ergasia(2) - Εθνικό Μετσόβι...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 1 Εισαγωγική Σηµείωση: Οι συχνότητες που χρησιµοποιήθηκαν προέκυψαν από το ονοµατεπώνυµο L1= ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, L2=ΘΕΟΧΑΡΗΣ. Ύστερα από τις απαιτούµενες πράξεις προέκυψαν οι εξής συχνότητες: F1=0.38 , F2=0.363 , F3=0.117 Για την εκπόνηση της εργασίας χρησιµοποίθηκε η τελεύταια έκδοση του λογισµικού Νέα Κύµατα, που έτρεξε σε περιβάλλον Matlab v7.0. 1ο ΘΕΜΑ – ΣΗΜΑΤΑ Μέρος 1ο - Ανάλυση µε Αυτοσυσχέτιση Εισαγωγή Η βασική ιδιότητα που ισχύει για ένα περιοδικό σήµα µε περίοδο Ν είναι ότι και η αυτοσυσχέτισή του έχει την ίδια περίοδο Ν. Η ιδιότητα αυτή είναι πολύ χρήσιµη για την ανίχνευση περιοδικών σηµάτων σε θορυβώδες περιβάλλον και η απόδειξή της είναι: x(n) = x(n + mN ), m = ±1, ±2,... rxx (l ) = E { x(n) ⋅ x(n − l )} rxx (l + mN ) = E { x(n) ⋅ x(n − l − mN )} x(n − l − mN ) = x(n − l ) rxx (l + mN ) = E { x(n) ⋅ x(n − l )} = rxx (l )• Στο τµήµα αυτό της εργασίας αρχικά χρησιµοποίησα καθαρό σήµα (ηµίτονο) και λευκό θόρυβο 100 δειγµάτων. Για τρεις διαφορετικές τιµές SNR περίπου -10, 10 και 30dB πήρα την αυτοσυσχέτιση του θορυβώδους σήµατος για να βγάλω ορισµένα χρήσιµα συµπεράσµατα. SNR = 10 • log( SNR = 10 log( Ps P •N ) = 10 • log( s )⇒ Pn Pn • N Es ) En Ο θόρυβος 100 δειγµάτων που χρησιµοποίησα φαίνεται στο Σχήµα που ακολουθεί: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 2 Ο θόρυβος αυτός έχει ενέργεια En=8,056 όπως βρέθηκε µε χρήση του παρεχόµενου λογισµικού (χρήση της αυτοσυσχέτισής του). Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 3 Ύστερα από αρκετές δοκιµές τις οποίες δεν παρουσιάζω για λόγους οικονοµίας χώρου βρήκα ότι για πλάτος σήµατος 100 δειγµάτων Α30=12,69 ο σηµατοθορυβικός λόγος θα είναι περίπου 30dB. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι το ηµίτονο αυτό έχει ενέργεια Εs=8056 (δηλαδή 103 φορές µεγαλύτερο από το En, πράγµα µου προκύπτει εύκολα από τον ορισµό του δεκαδικού λογαρίθµου) όπως βρέθηκε µε τρόπο όµοιο µε τον προηγούµενο. Ακολουθεί το διάγραµµα του ηµιτόνου: Στη συνέχεια ακολουθούν τα διαγράµµατα του θορυβώδους σήµατος, της αυτοσυσχέτισης του θορυβώδους σήµατος χωρίς µεγένθυση και της αυτοσυσχέτισης του θορυβώδους σήµατος ύστερα από µεγένθυνση. Αυτό έγινε για να φνεί καλύτερα η περιοδικότητα που κρύβεται στην αυτοσυσχέτιση του θορυβώδους σήµατος. Σχόλια πάνω στην περιοδικότητα αυτή ακολουθούν µετά τα διαγράµµατα. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 4 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 5 Από το τελευταίο διάγραµµα αναµένω να εντοπίσω περιοδικότητα µε συχνότητα f=0,38, δηλαδή κορυφή σε απόσταση 2,63 sec από το 0. ∆εν την εντοπίζω, αλλά εντοπίζω 2 άλλες εκατέρωθεν της αναµενόµενης. Ο σταθµικός µέσος αυτών των 2 (µε βάρη τα αντίστοιχα ύψη τους στο διάγραµµα) όµως είναι η ζητούµενη αυτή κορυφή: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη f = 6 1 1 i0, 2 + i0,8 T1 T2 Όπου Τ1 = 2 ( η τετµηµένη της 1ης κορυφής) και Τ2 = 3 ( η τετµηµένη της 2ης κορυφής) ⇔ f = 0,38 ίση δηλαδή µε τη συχνότητα του ηµιτόνου µου. Άρα συµπεραίνω ότι για σηµατοθορυβικό λόγο 30dB και για 100 δείγµατα µπορώ εύκολα να βγάλω συµπέρασµα για την κρυµµένη συχνότητα του ηµιτόνου ενός θορυβώδους ηµιτονοειδούς σήµατος. Μειώνω στη συνέχεια το SNR αρκετά ώστε να φτάσει στα 10 dB. Ύστερα από δοκιµές βρήκα ότι το σήµα µε πλάτος σήµατος Α10=1,269 θα δώσει για τον προηγούµενο πάντα θόρυβο SNR 10dB. Η τιµή αυτή ήταν αναµενόµενη καθώς από τον ορισµό της αυτοσυσχέτισης και του SNR προκύπτει εύκολα ότι «κάθε δεκαπλασιασµός του πλάτους του σήµατος συνεπάγεται 100 φορές αύξηση της ενέργειας του σήµατος ( αυτοσυσχέτιση στο 0) και άρα αύξηση κατά 20 του SNR» Όµοια µε πριν η ενέργεια αυτού του ηµιτόνου είναι Εs= 80,56. Ακολουθούν τα διαγράµµατα του ηµιτόνου (καθαρού σήµατος), του θορυβώδους σήµατος, της αυτοσυσχέτισης του θορυβώδους σήµατος χωρίς µεγένθυση και της αυτοσυσχέτισης του θορυβώδους σήµατος ύστερα από µεγένθυνση: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 7 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 8 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 9 Με ανάλογο µε προηγουµένως τρόπο παρατηρώ ότι η συχνότητα που διαφαίνεται από την αυτοσυσχέτιση του θορυβώδους σήµατος είναι ξανά περίπου F=0,38 Άρα συµπεραίνω ότι για σηµατοθορυβικό λόγο 10dB και για 100 δείγµατα µπορώ εύκολα να βγάλω συµπέρασµα για την κρυµµένη συχνότητα του ηµιτόνου ενός θορυβώδους ηµιτονοειδούς σήµατος. Επαναλαµβάνω την παραπάνω διαδικασία υποδεκαπλασιάζοντας άλλη µια φορά ( γνωρίζοντας όπως ειπώθηκε πριν ότι θα έχουµε µε αυτόν τον τρόπο SNR = -10). Έτσι για πλάτος σήµατος Α-10=0,1269 έχουµε ξανά: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 10 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 11 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 12 Απο το τελευταίο διάγραµµα παρατηρώ ότι η συχνότητα του σήµατος, λόγω του χαµηλού του πλάτους, δε διαφαίνεται µετά την ανάµιξή µε του µε το θόρυβο, καθώς πλέον χάνεται κάθε περιοδικότητα. Ο βασικότερος λοιπόν παράγοντας που µας δίνει τη δυνατότητα να ανιχνεύσουµε κρυµµένες περιοδικότητες σε θορυβώδες περιβάλλον είναι ο σηµατοθορυβικός λόγος. Όσο µεγαλύτερος είναι τόσο περισσότερο αξιόπιστα αποτελέσµατα παίρνουµε και τόσο πιο αβίαστα βγαίνουν τα συµπεράσµατά µας όσον αφορά την περιοδικότητα της αυτοσυσχέτισης. Όσο µικραίνει υπερισχύει ο θόρυβος µε αποτέλεσµα να χάνεται η περιοδικότητα του ηµιτονοειδούς σήµατος. Ώστοσο πρέπει να υπάρχει και κάποιο ελάχιστο κατώφλι σηµατοθορυβικού λόγου, κάποιο ελάχιστο SNR, κάτω από το οποίο δεν πρέπει να κατεβαίνουµε αρκετά διότι χάνουµε την περιοδικότητα και πάνω από το οποίο δεν µας συµφέρει να ανεβαίνουµε λόγο κόστους των συστηµάτων τηλεπικοινωνίας. Στην προηγούµενη περίπτωση λοιπόν των 100 δειγµάτων µπορούµε να ορίσουµε ως ελάχιστο SNR τα 30dB µιας και σε αυτή τη στάθµη η περιοδικότητα της αυτοσυσχέτισης είναι ικανοποιητική µε αποτέλεσµα να παίρνουµε εύκολα την κρυµµένη περιοδικότητα. Κάποιος άλλος θα µπορούσε να ορίσει ως ελάχιστο SNR τα 10dB θεωρώντας ότι και σε αυτό το επίπεδο βγαίνει, µε κάποια δυσκολία ωστόσο, συµπέρασµα για την περιοδικότητα του θορυβώδους σήµατος. Σε καµία όµως των περιπτώσεων δεν µπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι στα -10dB µπορεί να βγάλει συµπέρασµα για την περιοδικότητα. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 13 Στη συνέχεια εξετάζουµε πώς επηρεάζεται η ποιότητα των αποτελεσµάτων από το µήκος του σήµατος, δηλαδή από τον αριθµό των δειγµάτων. Για το λόγο αυτό θα κάνω την προηγούµενη εργασία για σήµατα και θόρυβο 500 και 1000 δειγµάτων. Ξεκινώντας από τα 500 δείγµατα παίρνω ως λευκό θόρυβο αυτόν που εικονίζεται στο παρακάτω διάγραµµα. Έχει ενέργεια Εn= 52,554: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Ακολουθούν τα διαγράµµατα του θορύβου για πλήθος δειγµάτων = 1000 (Εn=68,104): 14 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 15 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη snr30 snr10 snr-10 En=8,056 n=100 12,69 1,269 0,1269 En=52,554 n=500 14,5 1,45 0,145 16 En=68,104 n=1000 11,67 1,167 0,1167 Ο παραπάνω πίνακας αποτελεί τη σύνοψη SNR – πλατών για τα πλήθη δειγµάτων που χρησιµοποιήθηκαν (ο τρόπος που χρησιµοποιήθηκε είναι ίδιος µε την περίπτωση 100 δειγµάτων) . Παρατίθενται στη συνέχεια τα διαγράµµατα καθαρού σήµατος, θορυβώδους σήµατος και αυτοσυσχέτισης αυτού, πρώτα για πλήθος δειγµάτων 500 και ύστερα 1000 (σείρα, όπως και πριν, SNR = 30, 10, -10 db): Ν=500 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 17 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 18 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 19 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 20 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 21 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Ν=1000 22 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 23 Εθνικό Μετόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 24 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 25 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 26 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 27 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 28 Από τα παραπάνω διαγράµµατα (χρήσει της διαδικασίας που ακολουθήθηκε στη σελ. 6) µπορεί να παρατηρήσει κανείς ότι αυξάνοντας τα δείγµατα, αυξάνοντας δηλαδή το µήκος του σήµατος µειώνεται το ελάχιστο SNR που απαιτείται για εύρεση κρυµµένων συχνοτήτων σε θορυβώδες περιβάλλον. Αρχικά στα 100 δείγµατα ελάχιστο SNR ήταν 30dB, στα 500 δείγµατα µειώθηκε στα 10dB, και τέλος στα 1000 δείγµατα τα 10dB. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 29 Μέρος 2ο- Ανάλυση µε Fourier Όπως ειπώθηκε και στο πρώτο µέρος οι συχνότητες που εργάζοµαι είναι F1=0.38, F2=0.363, F3=0.117. Παρακάτω παρουσιάζονται αναλυτικά οι δοκιµές που έγιναν για τον προσδιορισµό του ελάχιστου αριθµού δειγµάτων που πρέπει να έχει το σήµα ώστε να είναι ανιχνεύσιµες και οι τρεις διαφορετικές συχνότητες των ηµιτόνων. Πριν όµως προχωρίσουµε στη σειρά των δοκιµών ας κάνουµε µια ποιοτική ανάλυση για να δούµε περίπου τι πρέπει να αναµένουµε. Ως γνωστόν ισχύει ο τύπος F= i N όπου F είναι η συχνότητα, i ο αριθµός των επαναλήψεων ανά περίοδο και Ν ο αριθµός των δειγµάτων ανά περίοδο. Υποθέτοντας ότι i=1 έχουµε από τις τρεις συχνότητες αντίστοιχα: N1 ≈ 3, N 2 ≈ 3, N 3 ≈ 9 Άρα στα 3 δείγµατα πρέπει να αναµένω να βρω προσεγγιστικά τη συχνότητα 0.38 και τη 0.363. Στα 9 δείγµατα αναµένω να βρω τη 0.38 και τη 0.363 κάπως καλύτερα από πριν, ενώ θα διαφαίνεται πλέον η 0,117. Η µελέτη συνεχίζετται στα 18, 36, 54 δείγµατα (για να έχουµε εµφανέστερα αποτελέσµατα) καθώς και επεκτείνεται τελικά στα 360 και 720 δείγµατα (καθαρά για λόγους πληρότητας). Αρχικά δοκιµάζω για 3 δείγµατα και παίρνω τα παρακάτω διαγράµµατα: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµτα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 30 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 31 Από το δεύτερο διάγραµµα της κανονοκοποιηµένης συχνότητας παρατηρώ µια συχνότητα στα 0.5, µια στα 0.25 περίπου και µια στα 0. Όπως αναµενόταν από την προηγούµενη ανάλυση, παρατηρώ µια συχνότητα κοντά στα 0.4 και µια κοντά στα 0.35. Στη συνέχεια ακολουθούν τα διαγράµµατα µε 9 δείγµατα: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 32 Παρατηρούµε και εδώ όπως αναµενόταν συχνότητες στα 0.35 και 0.45 περίπου καθώς κάνουν την εµφάνισή τους και 2 εκατέρωθεν της 0.1 περίπου. Ακολουθεί το διάγραµµα των 18 δειγµάτων: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 33 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Το τοπίο των συχνοτήτων έχει αρχίσει να βελτιώνεται. ∆εν µπορούµε όµως να πούµε ότι έχει ξεκαθαρίσει ξεκαθαρίσει. Προχωρούµε λοιπόν στα 36 δείγµατα: 34 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 35 Η συχνότητα 0,117 σχεδόν διακρίνεται, αλλά οι συχνότητες 0,38 και 0,363 οι οποίες είναι πολύ κοντά η µία στην άλλη όχι ακόµα. Προχωρούµε στα 54 δείγµατα: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 36 Πλέον όλες µας οι σύχνότητες µπορούν να διακριθούν µε ικανοποιητική ακρίβεια. Οπότε µπορούµε να πούµε ότι 54 δείγµατα αρκούν ως ελάχιστος αριθµός δειγµάτων (για να απαντηθεί και το πρώτο ερώτηµα). Για ακόµη µεγαλύτερη ακρίβεια ακολουθούν τα διαγράµµατα των 360 και 720 δειγµάτων: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 37 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 38 Συνεχίζοντας στο δεύτερο ερώτηµα προσθέτουµε και θόρυβο στο καθαρό σήµα και εκτελούµε την παραπάνω διαδικασία για τέσσερις τιµές του SNR. Ως µήκος του σήµατος θα χρησιµοποιήσουµε τα 54 δείγµατα, γιατί όπως δείξαµε και παραπάνω, είναι το ελάχιστο πλήθος δειγµάτων ώστε να έχουµε (µε ικανοποιητική ακρίβεια) εµφάνιση των συχνοτήτων f1, f2, f3. Χρησιµοποιήθηκε ο παρακάτω λευκός θόρυβος: Με χρήση της ιδιότητας της αυτοσυσχέτισης, η ενέργεια αυτού του θορύβου υπολογίστηκε και είναι Εn = 9,78 Στη συνέχεια, ύστερα από αρκετές δοκιµές, επιλέχθηκαν 4 πλάτη σήµατος που δίνουν αντιστοίχως 4 τιµές SNR. Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: Πλάτος 0,5 2 5 20 SNR 3,00519 15,10154 23,00519 35,10154 Ακολουθούν τα αντίστοιχα διαγράµµατα θορυβώδους σήµατος – DFT αυτών: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 39 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 40 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 41 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 42 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 43 Από τα παραπάνω διαγράµµατων βγαίνουν τα εξής συµπεράσµατα: Πρώτον, ότι όσο το SNR παραµένει µικρό, σηµειώνεται µετατόπιση των συχνοτήτων και σε αρκετές περιπτώσεις διάσπαση των συχνοτήτων σε δυο συνιστώσες, ενώ σε µεγάλες τιµές η επίδραση του υπερτιθέµενου θορύβου είναι πολύ µικρή οπότε και στο φάσµα είναι ευδιάκριτες οι τρεις συχνότητες. ∆εύτερον, ότι άυξηση του SNR συνεπάγεται µείωση στη συνιστώσα που αντιστοιχεί σε f = 0. Περνώντας τώρα στο τρίτο ερώτηµα αρχικά πρέπει να πούµε ότι οι χαµηλότερες δυο συχνότητες είναι οι 0.363 και 0.117. Ο µέσος όρος τους είναι η 0.24. Αρχίζω λοιπόν να µειώνω τη µεγαλύτερη ανά 0.03 και να αυξάνω τη µικρότερη ανά 0.03. Θα χρησιµοποιηθούν ως πλήθος δειγµάτων το Ν=54 (ο ελάχιστος αριθµός δειγµάτων που απαιτείται για να µπορέσουµε να βγάλουµε συµπέρασµα για τις συχνότητες από το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier) . Τα διαγράµµατα που ακολουθούν αφορούν την σειρά τριάδων συχνοτήτων που φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: f1 0,38 0,38 0,38 0,38 Για Ν=54 έχουµε: f2 0,333 0,303 0,273 0,243 f3 0,147 0,177 0,207 0,237 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 44 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 45 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 46 Από τα παραπάνω διαγράµµατα παρατηρούµε ότι οι συχνότητες που µεταβάλλουµε τείνουν να συµπέσουν στη µέση τιµή τους, µε πλάτος που τείνει στο άθροισµα των αντιστολιχων πλατών τους. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 47 ΘΕΜΑ 2ο-ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Περνώντας τώρα στο µέρος των συστηµάτων, αρχικά πρέπει να κατασκευάσουµε σωστά το ζητούµενο σύστηµα, δηλαδή να βάλουµε τους πόλους και τα µηδενικά στη σωστή θέση. Το βασικό πρόβληµα που συναντάµε σε αυτή τη διαδικασία είναι το πώς θα τοποθετήσουµε στη ίδια ευθεία το µεσαίο ζευγάρι των πόλων µε το ζευγάρι των µηδενικών. Το πρόβληµα αυτό λύθηκε εύκολα χρήσει στοιχειδών τύπων Αναλυτικής Γεωµετρίας. Έτσι το γραµµικά χρονικά αµετάβλητο σύστηµα που προέκυψε φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Η κρουστική απόκριση του συστήµατος φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Η βηµατική απόκριση του συστήµατος φαίνεται στο επόµενο σχήµα: 48 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Η απόκριση συχνότητας (πλάτος) φαίνεται στο παρακάτω σχήµα : Ακολουθεί η απόκριση συχνότητας (φάση) σε µοίρες: 49 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 50 Στη συνέχεια διεγείρω το σύστηµα µε θόρυβο µήκους 1024 δειγµάτων και παίρνω την απόκριση που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 51 Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι η θορυβική απόκριση έχει µεγαλύτερο πλάτος από τον θόρυβο. Όσον αφορά τώρα τη σχέση που έχει η θορυβική απόκριση µε την κρουστική απόκριση του συστήµατος αρχικά θα έλεγε κανείς ότι δεν υπάρχει κάποια οµοιότητα. Αν όµως µεγενθύνουµε την θορυβική απόκριση όπως φαίνεται σο σχήµα που ακολουθεί, µπορούµε να πούµε ότι αποτελείται από αρκετές κρουστικές αποκρίσεις µιας και κατά διαστήµατα υπάρχει µια οµοιότητα µε αυτήν: Παίρνουµε τώρα το διακριτό µετασχηµατισµό Fourier της απόκρισης του θορύβου που φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 52 Παρατηρούµε ότι από το σύστηµα περνούν µόνο οι χαµηλές συχνότητες, άρα µπορούµε να πούµε ότι πρόκειται για ένα βαθυπερατό φίλτρο. Στη συνέχεια διεγείρουµε το σύστηµα µε την περιοδική παλµοσειρά µοναδιαίων παλµών που φαίνεται στο σχήµα: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Η απόκριση του συστήµατος είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα: 53 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 54 Παρατηρούµε εύκολα εδώ ότι η απόκριση του συστήµατος είναι η επανάληψη της κρουστικής απόκρισης 11 φορές, όπως και αναµέναµε, µιας και η παλµοσειρά που βάλαµε ως διέγερση στο σύστηµα αποτελείται από 11 συνεχόµενους µοναδιαίους παλµούς. Στη συνέχεια µετακινούµε τους πόλους που είναι στην ίδια ευθεία µε τα µηδενικά και την αρχή των αξόνων ακτινικά. Αυτό το καταφέρνουµε όπως και πριν λαµβάνοντας υπ’όψιν ότι µια αύξηση α στον άξονα των χ απαιτεί µια αύξηση λα όπου λ η κλίση της τρέχουσας ακτίνας. Αρχικά, πριν τις µετακινήσεις έχουµε τη φασµατική πυκνότητα ισχύος που φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα: Πριν ξεκινήσω τις µετακινήσεις ονοµάζω τους πόλους και δηµιουργώ τον παρακάτω πίνακα (νέων) συντεταγµένων: Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Aρ. Μετακίνησης 0 1 2 3 -1 -2 -3 κλίση -0,125 πόλος3 x -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 -1 -1,2 -1,4 βήµα x 0,2 πόλος3 y 0,1 0,075 0,05 0,025 0,125 0,15 0,175 κλίση 0,571429 βήµα x 0,2 πόλος3 x 0,7 0,5 0,3 0,1 0,9 1,1 1,3 πόλος2 y 0,4 0,285714 0,171429 0,057143 0,514286 0,628571 0,742857 κλίση 1 πόλος1 x 0,5 0,3 0,1 -0,1 0,7 0,9 1,1 βήµα x 0,2 πόλος1 y 0,5 0,3 0,1 -0,1 0,7 0,9 1,1 55 κλίση 1 βήµα x 0,2 µηδέν x 1 0,8 0,6 0,4 1,2 1,4 1,6 µηδέν y 1 0,8 0,6 0,4 1,2 1,4 1,6 όπου ο Αρ. Μετακίνησης δηλώνει πόσα βήµατα κάνουµε προς (+) ή από (-) το κέντρο Ο (0,0) Παρατίθενται παρακάτω τα διαγράµµατα φασµατικής πυκνότητας ισχύος µε τη σειρά των ερωτηµάτων 3, 4 (πλος1, µηδεν, πόλος2, πόλος3) καθώς και µε τη σειρά µετακινήσεων του πίνακα (1, 2, 3, -1, -2, -3): Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Πόλος1: 1 2 56 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 3 -1 57 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη -2 -3 58 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Μηδέν:1 2 59 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 3 -1 60 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη -2 -3 61 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Πόλος2:1 2 62 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 3 -1 63 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη -2 -3 64 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη Πόλος3:1 2 65 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 3 -1 66 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη -2 -3 67 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Εξαµηνιαία εργασία στα Σήµατα και Συστήµατα του προπτυχιακού φοιτητή: Θεοχάρη Παναγιώτη 68 Όπως γνωρίζουµε από την θεωρία και επιβεβαιώνουµε µε τα διαγράµµατα που παρατέθηκαν, όταν οι πόλοι βγουν από τον µοναδιαίο κύκλο το σύστηµα γίνεται ασταθές και στο διάγραµµα της φασµατικής πυκνότητας ισχύος υπάρχει µία κορυφή η οποία µετατοπίζεται προς τα κάτω όσο πιο ασταθές γίνεται το σύστηµα. Όσο οι πόλοι πλησιάζουν προς το κέντρο (+ µετατόπιση), τόσο εξοµαλύνεται το διάγραµµα της φασµατικής πυκνότητας ισχύος. Αντίθετα η µετατόπιση των µηδενικών δεν µεταβάλλει την µορφή της φασµατικής πυκνότητας ισχύος αλλά µόνο τις τιµές των κορυφών και την οµαλότητά της (κοιλότητα). ...
View Full Document

This note was uploaded on 10/02/2009 for the course G 001 taught by Professor Shmmygr during the Spring '07 term at National Technical University of Athens, Athens.

Ask a homework question - tutors are online