fylladio1-2005 - Γραµµική Άλγεβρα 1...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Γραµµική Άλγεβρα 1ο Φυλλάδιο Ασκήσεων (ΠΙΝΑΚΕΣ) ΣΗΜΜΥ 2005-06 1. Έστω δύο συµµετρικοί πίνακες A, B ∈ Π ν . Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας AB είναι συµµετρικός αν και µόνο αν AB = BA . ⎡0 ⎢0 ⎢ 2. Να υπολογιστούν οι πίνακες Aν , ν ∈ IN όπου A = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ . ⎥ 1⎥ 0⎥ ⎦ 3. Αν A, B ∈ Π ν , να αποδειχθεί ότι tr ( AB) = tr ( BA) . 4. Αν A ∈ Π ν τέτοιος ώστε tr ( AA* ) = 0 , να αποδειχθεί ότι A = O . 5. Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχουν πίνακες A, B ∈ Π ν , τέτοιοι ώστε AB − BA = Iν . 6. Αν Aν = 0 για κάποιο ν ∈ IN (Α: µηδενοδύναµος), να αποδειχθεί ότι ( I − A) −1 = I + A + A 2 + … + Aν −1 . 7. Έστω A ∈ Π ν τέτοιος ώστε ( A + 3I ) 2 = O . Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος και να γραφεί ο A −1 µε την βοήθεια δυνάµεων του A . Να αποδειχθεί επίσης ότι και ο πίνακας A + 2 I είναι αντιστρέψιµος. 8. Αν οι πίνακες A, B ∈ Π ν ικανοποιούν τις σχέσεις A2 = A , B2 = B ( A + B) 2 = A + B , να αποδειχθεί ότι AB = BA = O . ⎡2 − 1 ⎢0 3 ⎢ 9. ∆ιαµερίζοντας κατάλληλα τον A = ⎢0 0 ⎢ ⎢0 0 ⎢0 0 ⎣ Παράδοση µέχρι 4-11-2005 0 0 2 0 0 0 0⎤ 0 0⎥ ⎥ 0 0 ⎥ , υπολογίστε τον A 5 . ⎥ 4 1⎥ 0 − 1⎥ ⎦ Σ. Καρανάσιος και Endeiktikèc LÔseic FulladÐou 01 1. AB summetrikìc ⇔ AB = (AB ) = B A = BA. 2. EÐnai: A = 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 , A = 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 , A = 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 kai A5 = O, opìte Aν = O gia kˆje ν ≥ 5. 3. An A = (aij ) kai B = (bij ) tìte n n n tr(AB ) = n aij bji = i=1 j =1 bji aij = tr(BA) j =1 i=1 4. 'Estw A = (aij ), A∗ = (bij ), opìte bij = aji , kai apì ˆskhsh 2, n n ∗ tr(AA ) = n n |aij |2 = 0 aij aji = aij bji = i=1 j =1 n n j =1 i=1 j =1 i=1 ⇒ aij = 0 gia kˆje i, j = 1, 2, ..., n ⇒ A = O. 5. 'Estw ìti upˆrqoun pÐnakec A, B tètoioi ¸ste AB − BA = I . Tìte n = tr(I ) = tr(AB − BA) = tr(AB ) − tr(BA) = 0, ˆtopo. 6. I = I ν − Aν = (I − A)(I + A + · · · + Aν −1 ) = (I + A + · · · + Aν −1 )(I − A) ⇒ (I − A)−1 = (I + A + · · · + Aν −1 ). 7. (A + 3I )2 = O ⇒ A2 + 6A + 9I = O ⇒ A(A + 6I ) = −9I ⇒ A(− 1 (A + 6I )) = 9 1 (− 9 (A + 6I ))A = I ⇒ A−1 = − 1 (A + 6I ). 9 O = (A + 3I )2 = ((A + 2I ) + I )2 = (A + 2I )2 + 2(A + 2I ) + I ⇒ (A + 2I )((A + 2I ) + 2I ) = ((A + 2I ) + 2I )(A + 2I ) = −I ⇒ (A + 2I )−1 = −(A + 4I ). 8. (A + B )2 = A + B ⇒ A2 + AB + BA + B 2 = A + B ⇒ A + AB + BA + B = A + B ⇒ AB + BA = O (1). Apì (1) paÐrnoume: A2 B + ABA = O ABA + BA2 = O ⇒ AB = −ABA BA = −ABA ⇒ AB = BA (2). Apì (1),(2) prokÔptei AB = BA = O. 9. A= 2 −1 0 3 0 0 0 0 0 0 32 −211 0 243 00 00 00 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 −1 0 0 [32] 0 0 5 ⇒A = 0 0 0 1024 0 0 0 0 205 −1 2 −1 0 3 00 00 00 5 5 ⇒A = 0 0 [2]5 0 0 00 00 00 4 1 0 −1 5 = 32 −211 0 0 0 0 243 0 0 0 0 0 32 0 0 0 0 0 1024 205 0 0 0 0 −1 . ...
View Full Document

This note was uploaded on 10/02/2009 for the course G 001 taught by Professor Shmmygr during the Spring '07 term at National Technical University of Athens, Athens.

Ask a homework question - tutors are online