Yanit_2002_Yariyil_Ici - İTÜ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: İTÜ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SİSTEM SİMÜLASYONU DERSİ YARIYIL İÇİ SINAV SORU YANITLARI Tarih: 26.03.2002 Soru 1. Gelişler arası süre ile ilgili olarak 5 saat içinde ortalama 240 grubun geldiği belirtilmiştir. Bu bilgiden dakikada 240 = 0.8 grubun geldiğini söyleyebiliriz. Sorudaki sıklık tablosunda, bir dakika içinde gelen grup sayıları 5 * 60 ile ilgili bilgi verilmiştir. Bu durumda uygunluk testi yapılması gerekmektedir. Grup sayıları kesikli değerler alabilecekleri için kesikli dağılımlardan uygun olanının seçilmesi gerekmektedir. Gerçekte, gelen grup sayısı bir anlamda gelişler arası süreyi içerdiğinden Poisson dağılımına uyma olasılığı bulunmaktadır. Şekil 1’de gözlem verileri ile 0.8 ortalamalı teorik Poisson dağılımının grafikleri verilmektedir. İki grafiğin birbirine benzediği görülmektedir. Uygunluk testinin hipotezlerini aşağıdaki gibi kurabiliriz: H 0 : Gözlem verileri ortalaması 0.8 olan Poisson dağılımına uyan yığından gelmektedir. H 1 : Gözlem verileri 0.8 ortalamalı Poisson dağılımından gelmemektedir. Her ne kadar veri sayısı düşükse de verilerin kesikli dağılımdan geldiğini bildiğimize göre uygunluk testi olarak Kolmogorov-Smirnov testini uygulayamayız. Bu nedenle Ki-Kare testi yapılmış ve sonuçları Tablo 1’de verilmiştir. Gözlenen Sıklık 13 0.45 11.25 0 13 11.25 0.272 1 7 0.36 9.00 1 7 9.00 0.444 2 3 0.14 3.50 >2 5 4.75 0.013 3 1 0.04 1.00 Toplam 25 1.00 0.729 >3 1 0.01 0.25 Toplam 0.5 0.4 Gözlenen 0.3 Teorik 0.2 0.1 0 0 1 2 3 >3 25 1.00 25 Ki-Kare Grup Sayısı Teorik Sıklık Gözlenen Sıklık 0 0.6 Teorik Olasılık Grup Sayısı Teorik Sıklık Tablo 1. Ki-Kare uygunluk testi Şekil 1. Poisson dağılımı 5’ten küçük sıklığa sahip sınıflar Ki-Kare uygunluk testinde birleştirilmek zorundadır. Örnekte teorik sıklığın 4.75 olduğu sınıfı bir üst sınıfla birleştirmemiz gerekmektedir (zaten teorik sıklığı 3.50, 1.00 ve 0.25 olan sınıflar birleştirilmişti). Fakat bu durumda serbestlik derecesi sıfır olacaktır. Bu nedenle 5’e yakın bir sıklığa sahip olduğu varsayılarak birleştirme işlemi yapılmamıştır. Ki-Kare dağılımının serbestlik derecesi aşağıdaki gibi hesaplanabilir: serbestlik derecesi = sınıf sayısı – parametre sayısı – 1 serbestlik derecesi = 3 – 1 – 1 = 1 Poisson dağılımında yalnızca ortalamanın verilerden hesaplanması gerekmektedir. Bu nedenle parametre sayısı 1 olarak alınır. α = 0.05 olarak alınırsa kritik Ki-Kare değeri tablodan 3.84 bulunur. Bulunan Ki-Kare toplamı 0.729 < 3.84 olduğu için H 0 hipotezini ret edecek yeterli verimiz olmadığı anlaşılmaktadır. Bu durumda verilerin Poisson dağılımından geldiğini düşünebiliriz. Bir günlük inceleme yapılacağını ve verilen diğer bilgilerin sürekli olmasını dikkate alırsak değişken zaman artışlı simülasyon yöntemini kullanmamız gerekecektir. Bu yöntemi kullanabilmemiz için Poisson dağılımından üstel dağılıma geçmek gerekir. Bir dakika içinde gelen grup sayısı 0.8 ortalamalı Poisson dağılımına uyuyorsa, grup gelişler arası süresi ortalaması 1 0.8 = 1.25 olan üstel dağılıma uyacaktır. Fakat soruda bar sahibinin gelen müşteri grubu 1/6 sayısının %20 artması durumu için deney yapmak istediği belirtilmektedir. Bu durumda gelişler arası süre ortalaması 5(60) 300 = = 1.04 değerine düşecektir. 240(1.2) 288 Müşteri gruplarının gelişler arası süresini bulduktan sonra grubun içeri girip girmeyeceğini belirlemek gerekmektedir. Soruda verilen tablodan Tablo 2’de verilen rastsal sayı aralıkları üretilebilir. Bu tablonun kullanılması için elle simülasyon sırasında doluluk oranlarının hesaplanması gerekecektir. Eğer grup bara girmeye karar vermişse grubun kaç kişiden oluştuğunun hesaplanması gerekmektedir. Bu amaçla soruda gruptaki müşteri sayısına ilişkin gözlem değerleri verilmiştir. Tablo 3’te grup büyüklükleriyle ilgili rastsal sayı aralıkları tanımlanmaktadır. Gözlem Sayısı Birikimli Olasılık RS Aralığı RS Aralığı Olasılık RS Aralığı 0.80 ≤ Doluluk ≤ 1.20 Tablo 3. Grup büyüklüğü Gruptaki Kişi Sayısı Doluluk < 0.80 Olasılık Olasılık RS Aralığı Tablo 2. Müşteri grubunun bara giriş tablosu 2 40 0.20 0.000-0.199 Doluluk > 1.20 Girer 0.85 0.000-0.849 0.70 0.000-0.699 0.05 0.000-0.049 3 50 0.45 0.200-0.449 Giremez 1.00 0.850-0.999 1.00 0.700-0.999 1.00 0.050-0.999 4 80 0.85 0.450-0.849 5 30 1.00 0.850-0.999 Bara gelen müşteri tipleri harcama miktarlarına ve kalış sürelerine bağlı olarak üç gruba ayrılmıştır. Gelen müşteri grubunun bu üç tipten hangisi olduğu olasılıklarla verilmektedir. Yine bu bilgiye ilişkin rastsal sayı aralıkları belirlenmiş ve Tablo 4’te verilmiştir. Birikimli Olasılık RS Aralığı Tip 1 3 + RNS 10 0.2 0.000-0.199 Tip 2 7 + 3 RNS 60 0.8 0.200-0.799 Tip 3 15 + 4 RNS 120 1.0 0.800-0.999 Harcama Miktarı (M.TL/Kişi) Kalış Süresi (dakika) Tablo 4. Harcama miktarları ve kalış süreleri Modelin elle simülasyonunu yapabilmek amacıyla 8 müşteri grubuna ilişkin geliş zamanları bulunmuş ve Tablo 5’te verilmiştir. RS Gelişler Arası Süre (dakika) Geliş Zamanı (dakika) Tablo 5. Geliş zamanları 0.386 1.00 1.00 0.632 0.48 1.48 0.866 0.15 1.63 0.083 2.61 4.24 0.040 3.37 7.61 0.321 1.19 8.80 0.603 0.53 9.33 0.198 1.70 11.03 Yukarıda verilen sekiz müşteri için elle simülasyon tablosu Tablo 6’da verilmektedir. 2/6 Harcama Kazanç 1 10 1.035 4.042 12.12 11.003 53 0.406 2 60 -0.809 4.57 22.85 61.63 5 58 0.548 2 60 0.580 8.74 43.70 64.24 0.556 4 63 0.966 3 120 1.200 19.80 79.20 127.61 Girer 0.498 4 67 0.262 2 60 -0.056 6.83 27.32 68.80 0.004 Girer 0.869 5 71 0.895 3 120 0.965 9.90 49.50 129.33 0.151 Girmez 0.356 3 735 50 1.48 0.88 0.779 Girmez 0.467 4 53 1.63 0.88 0.128 Girer 0.960 5 4.24 0.97 0.698 Girer 0.949 7.61 1.05 0.352 Girer 8.80 1.12 0.216 9.33 1.18 11.03 1.224 RS RS Toplam Çıkış Zamanı 3 Kalış Süresi 0.283 Tip Girer Toplam Müşteri 0.645 Kişi 0.831 Karar 1.00 Geliş Zamanı RS 0.002 Doluluk RNS Tablo 6. Elle simülasyon tablosu 234.69 1) İlk grup geldiğinde barda 50 kişi bulunmaktadır. Toplam müşteri sütununda yeni müşteri grubu geldiğinde içeride bulunan kişi sayısı verilmiştir. Bu nedenle barın doluluk oranı 50 = 0.83 olarak 60 hesaplanır. Tablo 2’de doluluk oranının 0.80 ile 1.20 arasında olduğu kısma bakılması gerekmektedir. 2) Gelen müşteri grubu Tip I olarak belirlenmiştir. Bu nedenle kişi başına harcama miktarı ortalaması 3 standart sapması 1 olan normal dağılımdan hesaplanacaktır. Rastsal normal sayı 1.035 olduğuna göre kişi başına ortalama harcama 3 + 1.035 * 1 = 4.04 olur. Gruptaki kişi sayısı 3 olduğuna göre toplam harcama miktarı 3 * 4.04 = 12.12 olacaktır. 3) Geliş zamanı 1 ve Tip I müşterilerinin kalış süresi 10 dakika olduğuna göre ilk müşteri grubunun çıkış zamanı 11 olur. Çıkış zamanında bardaki müşteri sayısının 3 azalacağını unutmamak gerekmektedir. 4) Son grup geldiğinde barda 73 kişi bulunmaktadır. Doluluk oranı 73 = 1.22 olur. Bu nedenle Tablo 2’de 60 doluluk oranının 1.2’nin üstünde olduğu sütuna bakmak gerekmektedir. Rastsal sayı 0.05’ten küçükse müşteriler içeri girecektir. Rastsal sayı 0.151 olarak belirlendiğine göre müşteriler bara girmezler. 5) Müşteri sayısı 9.33 zamanında 71 + 5 = 76 olmaktadır. Fakat ilk gelen müşteri grubu 11 dakikada barı terk ettiği için bu andan sonra barda 76 – 3 = 73 müşteri kalmaktadır. 11.03 dakikaya kadar gelen ya da çıkan başka müşteri grubu da olmadığına göre bardaki toplam müşteri sayısı 73’tür. Toplam kazanç 234,690,000 TL olmuştur. İkinci ve son müşteri grupları bara girmemiştir. Kaçan müşteri sayısı 7’dir. 3/6 Soru 2. Rıhtıma yanaşan gemilerin gelişler arası süresi 1.25 gündür ve üstel dağılıma uymaktadır. Rıhtımdaki iki vincin boşaltma süreleri için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiştir. Elle simülasyona başlayabilmek için olasılık yoğunluk fonksiyonuna ilişkin ters dönüşüm denklemini bulmak gerekmektedir. Bu amaçla grafik Şekil 2’de görüldüğü gibi üç bölgeye ayrılarak incelenebilir. Olasılık h I. 0.5 II. III. 1.0 1.5 gün 2.0 Şekil 2. Yük boşaltma süresi olasılık yoğunluk fonksiyonu Fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için altındaki alanın 1’e eşit olması gerekmektedir. Bu durumda yamuğun alan formülünden h yüksekliğini hesaplayabiliriz. (2.0 − 0.5) + (1.5 − 1.0) h =1 2 h =1 Bu durumda üç bölgenin alanları aşağıdaki gibi olur. Bölge I: (1.0 − 0.5)1 = 0.25 2 Bölge II: (1.5 − 1.0 )1 = 0.5 Bölge III: (2.0 − 1.5)1 = 0.25 2 Her bölge için farklı dönüşüm denklemleri bulunacaktır. Bölge I için 0.00 ≤ RS ≤ 0.25 Üçgen alanı formülünden, RS = Alan = (x − 0.5)h′ 2 olduğuna göre h ′ değerini bulmamız gerekmektedir. Üçgen benzerliklerinden x − 0.5 h′ x − 0.5 kullanılarak h ′ = bulunur. Yukarıdaki denklemde yerine konulursa, = 1.0 − 0.5 1 0.5 x − 0.5 x − 0.5 2 RS = = ( x − 0.5) ve x = 0.5 + RS bulunur. 2 0.5 Bölge II için 0.25 ≤ RS ≤ 0.75 Rastsal sayının ilk 0.25 kısmı Bölge I’e denk gelmektedir. Bu durumda dikdörtgenin içine düşen kısım RS − 0.25 ile gösterilebilir. Dikdörtgenin alan formülü kullanılarak, RS − 0.25 = Alan = h( x − 1) = x − 1 ve buradan x = 0.750 + RS bulunur. 4/6 Bölge III için 0.75 ≤ RS ≤ 1.00 Şeklin sağ tarafında oluşan küçük üçgenin alanı kullanılırsa aşağıdaki formül elde edilir. 1 − RS = (2 − x )h′ 2 olduğuna göre h ′ değerini bulmamız gerekmektedir. Üçgen benzerliklerinden, 2− x h′ 2− x ise h ′ = bulunur. Yukarıdaki denklemde yerine konulursa, = 2.0 − 1.5 1 0.5 2 − x 2 − x 2 1 − RS = = (2 − x ) ve x = 2 − 1 − RS bulunur. 2 0.5 Ters dönüşüm denklemi tam olarak Tablo 7’de verilmektedir. Tablo 7. Yük boşaltma süresi ters dönüşüm denklemi RS Aralığı 0.00 ≤ RS ≤ 0.25 0.25 ≤ RS ≤ 0.75 0.75 ≤ RS ≤ 1.00 Tablo 8. Yük boşaltmanın uzaması Yük boşaltma süresi artışı Olasılık Birikimli Olasılık RS Aralığı x = 0.5 + RS x = 0.75 + RS 1.5 0.4 0.4 0.000-0.399 2.0 0.4 0.8 0.400-0.799 x = 2 − 1 − RS 2.5 0.2 1.0 0.800-0.999 Kullanılacak ters dönüşüm denklemi Bir vinç yeni gelen bir gemiyi boşaltmak için görevlendirildiğinde diğer vince yardım etmeyi bırakmaktadır. Bu durumda yük boşaltma süresi uzamaktadır. Verilen bilgilerden Tablo 8’deki rastsal sayı aralıkları elde edilebilir. Modelin elle simülasyon tablosuna hazırlık olarak gemilerin geliş zamanları bulunmuştur. Altı gemi için bu değerler Tablo 9’da verilmektedir. RS Gelişler Arası Süre (gün) Geliş Zamanı (gün) Tablo 9. Gemi geliş zamanları 0.277 0.691 0.488 0.215 0.856 0.077 1.61 0.46 0.90 1.92 0.19 3.21 1.61 2.07 2.97 4.89 5.08 8.29 Tablo 10’da elle simülasyon sonucu ve aşağıda da açıklamaları verilmiştir. 5/6 1.61 Geliş 0.377 2.074 Süre Uzar 2.076 Geliş 2.297 Süre Kısalır 2.97 Geliş 0.815 4.89 Geliş 0.470 5.08 Süre Uzar 5.08 Geliş 0.011 8.29 Geliş 0.247 0.75 2 0.542 1.5 1.61 2.073 Rıhtımın Boş Kalma Süresi Gemi Boşaltma Süresi Bitiş 2.29 1.29 1.070 0.242 2.182 2.07 0.110 1.61 Başlama Bitiş Vinç II 0.51 0.716 1.131 Başlama Süre RS Kalan Süre Ekleme RS Olay Zaman Vinç I 1.61 0.685 2.07 3.36 2.29 2.83 2.29 2.83 0.76 1.57 2.97 3.76 2.97 3.76 0.79 1.22 4.89 5.50 4.89 5.50 5.08 5.71 0.420 0.14 1.13 0.82 5.08 8.67 0.51 8.29 8.67 0.38 2.58 Ortalama 8.29 5.59 0.67 1.37 1) 0.377 rastsal sayısı ikinci bölgeye düşmektedir. Tablo 7 kullanılarak yük boşaltma süresi 0.750 + 0.377 olarak bulunur. 2) İlk gelen gemi için boşaltma süresi 1.13 gün olarak bulunmuştur. Fakat başlangıçta iki vinç de boş olduğu için birlikte çalışacaklardır. Bu nedenle boşaltma süresi yarıya 1.13 = 0.565 düşer. İlk geminin 2 yük boşaltma işinin bitişi 1.61 + 0.57 = 2.18’de olacaktır. 3) İkinci gemi 2.07 anında gelmektedir. İkinci vinç bu andan itibaren ikinci gemiyi boşaltmaya başlar. Bu nedenle birinci gemiyi boşaltmaya yardımının bitiş anı 2.07’dir. 4) İkinci vinç ayrıldığı için birinci vincin kalan boşaltma süresi uzayacaktır. Kalan sürenin kaç katına çıkacağı rastsal sayı yardımıyla 2 olarak bulunmuştur. Kalan süre ise 2.18 – 2.07 = 0.11 gündür. Bu durumda birinci vincin yeni boşaltma zamanı 2.07 + 2 * 0.11 = 2.29 olacaktır. 5) Gemi boşaltma süresi, boşaltmaya başlama zamanından boşaltma bitiş zamanı çıkarılarak elde edilir. Birinci geminin boşaltma bitiş zamanı, yalnızca birinci vincin çalışmasıyla biten 2.29. gündür. Başlama zamanı ise geminin geldiği 1.61. gündür. Boşlatma süresi 2.29 – 1.61 = 0.68 gün olarak hesaplanır. 6) İkinci geminin boşaltma işlemine ikinci vinç başlıyor. Bu sırada birinci vinç boşaltma işlemini sürdürüyor. 7) Birinci vinç 2.29. günde işlemini bitirdiğine göre ikinci vince yardıma gitmeli. Bu durumda ikinci geminin kalan boşaltma süresi yarıya düşecektir. Kalan süre 3.36 – 2.29 = 1.07 gündür. Yarıya düşeceğine göre her bir vinç için kalan boşaltma süresi 1.07 = 0.535 olur. Boşaltma bitiş zamanı ise 2.29 + 0.54 = 2.83 2 olacaktır. Ortalama gemi boşaltma süresi 0.67 gündür. Rıhtımın ortalama boş kalma süresi 1.37 gündür. 6/6 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online