Yanit_2001_Yariyil_Sonu(B) - İTÜ ENDÜSTRİ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: İTÜ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SİSTEM SİMÜLASYONU DERSİ YARIYIL SONU SINAV SORULARININ YANITLARI Tarih: 12/06/2001 Soru 1. Elle simülasyona başlamadan önce soru içinde verilen bilgilerden, rassal değişkenleri ve ters dönüşüm denklemlerini elde edelim. Aşağıda sırasıyla kullanılması gereken rassal değişkenler tanımlanmıştır. Yangın Yeri Kasaba 10x10’luk bir matris olarak tanımlanmıştır. Şekil 1’de koyu olarak gösterilmiş olan riskli bölge kasabanın ¼’ünü oluşturmaktadır. Herhangi bir bölgede yangın çıkma olasılığını p olarak kabul edersek riskli bölgede yangın çıkma olasılığı 2 p olacaktır. Bütün bölgelerin olasılıkların toplamının 1 olması gerektiği bilindiğine göre aşağıdaki eşitlik yazılabilir. 2p + p + p + p =1 p= 1 5 Soldan sağa doğru bölgeleri Bölge 1, Bölge 2, Bölge 3 ve Bölge 4 olarak adlandırırsak hangi bölgede yangın çıkacağına ilişkin rassal sayı aralıklarını şu şekilde belirleyebiliriz: Tablo 1. Yangın bölgesinin belirlenmesi Birikimli Bölgeler Olasılık RS Aralığı Olasılık Bölge 1 (Riskli) 0.4 0.4 0.000 – 0.399 Bölge 2 0.2 0.6 0.400 – 0.599 Bölge 3 0.2 0.8 0.600 – 0.799 Bölge 4 0.2 1.0 0.800 – 0.999 Yangın çıkan bölgenin bulunmasından sonra koordinatların bulunması gerekmektedir. Her bir koordinat beşer noktadan oluşmaktadır. Bu amaçla X ve Y koordinatları için aşağıdaki tablo oluşturulabilir: Tablo 2. Yangın noktasının X ve Y koordinatları Eksen Üzerindeki Birikimli Olasılık RS Aralığı Yer Olasılık 1. Nokta 0.2 0.2 0.000 – 0.199 2. Nokta 0.2 0.4 0.200 – 0.399 3. Nokta 0.2 0.6 0.400 – 0.599 4. Nokta 0.2 0.8 0.600 – 0.799 5. Nokta 0.2 1.0 0.800 – 0.999 Yangın Bilgisi Yangın tipleri, gerekli araç sayısı ve söndürme süreleri ile ilgili tabloda verilen olasılıklar kullanılarak aşağıda verilen rassal sayı aralıkları oluşturulabilir. Yangın Tipi I II III IV Gerekli Araç 1 2 3 4 Tablo 3. Yangın bilgileri Söndürme Birikimli Olasılık Süresi (dk) Olasılık 20 0.30 0.30 30 0.35 0.65 40 0.25 0.90 60 0.10 1.00 1 RS Aralığı 0.000 – 0.299 0.300 – 0.649 0.650 – 0.899 0.900 – 0.999 Diğer Bilgiler Yangın gelişler arası süresinin 2-3-5 saat parametreli üçgen dağılıma, trafik yoğunluğu katsayısının 1-2 arası düzgün dağılıma uyduğu belirtilmiştir. Bu rassal değişkenlerin ters dönüşüm denklemleri aşağıdaki gibi olacaktır. Tablo 4. Yangın gelişler arası süresi ve trafik yoğunluğu Tanım Dağılım Ters Dönüşüm Denklemi Yangın gelişler arası süresi 2-3-5 saat Üçgen Eğer RS < 1 ise x = 2 + 3 Eğer RS ≥ Trafik yoğunluğu 1 3 ise x = 5 − 3RS 6(1 − RS ) x = 1 + RS 1-2 Düzgün Elle Simülasyon Tablosu Aşağıdaki tabloda elle simülasyon beş yangın için yapılmıştır. Tablonun ilk üç kolonunda Tablo 4’te verilen üçgen dağılım yardımıyla Yangın Oluşma Zamanı hesaplanmaktadır. Yangın Tipi Tablo 3 yardımıyla hesaplanmıştır. Tablo 1 ve 2 kullanılarak çıkan yangının hangi Bölgede hangi Koordinatta olduğu bulunmuştur. Sonra yangın noktasının her iki yangın istasyonuna olan Uzaklığı hesaplanmıştır. Uzaklık kolonunun birinci satırı 1 numaralı istasyona olan uzaklığı, ikinci satırı iki numaralı istasyona olan uzaklığı vermektedir. İstasyon kolonunda en yakın istasyonun numarası verilmiştir. İstasyonların yangın yerine ulaşma sürelerinin hesaplanması için Yol Çarpanı rassal değişkeni Tablo 4 yardımıyla hesaplanmıştır. Böylece yangına gidiş düreleri hesaplanmıştır. Yeni Yangın Tipi kolonunda geç kalınan her 20 dakika için yangının bir birim artığı göz önüne alınmıştır. Örneğin ilk yangın için Yangın Tipi başlangıçta II olarak hesaplanmışken, en yakın istasyon olan 1 numaralı istasyondan 36.9 dakikada ulaşıldığı için III tip yangın haline gelmiştir. Eğer gidiş süresi 40 değerini geçseydi yangın tipi iki birim yükselecek ve IV numaralı yangın haline gelecekti (4 numaralı yangına bakabilirsiniz). Gerekli Araç Sayısı yakın istasyondan daha çok olacak şekilde karşılanmaktadır. Yangın söndürmeye başlanılması için gerekli bütün araçların yangın noktasına ulaşması gerektiği varsayılmıştır. Bu nedenle Başlama zamanı en son gelen aracın yangın noktasına ulaşma zamanıdır. Bitiş zamanı yangın tipine bağlı olarak Tablo 3’ten alınan yangın söndürme zamanını Başlama zamanına ekleyerek bulunmaktadır. Yangının söndürülmesinin ardından yangın araçları istasyonlara dönerken geldikleri yolları kullanmaktadırlar. Bu yollarda trafik durumunun aynı kaldığı varsayımı yapıldığı için Dönüş zamanını bulmak için yangın Bitiş zamanına Gidiş Süresi eklenmiştir. Simülasyonda istatistik olarak istasyonların boş kaldıkları süreler hesaplanmıştır. Örneğin ikinci yangın 416. dakikada başlamaktadır. Birinci istasyonun araçları ise 376.6. dakikada istasyona dönmüş olmaktadırlar. Bu durumda 416 – 376.6 = 39.4 dakika boş kalmaktadırlar. 2 0.072 53.9 170 416 0.243 I 0.120 1 0.681 4 0.071 650 0.614 II 0.431 2 0.872 5 0.434 874 0.647 II 0.805 4 0.441 3 0.276 1078 0.748 III 0.422 2 0.315 2 0.274 - 1.8 55.7 0.552 1.6 64.6 0.587 1.6 26.8 0.345 2 1.3 78.6 2 707.3 - 1054.7 166.7 1063.6 200.4 1243.6 23.3 1295.3 14.4 693.8 2 939.0 999.0 2 2 1156.7 2 40.8 - 663.8 - IV 1 80.6 22.6 564.8 2 IV 39.4 673.6 524.8 1 II 1 22.4 204 13.5 - 0.840 2 53.9 0.571 1.8 - 246 609.2 2 III 1 41.2 224 108.8 246 393.4 339.7 1 44.4 1.8 0.798 3 92.2 0.733 1.1 0.752 376.6 299.7 2 III 1 10.0 234 53.7 0.087 1 80.6 0.800 36.9 1.6 1 44.7 0.231 1.1 0.635 44.7 Boş Zamanlar (dakika) Y 0.365 Dönüş (dakika) RS 2 Bitiş (dakika) X 0.334 Başlama (dakika) RS 4 Gerekli Araç Sayısı Bölge 0.823 Yeni Yangın Tipi RS II Gidiş Süresi (dakika) Yangın Tipi 0.317 Yol Çarpanı RS 246 RS Yangın Geliş Zamanı (dk) 246 İstasyon Yangın Gelişler Arası Süresi (dk) 0.865 Uzaklık (km) RS Tablo 5. Elle simülasyon 1216.7 Soru 2. Karar verici bir saate matkapla delinmiş parça sayısını bulmak istemektedir. Bu sayı A işçisi ile B işçisinin bir saatte işledikleri parçaların toplamını alarak hesaplanabilir: Parça Sayisi = AParça + B Parça Matkapla işleme süresi ortalama 10 dakika olduğuna göre her işçinin bir saatte 6 adet parça işlemesi beklenmelidir. Fakat soruda A işçisinin ek olarak taşıma işi yaptığı da belirtilmiştir. Bu durumda A işçisi için beklenen değer bulmak olanaklı olmamaktadır. A işçisinin matkapla deldiği parça sayısını simülasyon yardımıyla bulabiliriz. Uygulanacak varyans düşürme tekniği ek bilgi gerektiren Indirekt Ölçüm yöntemidir. Bu durumda denklem aşağıdaki gibi olur: Parça Sayisi = AParça + 6 A işçisinin ek olarak yaptığı taşıma işinin gelişler arası süresi ile taşıma süresi soruda belirtilmiştir. Bu bilgiler Tablo 6’da verilmektedir. Matkapla işleme süresinin ortalama 10 dakika olduğu bilgisi verilmiştir. Fakat Monte Carlo simülasyonu modeline bu bilginin rassal değer olarak eklenmesi gerekmektedir. İyimser bir modelin kurulması istendiğine göre ortalaması 10 verilmiş olan işleme süresinindeki bilgi eksikliğimizi varyansı düşük olan bir istatistiksel dağılıma uydurarak kapatabiliriz. Yalnızca ortalama değerin bilindiği durumda düzgün ya da üçgen dağılım olarak alınabiliyordu. Bu iki dağılımdan üçgen dağılımın varyansının daha küçük olduğunu bilmekteyiz. Bu nedenle el ile simülasyon yaparken matkapla işleme süresinin (%20 alt ve üst değeri bularak) 8 – 10 – 12 parametreli üçgen dağılım olduğunu varsayabiliriz. Tanım Matkapla işleme süresi Tablo 6. El ile simülasyon ters dönüşüm denklemleri Dağılım Ters Dönüşüm Denklemi 8 – 10 – 12 dakika Eğer RS < 1 ise x = 8 + 8 RS 2 Üçgen 1 Eğer RS ≥ 2 ise x = 12 − 8(1 − RS ) Taşıma işi gelişler arası süresi Taşıma süresi x = −15 ln( RS ) x = 3 + 3RS 15 dakika Üstel 3-6 Düzgün Soruda belirtilen beş koşumun yapılabilmesi için taşıma işlerinin geliş zamanları hesaplanmıştır. Tablo 7’de taşıma işinin geliş zamanları beş koşum için verilmiştir. Tablo 7. Taşıma işi geliş zamanları Koşum 1 RS GAS GZ 0.206 23.7 23.7 0.793 3.5 27.2 0.249 20.9 48.1 0.204 23.9 71.9 Koşum 2 RS GAS GZ 0.271 19.6 19.6 0.827 2.8 22.4 0.282 19.0 41.4 0.532 9.5 50.9 0.918 1.3 52.1 0.564 8.6 60.7 Koşum 3 RS GAS GZ 0.565 8.6 8.6 0.837 2.7 11.2 0.345 16.0 27.2 0.330 16.6 43.8 0.337 16.3 60.1 Koşum 4 RS GAS GZ 0.926 1.2 1.2 0.573 8.3 9.5 0.531 9.5 19.0 0.150 28.5 47.5 0.236 21.7 69.2 Koşum 5 RS GAS GZ 0.352 15.7 15.7 0.533 9.4 25.1 0.413 13.3 38.4 0.837 2.7 41.0 0.288 18.7 59.7 0.582 8.1 67.8 Bu geliş zamanları kullanılarak A işçisinin yaptığı matkapla delme ve taşıma işlerinin simülasyonu ise Tablo 8’de verilmektedir. Soruda belirtildiği gibi matkap işinin sonsuz kaynaktan geldiği, taşıma işinin öncelikli olduğu ama bir parçanın işlenmesi sırasında gelen taşıma işinin parçanın bitişini beklediği düşünülmüştür. 3 Tablo 8. A işçisinin elle simülasyon modeli Koşum 1 Tipi Matkap Matkap Matkap Taşıma Taşıma Matkap Taşıma Matkap Tipi Matkap Taşıma Taşıma Matkap Taşıma Matkap Matkap Taşıma Matkap Koşum 2 İşlem RS Süresi Başlama 0.156 9.1 0.0 0.428 9.9 9.1 0.893 11.1 19.0 0.563 4.7 30.1 0.102 3.3 34.8 0.941 11.3 38.1 0.815 5.4 49.4 0.342 9.7 54.8 Koşum 4 İşlem RS Süresi Başlama 0.098 8.9 0.0 0.703 5.1 8.9 0.238 3.7 14.0 0.281 9.5 17.7 0.742 5.2 27.2 0.413 9.8 32.4 0.384 9.8 42.2 0.808 5.4 52.0 0.309 9.6 57.4 Bitiş 9.1 19.0 30.1 34.8 38.1 49.4 54.8 64.5 Tipi Matkap Matkap Taşıma Taşıma Matkap Matkap Taşıma Taşıma Taşıma İşlem RS 0.467 0.328 0.219 0.925 0.878 0.327 0.717 0.625 0.132 Tipi Matkap Matkap Taşıma Matkap Taşıma Taşıma Taşıma Matkap Taşıma İşlem RS 0.663 0.577 0.411 0.820 0.109 0.121 0.905 0.396 0.793 Süresi Başlama 9.9 0.0 9.6 9.9 3.7 19.5 5.8 23.2 11.0 29.0 9.6 40.0 5.2 49.6 4.9 54.8 3.4 59.7 Bitiş 9.9 19.5 23.2 29.0 40.0 49.6 54.8 59.7 63.1 Tipi Matkap Taşıma Taşıma Matkap Taşıma Matkap Matkap Taşıma Koşum 3 İşlem RS Süresi Başlama 0.334 9.6 0 0.298 3.9 9.6 0.978 5.9 13.5 0.843 10.9 19.4 0.004 3.0 30.3 0.226 9.3 33.3 0.973 11.5 42.6 0.980 5.9 54.1 Bitiş 9.6 13.5 19.4 30.3 33.3 42.6 54.1 60.0 Koşum 5 Bitiş 8.9 14.0 17.7 27.2 32.4 42.2 52.0 57.4 67.0 Süresi Başlama 10.4 0.0 10.2 10.4 4.2 20.6 10.8 24.8 3.3 35.6 3.4 38.9 5.7 42.3 9.8 48.0 5.4 57.8 Bitiş 10.4 20.6 24.8 35.6 38.9 42.3 48.0 57.8 63.2 Tablo 9’da bir saat içinde A ve B işçisi tarafından toplam matkapla delinen iş sayısı bilgisi verilmektedir. Tablo 9. Sonuçlar İş Sayısı Koşum No 1 2 3 4 5 A İşçisi 5 4 4 5 4 B Toplam İşçisi 6 11 6 10 6 10 6 11 6 10 Ortalama 10.400 0.548 Standart Sapma Bu bilgiyi kullanarak güven aralığını aşağıdaki şekilde bulabiliriz: x = 10.4 s ( x) = 0.548 n=5 s( x ) = t n −1,1− α 2 s( x) = 0.245 n = t 4,0.975 = 2.776 h = t n −1,1− α s ( x ) = 0.680 2 [ [ Sonuç olarak güven aralığı 10.4 − 0.68,10.4 + 0.68 = 9.72,11.08 olarak bulunur. 4 Soru 3. a) Karar vericinin en büyük kuyruk uzunlukları hakkında güven aralığı oluşturmak istediği belirtilmiştir. Tablo 10’da her bir koşum için koşum içinde elde edilen en büyük kuyruk uzunlukları gösterilmektedir. Tablo 10. Sonuçlar En Uzun Koşum No Kuyruk 1 5 2 6 3 3 4 8 5 3 6 7 5.333 Ortalama Standart Sapma 2.066 Ortalama ve standart sapma bilgisini kullanarak aşağıdaki sonuç elde edilir: x = 5.333 s ( x) = 2.066 n=6 s( x ) = t n −1,1− α 2 s( x) = 0.843 n = t 5,0.975 = 2.571 h = t n −1,1− α s ( x ) = 2.167 2 [ [ Güven aralığı 5.333 − 2.167,5.333 + 2.167 = 3.166,7.500 olacaktır. b) Gerekli koşum sayısını bulmak için aşağıdaki denklem uygulanır: h 2 2.167 2 n = n * = 6 = [112.70] = 113 h 0.5 * Bu durumda 6 koşumu yaptığımız düşünülürse 107 ek koşum yapılması gerekmektedir. 5 ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/10/2009 for the course SIMULATION 20091 taught by Professor Erhanbozdag during the Spring '09 term at Istanbul Technical University.

Ask a homework question - tutors are online