theorypropab - ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επι μ έλεια : Ι . Σπηλιώτης , . Λεπίπας , Π . Αγγελόπουλος Άσκηση 1.3 σελ . 4 α ) εύκολο β ) Αφού C θα είναι και λόφω του α ) θα είναι 0 F 0 0 F 0 F 0 () σ⊂ σ C 0 C σ . Για την απόδειξη του αντίθετου εγκλισ μ ού θεωρού μ ε την κλάση 00 {: ( EAF A C =∈ σ ) } Για την κλάση υποσυνόλων παρατηρού μ ε ότι C διότι για τυχόν E E A C ισχύει Επίσης η κλάση είναι σ - άλγεβρα υποσυνόλων του διότι : 0 ACC Ω∈ ⊂σ . 0 ) E i) ΩΩ αφού η ( C =Ω∈ σ 0 C σ είναι σ - άλγεβρα υποσυνόλων του . 0 ii) Αν τότε κατά τον ορισ μ ό της είναι AE E 0 A 0 C Ω ∈σ 0 \ A και συνεπώς . Ο μ ως και άρα \ A 0 ( ) C σ (\) = A AC Ω∈σ iii) Αν { τότε , } n An E ∈⊂ ` 0 ( n A 0 ) C και άρα 1 ( n n = σ ) 0 ) C Συνεπώς , δηλαδή , 0 1 ( n n A = 1 n n = . Ωστε η Ε είναι σ - άλγεβρα και περιέχει την C και συνεπώς περιέχει και CF σ = . Αν τώρα 0 , AA F είναι τυχόν στοιχείο της τότε δηλαδή 0 F A E 0 0 C A , δηλαδή FC γ ) εύκολο Άσκηση 3.2 σελ . 13 Έστω ένα σύστη μ α Dynkin. Θα δείξου μ ε ότι ικανοποιούνται οι (i)-(iv) της άσκησης . Οι (i) και (ii) από τον ορισ μ ό . Για την (iii) αρκεί να παρατηρήσου μ ε ότι D ABAB . . =∅ ∪∪ A B ... ∅∅ ∪∪ ∪ ∪ . και αφού δύο οποιαδήποτε σύνολα της ένωσης έχουν το μ ή το κενό συ μ περαίνου μ ε ότι AB 2 ... D . Απο μ ένει η (iv). Πράγ μ ατι θέτου μ ε Από την (ii) συ μ περαίνου μ ε ότι . Επίσης τα σύνολα είναι ξένα ανά δύο και ισχύει άρα κατά τον ορισ μ ό 11 2 2 1 33 A ,B A \ A ,B A \ A , == = n ∀∈ ` n B n n1 A = B n B D nn ∞∞ = D . Αντίστροφα έστω ότι η κλάση ικανοποιεί τις (i)-(iv) της άσκησης . Θα δείξου μ ε ότι ικανοποιούνται οι (i),(ii),(iii) του ορισ μ ού του συστή μ ατος Dynkin . Αρκεί να γίνει για την (iii). Έστω {A μ ε D } n : n ` D ij = ∅ ∀ ≠ . Θέτου μ ε και γενικά . Από την (ii) της άσκησης έχου μ ε ( εύκολα μ ε επαγωγή ) ότι 21 BA , 2 A n k k1 A = n B = n B D και αφού BB 1 + n ` θα έχου μ ε από την (iv) ότι n B = D . Ό μ ως . =
Background image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
Άσκηση 3.4 σελ . 13 α ) Αν το μ έτρο P ΄ έχει την ιδιότητα (3.3) συ μ περαίνου μ ε ότι
Background image of page 2
Image of page 3
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

This note was uploaded on 10/02/2009 for the course G 001 taught by Professor Shmmygr during the Spring '07 term at National Technical University of Athens, Athens.

Page1 / 12

theorypropab - ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online