Yanit_2003_Yariyil_I - İTÜ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SİSTEM SİMÜLASYONU YARIYIL İÇİ SINAV SORU YANITLARI Soru 1 Elle

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: İTÜ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SİSTEM SİMÜLASYONU YARIYIL İÇİ SINAV SORU YANITLARI 18/03/2003 Soru 1. Elle simülasyona başlamadan önce soruda verilen veri ve bilgilerin düzenlenmesi gerekmektedir. Modelde işlem süresi girdi değişkeninin nasıl hesaplanacağına yönelik istatistik çalışması ile çözüme başlayabiliriz. Sistemde A parçalarının işlem süreleri bir regresyon doğrusu olarak verilmiştir. Regresyon doğrusu üzerindeki rastlantısal sapmaların, normal dağılabileceği söylenmektedir ve kanıtlanması istenmektedir. Bu durumda ilk önce işlem süreleri ile ilgili verileri kullanılabilir bilgi haline getirmemiz gerekir. Gerçek işlem süreleri ile doğru denkleminden elde edilen süreleri birbirinden çıkartarak sapma değerleri bulabiliriz. Tablo 1’de hesaplanan sapma değerleri görülmektedir. Hata Sayısı 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 Tablo 1. Sapma değerlerinin hesaplanması İşlem Süresi İşlem Süresi Hata Gerçek Tahmini Sapma Sayısı Gerçek Tahmini 2.75 3.00 -0.25 7 4.63 4.50 3.24 3.00 0.24 7 4.46 4.50 3.16 3.30 -0.14 8 4.68 4.80 3.36 3.30 0.06 8 4.80 4.80 3.56 3.60 -0.04 9 5.09 5.10 3.64 3.60 0.04 9 5.08 5.10 3.38 3.60 -0.22 9 5.22 5.10 3.97 3.90 0.07 10 5.33 5.40 3.80 3.90 -0.10 10 5.65 5.40 3.90 3.90 0.00 11 5.77 5.70 4.23 4.20 0.03 12 6.03 6.00 4.14 4.20 -0.06 12 6.02 6.00 Sapma 0.13 -0.04 -0.12 0.00 -0.01 -0.02 0.12 -0.07 0.25 0.07 0.03 0.02 Bir sonraki adım tabloda verilen 24 adet sapma değerinin hangi dağılıma uyduğunun bulunmasıdır. Soruda normal dağılıma uyabileceği ipucu verilmiştir. Fakat verilerin histogramını çizmek de destekleyici bilgi verir. Verilere ilişkin sıklık histogramını çizebilmek için verileri sınıflandırmak gerekmektedir. Bu amaçla en küçük ve en büyük değer, sınıf sayısı ve sınıf genişliği bulunarak sınıflar oluşturulmalıdır: En küçük değer = -0.25 ve En büyük değer = 0.25 n=5 24 ≅ 5 0.25 − (−0.25) = 0.1 Sınıf genişliği = 5 Sınıf sayısı = En küçük değere sınıf genişliği eklenerek beş sınıfa ilişkin sınıf limitleri oluşturulabilir. Tablo 2’de sınıflar ve sıklıkları verilmiştir. Sıklık histogramı (Şekil 1) çizildiğinde verilerin normal dağılıma uyabileceği görülmektedir. Teorik normal dağılımın olasılıklarını hesaplayabilmek için verilerin ortalama ve standart sapmasını hesaplamak gerekmektedir. Bu değerler, x = 0.00 σ = 0.12 olarak bulunur. Bu durumda uygunluk testinde aşağıdaki hipotezleri kurabiliriz: H 0 : Sapmalar, ortalaması 0 standart sapması 0.12 olan normal dağılımdan alınmıştır. H a : Sapmalar, ortalaması 0 standart sapması 0.12 olan normal dağılımdan gelmemektedir. 1 Tablo 2. Sınıflar Sınıf Limiti Gözlenen Üst Alt Sıklık -0.25 -0.14 3.00 9 8 7 6 -0.15 -0.04 5.00 -0.05 0.04 8.00 5 4 3 2 1 0.05 0.14 6.00 0.15 0.24 0 2.00 -0.25<=x<=-0.14 -0.15<=x<=-0.04 -0.05<=x<=0.04 -0.15<=x<=0.14 0.15<=x<=0.25 Şekil 1. Sapmaların sıklıkları Veri sayısı oldukça az olduğu için ( n < 100 ) Ki-kare testi uygulamak yanlış sonuç verebilir. Normal dağılımın parametre sayısı 2 olduğu için serbestlik derecesi çok düşebilir (0 oluyor). Ki-kare testi yerine, normal dağılımın sürekli dağılım olduğunu bildiğimize göre, Kolmogorov-Smirnov testi uygulayabiliriz. Test sonucu Tablo 3’de verilmiştir. Sınıf Limiti Üst -0.25 -0.15 -0.05 0.05 0.15 Alt -0.14 -0.04 0.04 0.14 0.24 Tablo 3. Kolmogorov-Smirnov testi Gözlenen Teorik Birikimli Birikimli Sıklık Olasılık Olasılık olasılık 3.00 0.13 0.13 0.123 5.00 0.21 0.33 0.371 8.00 0.33 0.67 0.629 6.00 0.25 0.92 0.879 2.00 0.08 1.00 1.000 Mutlak Fark 0.002 0.038 0.038 0.038 0.000 En büyük mutlak fark 0.038 olarak bulunmuştur. Kritik D değerini bulmamız gerekmektedir. Serbestlik derecesi n = 24 ’dir. α = 0.05 olarak alalım. Bu parametrelere karşılık gelen kritik değer tablodan bulunacaktır. Fakat Kolmogorov-Smirnov tablosunda 24 değeri bulunmamaktadır (enterpolasyonla bulunabilir). Fakat küçük değer olan D0.05, 25 = 0.24 bile 0.038 değerinden çok büyük olduğuna göre H 0 hipotezini ret edecek yeterli verimiz olmadığı sonucuna varabiliriz. Yukarıda elde ettiğimiz bulguya göre modelde işlem süresi aşağıdaki gibi elde edilecektir: 1. Gelen A parçası için rastsal olarak hata sayısı belirlenir. 2. İşlem Süresi = 2.4 + 0.3 * Hata Sayısı denkleminden işlem süresinin doğrusal olan kısmı elde edilir. 3. Sapmalar 0 ortalamalı ve 0.12 standart sapmalı normal dağılıma uymaktadır. Bu durumda modelin çalışması sırasında oluşacak sapmayı normal dağılımın ters dönüşüm denkleminden elde ederiz: x = 0 + 0.12 RNS = 0.12 RNS 4. Adım 2 ve Adım 3’te bulunan değerler toplanarak rastsal olan işlem süresi elde edilir. Elle simülasyona başlamadan önce bütün rastsal değişkenlerin ters dönüşüm denklemlerini belirleyelim. Tablo 4’te ters dönüşüm denklemleri ile ilgili bilgiler verilmiştir. Başlangıç koşulu olarak Parça Geliş Deposunda bir tane A ve bir tane B parçası olduğu söylenmiş. Bu durumda Parça Bekleme Deposunda herhangi bir parçanın olmadığını düşünebiliriz (varsayım). Soruda taşımacının o an bulunduğu nokta da belirtilmemiştir. Taşımacının bulunduğu yeri Parça Geliş Deposu olarak alabiliriz (varsayım). Her makine ve taşımacı için ayrı elle simülasyon tablosu hazırlayarak simülasyonu yapabiliriz. 2 Tablo 4. Rastsal değişkenlerin ters dönüşüm denklemleri Rastsal Değişken Ters Dönüşüm Denklemi Parçaların gelişler arası süresi x = −2 ln( RS ) Gelen parçanın tipi 0.000 ≤ RS ≤ 0.399 ise A parçası 0.400 ≤ RS ≤ 0.999 ise B parçası A parçası üzerindeki hata sayısı x = 2 + INT ( RS (10 + 1)) A parçasının işlem süresi z : A parçası üzerindeki hata sayısı x = 2.4 + 0.3 z + 0.12 RNS B parçasının işlem süresi x = 4 + RNS Taşımacı yükleme ve indirme süresi x = 0.2 + 0.4 RS İşlemleri yapmadan önce gelen 6 parça için geliş zamanlarını, parça tiplerini ve hata sayılarını hesaplayalım. Tablo 5’te 6 parça için değerler verilmiştir. Parça No 1 2 3 4 5 6 RS 0.410 0.549 0.120 0.598 0.926 0.678 Tablo 5. Gelen parçalara ilişkin bilgiler Gelişler Arası Geliş Süre RS Parça Tipi Zamanı 1.78 1.78 0.031 A 1.20 2.98 0.370 A 4.24 7.22 0.546 B 1.03 8.25 0.594 B 0.15 8.40 0.122 A 0.78 9.18 0.261 A RS 0.172 0.598 0.899 0.141 Hata Sayısı 3 8 11 3 Başlangıç değeri olarak verilen Parça Geliş Deposundaki A tipi parça üzerindeki hata sayısının belirlenmesi gerekmektedir. Parça numarası A0 olan söz konusu parça için rastsal sayı 0.751 gelmiştir. Öyleyse A0 parçasının üzerinde 10 adet hata bulunmaktadır. Aşağıdaki tablolarda Makine 1, Makine 2 ve Makine 3 için elle simülasyon tabloları verilmiştir. Tablo 6. Makine 1 işlemleri Makine 1 Parça No A0 1 5 6 Hata Sayısı 10 3 11 3 RNS 0.02 -0.33 -0.08 0.23 Süre 5.40 3.26 5.69 3.33 Başlama 2.06 7.46 13.25 23.03 Bitiş 7.464 10.72 18.94 26.36 Tablo 7. Makine 2 işlemleri Makine 2 Parça No 2 4 Hata Sayısı 8 B Parça No B0 3 RNS 0.10 0.18 Süre 4.81 4.20 Başlama 5.29 13.81 Tablo 8. Makine 3 işlemleri Makine 3 RNS Süre Başlama 0.05 4.05 1.70 0.38 4.40 14.04 3 Bitiş 5.755 18.44 Bitiş 10.10 18.01 Bütün bu işlerin yapılması sırasında makineler ve depolar arasındaki taşıma işlemlerinin tamamı taşımacı tarafından yapılmaktadır. Taşımacının elle simülasyon tablosu Tablo 9’da verilmiştir. Tablo 9. Taşımacının işlemleri Taşımacı İş Yükleme1 Yükleme Taşıma2 Bırakma Bırakma Git6 Yükleme7 Yükleme Taşıma Bırakma Bırakma Git8 Yükleme Taşıma Bırakma Git9 Yükleme Yükleme Yükleme Taşıma10 Bırakma Bırakma Bırakma Git11 Yükleme Yükleme Git Yükleme Taşıma Bırakma Bırakma Bırakma Git Yükleme Taşıma Bırakma Git Yükleme Git Yükleme Git Yükleme Taşıma Bırakma Bırakma Bırakma Nereden Nereye PGD-PBD PBD-PGD PGD-PBD Makine 3 Makine 3-BÜD BÜD-PGD PGD-PBD Makine 1 Makine 2 Makine 2-BÜD BÜD-PGD PGD-PBD Makine 2 Makine 3 Makine 1 Makine 1-BÜD - RS 0.052 0.171 0.028 0.393 0.163 0.897 0.509 0.696 0.472 0.005 0.310 0.492 0.601 0.083 0.899 0.064 0.937 0.046 0.311 0.819 0.670 0.868 0.332 0.232 0.334 0.369 0.732 0.386 0.379 0.709 Süre 0.22 0.27 1.00 0.21 0.36 1.00 0.27 0.56 1.00 0.40 0.48 1.00 0.39 1.50 0.20 2.00 0.32 0.40 0.44 1.00 0.23 0.56 0.23 1.00 0.57 0.22 1.00 0.32 1.00 0.53 0.47 0.55 2.00 0.33 1.00 0.29 1.00 0.33 1.00 0.35 1.00 0.49 2.00 0.35 0.35 0.48 4 Başlama 0.00 0.22 0.49 1.49 1.70 2.06 3.06 3.33 3.89 4.89 5.29 5.77 6.77 7.16 8.66 8.86 10.86 11.18 11.58 12.02 13.02 13.25 13.81 14.04 15.04 15.61 15.83 16.83 17.15 18.15 18.68 19.15 19.70 21.70 22.03 23.03 23.32 24.32 24.65 25.65 26.00 27.00 27.49 29.49 29.84 30.19 Bitiş 0.22 0.49 1.49 1.70 2.06 3.06 3.33 3.89 4.89 5.29 5.77 6.77 7.16 8.66 8.86 10.86 11.18 11.58 12.02 13.02 13.25 13.81 14.04 15.04 15.61 15.83 16.83 17.15 18.15 18.68 19.15 19.70 21.70 22.03 23.03 23.32 24.32 24.65 25.65 26.00 27.00 27.49 29.49 29.84 30.19 30.67 Arabadaki Parçalar A0 A0, B0 A0, B0 A03 1 1, 2 1 B0 B0 3 3, 4 3, 4, 5 3, 4, 5 3, 4 3 A0 A0, 1 A0, 1 A0, 1, 2 A0, 1, 2 A0, 1 A0 6 6 4 4 4, 3 4, 3 4, 3, 5 4, 3, 5 4, 3 4 - 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) Taşımacı 0 anından başlayarak Parça Geliş Deposundaki A0 numaralı parçayı yüklüyor. Daha sonra B0 parçası yüklenmektedir. A0 ve B0 parçaları yüklendikten sonra, 1.78’de gelecek olan parçayı beklemeden (parçanın ne zaman geleceğini bilemeyeceği için) Parça Bekleme Deposuna hareket ediyor. 1.70’de B0 parçasını masaya bıraktı ve arabada A0 parçası kaldı. Bir sonraki satırda A0 parçası da masaya bırakılıyor. 2.06’da bırakılan A0 parçası hemen Makine 1 tarafından işlenmeye başlanıyor. A0 parçasında düzeltilmesi gereken hata sayısı 10 olduğuna ve rastsal sapma için RNS 0.02 olduğuna göre Makine 1’de işlem süresi 2.4 + 0.3 * 10 + 0.12 * 0.02 = 5.4 + 0.0024 = 5.40 olarak hesaplanır. 1.70’de gelen B0 parçası işlendi. Taşımacı 2.06’da A0 parçasını bıraktıktan sonra boş kalıyor. Makine 1 7.46’ya, Makine 3 ise 5.75’e kadar işlemlerini tamamlayamayacaklar. Fakat Makine 2 parça olmadığı için çalışamıyor. 1.78’de Parça Geliş Deposuna bir parça daha geliyor. Taşımacı bu parçayı getirerek Makine 2’nin de çalışmasını sağlayabilir. Bu nedenle Parça Geliş Deposuna gidiyor. Taşımacı 3.06’da Parça Geliş Deposuna ulaştığında 1.78 ve 2.98 anlarında 1 ve 2 numaralı parçalar gelmiş. Parçalar yükleniyor. Taşımacı 5.77’de işi bitince boş kalmamak için Makine 3’te 5.75’de işlemi tamamlanan B0 ürününü almaya gidiyor. B0 ürününün yüklenmesi 7.16’da bitiyor. Saat 7.22’de Parça Geliş Deposuna yeni bir parça gelecektir. 7.46’da ise Makine 1’de A0 parçasının işlenmesi bitmektedir. Fakat bu olayların oluş zamanı 7.16’dan sonra olduğu için taşımacı tarafından bilinemezler. Bu nedenle taşımacı B0 ürününü arabaya koyduktan sonra Bitmiş Ürün Deposuna götürüyor. Taşımacı B0 parçasını 8.86’da Bitmiş Ürün Deposuna bıraktan sonra 7.22, 8.25 ve 8.40 anlarında gelmiş olan parçaları almak için Parça Geliş Deposuna gidiyor. Bitmiş Ürün Deposundan Parça Geliş Deposuna gidiş süresi verilmediği için 2.00 olarak alınmıştır. Taşımacı 12.02’de üç parçayı arabaya yerleştirdi. 9.18’de gelmiş olan 6 numaralı parça arabada yer kalmadığı için alınamadı. Taşımacı 14.04’te getirdiği üç parçayı bıraktığında, 7.46’da (A0) ve 10.72’de (1) işlemleri tamamlanmış iki ürün Makine 1’in stok alanında; 10.10’da (2) işlemini tamamlamış bir ürün Makine 2’nin stok alanında beklemektedir. Taşımacı bunları yükleyip Bitmiş Ürün Deposuna taşıyacaktır. Taşımacı hiç boş kalmamıştır. 5 Soru 2. Soruda elle simülasyon tablosunun hazırlanmasında kullanılacak bütün bilgiler verilmiştir. İlk yapılması gereken bu bilgileri kullanarak ters dönüşüm denklemlerinin her girdi değişken için bulunmasıdır. Tablo 10’da modelle ilgili bütün ters dönüşüm denklemleri verilmiştir. Tablo 10. Ters dönüşüm denklemleri Rastsal Değişken Ters Dönüşüm Denklemi x = −3 ln( RS ) Randevusuz hasta gelişler arası süresi 0.000 ≤ RS ≤ 0.199 ise Gelmez 0.200 ≤ RS ≤ 0.999 ise Gelir 0.000 ≤ RS ≤ 0.299 ise Diş Çekme 0.300 ≤ RS ≤ 0.699 ise Dolgu 0.700 ≤ RS ≤ 0.899 ise Kanal Tedavi 0.900 ≤ RS ≤ 0.999 ise Ağır Hastalık RS ≤ 0.5 ise x = 0.4 + 0.08RS Randevulu hastanın gelmemesi Tedavi Tipi Diş çekme süresi RS ≥ 0.5 ise x = 0.8 − 0.08(1 − RS ) x = 0.6 + 0.2 RS x = 0.9 + 0.3RNS x = 0.8 + 0.4 RS 0.000 ≤ RS ≤ 0.299 ise 7 hasta 0.300 ≤ RS ≤ 0.599 ise 8 hasta 0.600 ≤ RS ≤ 0.999 ise 9 hasta 0.000 ≤ RS ≤ 0.124 ise 1. saat 0.125 ≤ RS ≤ 0.249 ise 2. saat 0.250 ≤ RS ≤ 0.374 ise 3. saat 0.375 ≤ RS ≤ 0.499 ise 4. saat 0.500 ≤ RS ≤ 0.624 ise 5. saat 0.625 ≤ RS ≤ 0.749 ise 6. saat 0.750 ≤ RS ≤ 0.874 ise 7. saat 0.875 ≤ RS ≤ 0.999 ise 8. saat Dolgu yapma süresi Kanal tedavi süresi Ağır hastalık Randevu alan hasta sayısı Randevu saati Doktor için bir günün simülasyonunu yapabilmek için o gün kaç hastaya randevu verdiğini ve randevu saatlerini bulmak gerekmektedir. Gerçek hayatta da randevular iş gününden önce belli olmaktadır. Simülasyonu bir günlüğüne yapacağımıza göre randevulu hasta sayısını ve bunların randevu saatlerini yalnızca bir kereliğine bulacağız. Eğer bulduğumuz rastsal sayı 0.294 ise 7 hastanın randevu almış sonucuna varabiliriz. Bu hastaların hangi saatlerde randevu aldıklarını bulmamız gerekmektedir. Bu amaçla her hasta için rastsal sayı atarak 8 saatten hangisinde geleceğini buluruz. Fakat bir hastanın randevu saatini belirlediğimizde diğer hastalar o saati alamayacaklardır. Yani alınabilecek randevu saati sekizden yediye düşer. Bir hasta daha randevu aldığında ise yediden altıya düşecektir. Randevu saatleri arasında hastanın seçim yapma olasılığı eşit olarak verilmiştir. Bu nedenle her seferinde rastsal sayı aralıklarının değiştirilmesi gerekir. Bu işlem oldukça zaman alacaktır. Diğer bir yöntem ise 8 saat için rastsal sayı aralıklarını oluşturarak sürekli bunu kullanmaktır. Bu yöntemi kullanırken bir randevu saati verildikten sonra başka bir hasta için attığımız rastsal sayı aynı randevu saatine denk geliyorsa yeni bir rastsal sayı atmamız gerekecektir. Tablo 11’de randevu alan hastalar için randevu saatlerinin hesaplanması gösterilmektedir. Örneğin üçüncü hastanın randevusu için ilk gelen rastsal sayı 0.330 olmuştur. Bu değer ikinci saate düşmektedir ve ilk hastaya verilmiştir. Benzer şekilde çekilen ikinci rastsal sayı 0.450 üçüncü saate düşmektedir ve ikinci hastaya verilmiştir. Son rastsal sayı 0.510 dördüncü saate düşmektedir ve herhangi bir hastaya verilmemiştir. Doktorun çalışmaya başladığı ilk saat 0 olarak alınmıştır. Bu saatte randevu alan olmamıştır. En son çalıştığı saat 7 ile 7.99 arası olacaktır. 6 Randevu 1 0.283 Saat 2 Randevu 2 0.394 Saat 3 Tablo 11. Randevu saatleri Randevu 3 Randevu 4 Randevu 5 0.149 0.330 0.529 Saat 1 0.450 0.850 0.510 Saat 6 Saat 4 Randevu 6 0.554 0.703 Saat 5 Randevu 7 0.788 0.309 0.958 Saat 7 Son olarak randevusuz gelen hastaların geliş zamanını ve hastalık tiplerini belirleyelim. 8 saat içinde iki hasta gelmektedir. Tablo 13. Randevusuz hastaların geliş zamanları ve hastalıkları Gelişler Geliş RS Arası Süre Zamanı RS HastalıkTipi 0.606 1.5 1.5 0.580 Dolgu 0.481 2.2 3.7 0.185 Diş çekme 0.222 4.5 8.2 Yukarıda verilmiş olan bilgileri kullanarak Tablo 13’deki elle simülasyon tablosunu oluşturabiliriz. Hasta Tipi Randevulu 1 1 Geliş Zamanı 1.0 RS Tablo 13. Elle simülasyon tablosu Gelir RS Tedavi Doktor Gelmez RS Hastalık RNS Süresi Başlama Bitiş Bekleme Boş 0.635 Gelir 0.399 0.68 1.00 1.68 0.00 1.00 - Dolgu 0.181 0.64 1.68 2.32 0.182 0.00 1.5 Randevulu 2 2.0 0.128 Gelmez Randevulu 3 3.0 0.399 Gelir 0.811 Kanal Tedavi 1.570 1.37 3.00 4.37 0.00 0.68 Randevulu 43 4.0 0.709 Gelir 0.220 Diş çekme 0.163 0.51 4.37 4.88 0.37 0.00 Randevusuz 2 3.7 - Diş çekme 0.042 0.46 4.88 5.34 1.18 0.00 Randevulu 5 5.0 0.342 Gelir 0.525 Dolgu 0.278 0.66 5.34 6.00 0.34 0.00 Randevulu 6 6.0 0.710 Gelir 0.141 Diş çekme 0.507 0.60 6.00 6.60 0.00 0.00 Randevulu 7 7.0 0.295 Gelir 0.948 Ağır 0.059 hastalık 0.82 7.00 7.82 0.00 0.40 2) 3) - - Dolgu Randevusuz 1 1) - 0.412 - Doktorun çalışmaya başladığı 0 anında randevu almış hasta yoktur. Randevusuz gelen ilk hasta ise 1.5 anında gelmektedir. Bu nedenle doktor 1 anında gelen ilk randevulu hastaya kadar diğer işleri ile uğraşabilir. İlk randevulu hastanın tedavisi 1.68’de bitmiştir. 1.5’da gelen randevusuz hasta 1.68’e kadar bekleme salonunda bekler. Doktor ilk hastasının tedavisi bitirdiğinde 2’de gelip gelmeyeceği belli olmayan randevulu hastaya kadar beklemez, randevusuz hastayı alır. Dördüncü randevulu hasta 4 anında geldiğinde bekleme salonunda 3.7 anında gelmiş olan randevusuz bir hasta ve hala tedavi gören randevulu bir hasta sistemdedir. Bir önceki randevulu hastanın işlemi 4.37’de biter. Her ne kadar randevusuz hasta önce gelmiş de olsa randevulu hastanın önceliği vardır. Randevulu hasta 0.37 saat beklemiştir. Randevulu hastanın 4.88’de tedavisi tamamlandığında randevusuz hastanın tedavisi başlayabilir. Randevusuz hasta ise 4.88–3.70=1.18 saat beklemiştir. Doktor boş kaldığı toplam 2.08 saatte diğer işlerine zaman ayırabilmiştir. 7 ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/10/2009 for the course SIMULATION 20091 taught by Professor Erhanbozdag during the Spring '09 term at Istanbul Technical University.

Ask a homework question - tutors are online