχιστοποιείται στο ση μ είο που μ ηδενίζεται η παράγωγος της , δηλαδή : 2 2 '* σ σσ m g (c)=2c -2(1-c) =0 c = + . 2) Έστω Χ 1 ,…, Χ n τ . δ . από την U( θ ,2 θ ), θ . \ i) Να βρεθεί η σ . π . π . της Υ = max{ Χ 1 ,…, Χ n }. ii) ∆είξτε ότι η n+1 T= Y 2n+1 είναι α μ ερόληπτη εκτι μ ήτρια της θ . Λύση : i) Θυ μ ίζου μ ε ότι όταν μ ια τ .μ. Χ ακολουθεί την U( α , β ) έχει συνάρτηση κατανο μ ής : 0, x < α x- α F(x)= , α x < β β - α 1, β x
Background image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
. Φουσκάκης - Ασκήσεις στην Εκτι μ ητική 2 Ενδιαφερό μ αστε για την συνάρτηση κατανο μ ής της τ Υ . i i n X ανεξάρτητα X U ( θ ,2 θ ) 1n 1 n i 1 y- θ F(y) = P(Y y) = P(max{X ,…,X } y) = P(X y, ,X y) P(X y) . θ == n i = ⎛⎞ ≤≤ ⎜⎟ ⎝⎠ Άρα η σ . π . π . της Υ είναι : n-1 n-1 ' n θ 1( y - θ ) f(y) = F (y) = n = n , θθ θ y ( θ ,2 θ ). ii) Είναι : 2 θ 2 θ n-1 n n 2 θ nn n θ y(y- θ )y ( y - θ )( y - θ ) θ 2n+1 E(Y) n dy dy 2 θ - θ . θθθ n+1 n+1 | = = ∫∫ Άρα Ε ( n+1 2n+1 Υ ) = θ , οπότε η n+1 T= Y 2n+1 είναι α μ ερόληπτη εκτι μ ήτρια της θ . 3) Έστω Χ 1 ,…, Χ n τ . δ . από πληθυσ μ ό μ ε σ . π . π f(x) = , x>0. 2- a x a xe i) Να βρεθεί η Ε . Μ . Π . της α .
Background image of page 2
Image of page 3
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Page1 / 7

estimation-exercises - ∆.Φουσκάκης-...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online