Yanit_2003_Yariyil_Sonu - İTÜ ENDÜSTRİ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: İTÜ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SİSTEM SİMÜLASYONU YARIYIL SONU SINAV SORU YANITLARI 23/05/2003 Soru 1. Soruda 22 faktöriyel deney tasarımı ile ilgili bilgiler verilmiştir. Deney tasarımında, son deney elemanının (minimum stok seviyesi 5 ve sipariş miktarı 6) ikinci koşumu verilmemiştir. Bu eleman için koşumu yapmamız gerekiyor. Bu amaçla verilen bilgilerden ters dönüşüm denklemlerini elde edelim. Günlük taleplerin 2 ile 5 arasında düzgün dağılım olduğu belirtilmiştir. Verilerin kesikli olduğu göz önüne alınarak x = a + int( RS * (b − a + 1)) ters dönüşüm denklemini kullanabiliriz. Diğer bir yöntem rastsal sayı aralıklarının belirlenmesidir. Talepler düzgün dağılıma uyduğuna göre 2 ile 5 arasında herhangi bir tamsayı gelme olasılığı 0.25 olacaktır. Teslim süresinin en az 1 gün en çok da 3 gün olduğu belirtilmiştir. Veri olmadığı ama rastsal değişken hakkında aralık (en küçük ve en büyük değerin verildiği) değerinin bilindiği duruma uymaktadır. Üç seçenek tanımlanabilir: normal dağılım, üçgen dağılım ve düzgün dağılım. Mağaza sahibi değişkenliğin fazla olduğuna inanmaktadır. Bu durumda değişkenliğin (varyansın) en yüksek olduğu dağılımı seçmek uygun olacaktır. Aralığın verildiği durum için düzgün dağılımın varyansı üçgen ve normal dağılımlardan daha büyüktür. Veri yine kesikli olduğuna göre, yukarıda verilen kesikli düzgün dağılım ters dönüşüm formülünü ya da rastsal sayı aralıklarını kullanabiliriz. Bu basit modelde kullanacağımız ters dönüşüm denklemleri Tablo 1’de verilmektedir. Tablo 1. Rastsal değişkenlerin ters dönüşüm denklemleri Rastsal Değişken Ters Dönüşüm Denklemi x=2 x=3 x = 2 + INT ( RS (5 − 2 + 1)) ya da x=4 x=5 x =1 x = 1 + INT ( RS (3 − 1 + 1)) ya da x = 2 x=3 Günlük Talep Teslim Süresi 0.000 ≤ RS ≤ 0.249 0.250 ≤ RS ≤ 0.499 0.500 ≤ RS ≤ 0.749 0.750 ≤ RS ≤ 0.999 0.000 ≤ RS ≤ 0.332 0.333 ≤ RS ≤ 0.665 0.666 ≤ RS ≤ 0.999 Faktöriyel tasarımda minimum stok seviyesinin 5, sipariş miktarının 6 olduğu deney elemanına ilişkin bir koşumu yapmamız gerekmektedir. Tablo 2’de verilen elle simülasyon tablosundan toplam maliyet 86*107 TL olarak bulunmuştur. Tablo 2. Elle simülasyon tablosu Dönem Başı Stok 15 10 8 6 3 63 1 6 10 8 RS 0.899 0.123 0.160 0.420 0.723 0.981 0.672 0.199 0.102 0.204 Y.Doç.Dr Erhan Bozdağ Talep 5 2 2 3 4 5 4 2 2 2 Dönem Sonu Stok Sipariş? 10 Hayır 8 Hayır 6 Hayır 3 Evet 0 Hayır 1 Evet 0 Hayır 4 Evet 8 Hayır 6 Hayır RS 0.501 0.407 0.050 1/6 Teslim Süresi Elde Elde Bulundurma Bulundurmama 10 0 8 0 6 0 21 3 0 0 102 2 1 0 0 30 1 4 0 8 0 6 0 46 40 Toplam 1 Dördüncü günün başında 6 olan stok 3 adetlik talep karşılandıktan sonra 3’e düşüyor. Minimum stok seviyesinin (5) altına düşüldüğü için sipariş vermek gerekir. Verilen siparişin teslim süresi 0.501 rastsal sayısından 2 gün olarak bulunuyor. Bu durumda siparişin altıncı günün başında karşılanacağını düşünebiliriz. 2 Beşinci günün başında stokta 3 adet ürün var. Gün içinde gelen talep miktarı ise 4 olarak bulunmuş. Stoktaki 3 adet 7 ürünü müşterilere verebiliriz. Ama kalan bir adetlik talebi karşılayamıyoruz. Bir ürünü karşılayamama maliyeti 10 (x10 ) olduğuna göre elde bulundurmama maliyeti de 10 olacaktır. Bu adımda, stok minimum seviyesinin altında olsa da bir önceki siparişi beklediğimiz için sipariş vermiyoruz. 3 Dördüncü gün verilen sipariş mağazaya geliyor.Sipariş miktarı deneyde 6 olarak belirlenmiş olduğu için 6 adet buzdolabı stoğa giriş yapıyor. Soruda minimum stok seviyesi ile sipariş miktarının birlikte etkileri istenmektedir. Tablo 3’te verilen deney tasarımından görüldüğü gibi Faktör 1(soru için minimum stok seviyesi) iki noktada – değerden + değere değişmektedir. Bu nedenle Faktör 1’in etki derecesini ( R4 − R3 ) ve ( R2 − R1 ) farkları ile verebiliriz. ( R4 − R3 ) farkı Faktör 2 (soru için sipariş miktarı)’nin + değerlerine, ( R2 − R1 ) farkı ise – değerlerine denk düşmektedir. Faktör 2’nin etki derecesi bu değerin farkının yarısıdır. Birlikte etki derecesi e12 aşağıdaki gibi hesaplanabilir: e12 = ( R4 − R3 ) − ( R2 − R1 ) 2 Tablo 3. Deney tasarımı koşum sonuçları Faktör 1 Faktör 2 Minimum Stok Seviyesi Sipariş Miktarı Yanıt 5 (-) 5 (-) 10 (+) 10 (+) 6 (-) 10 (+) 6 (-) 10 (+) R1 R2 R3 R4 Koşumlar (Toplam Maliyet 107 TL) 1 2 3 4 5 72 160 77 93 86 142 64 102 68 158 81 89 65 164 83 100 74 153 70 106 Her koşum için e12 değerlerini Tablo 3 yardımıyla hesaplamamız gerekmektedir. (93 − 77) − (160 − 72) (102 − 64) − (142 − 86) 2 = −36.0 e12 = = −9.0 2 2 (89 − 81) − (158 − 68) (100 − 83) − (164 − 65) 3 4 e12 = = −41.0 e12 = = −41.0 2 2 1 e12 = 5 e12 = (106 − 70) − (153 − 74) = −21.5 2 Yukarıda hesaplanan 5 değer kullanılarak e12 etkisi için güven aralığı hesaplayabiliriz: e12 = − 36.0 − 9.0 − 41.0 − 41.0 − 21.5 = −29.7 5 (−36.0 + 29.7) 2 + ... + (−21.5 + 29.7) 2 s (e12 ) = = 14.06 5 −1 s (e12 ) 14.06 s (e12 ) = = = 6.29 n 5 t 4,0.975 = 2.776 h = t 4, 0.975 s(e12 ) = (2.776)(6.29) = 17.46 Y.Doç.Dr Erhan Bozdağ 2/6 Minimum stok seviyesi ve sipariş miktarının birlikte etkisi [− 29.7 − 17.46,−29.7 + 17.46] = [− 47.16,−12.24] olarak bulunur. için güven aralığı Soru 2. Elle simülasyona başlamadan önce kullanılacak ters dönüşüm denklemlerini belirlemeliyiz. Projenin tamamlanma süresine ilişkin PERT şemasında üç faaliyet bulunmaktadır. Her birine ilişkin dağılımlar soruda verilmektedir. Bu dağılımlara ilişkin ters dönüşüm denklemlerini doğrudan kullanabiliriz. Yıllık proje sayıları ise veri olarak verilmiş ve bir dağılıma uyabileceği belirtilmiştir. Bu durumda uygunluk testi yapmamız gerekir. Tablo 4’te verilere ilişkin sınıflar oluşturulmuştur. Kesikli rastsal değişkenin gözlem değerlerine ilişkin sıklıklar kullanılarak Şekil 1’de verilen histogram çizilebilir. Verilerin, yapısını ve kesikli olduğunu göz önünde bulundurarak histogramı incelediğimizde Poisson dağılımına uyabileceğini düşünebiliriz. Poisson dağılımının parametresini (ortalamaya eşittir) verilerden hesaplamak gerekmektedir: x= 0 * 5 + 1* 7 + 2 * 6 + 3 * 2 = 1.25 20 Bu durumda uygunluk testinin hipotezleri aşağıdaki gibi olur: H0: Veriler 1.25 adet/yıl ortalamalı Poisson dağılımından alınmıştır. Ha: Veriler 1.25 adet/yıl ortalamalı Poisson dağılımından gelmemektedir. Verilerimiz kesikli olduğu için uygunluk testi olarak Kolmogorov-Smirnov testini uygulama olanağımız yoktur. Veri sayısı az olsa da Ki-Kare testi uygulanacaktır. Sınıflara ilişkin olasılıklar Poisson dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonundan bulunabilir: p ( x) = e −1.25 1.25 0 e −λ λx kullanılarak p (0) = = 0.287 bulunur. 0! x! Tablo 4. Veri analizi Sınıf Sıklık 0 5 1 7 2 6 3 2 20 Toplam Beklenen Olasılık 0.287 0.358 0.224 0.131 1.000 Tablo 5. Birleştirilmiş sınıflar Beklenen Sıklık 5.74 7.16 4.48 2.62 20.00 Birleştirilmiş Sınıf 0 1 >=2 Gözlenen Sıklık 5 7 8 8 7 Sıklıklar 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 Yıllık sipariş s ayılar ı Şekil 1. Yıllık gemi siparişi histogramı Y.Doç.Dr Erhan Bozdağ 3/6 3 Beklenen Ki-Kare Sıklık 5.74 0.0954 7.16 0.0036 7.10 0.1141 Toplam 0.2131 Benzer şekilde diğer sınıflara ilişkin beklenen olasılıklar da hesaplanabilir. Olasılıkların toplam gözlem sayısı ile çarpılması ile beklenen sıklıklar bulunur. Tablo 4’te bu işlemlerin sonuçları görülmektedir. Ki-Kare testinde beklenen sıklıkların 5’ten küçük olmaması gerekmektedir. Tablo 4’te verilen üçüncü ve dördüncü sınıfların sıklıkları 5’ten küçüktür. Bu nedenle Ki-Kare değerleri hesaplanmadan önce birleştirilmeleri gerekir. Tablo 5 birleştirilmiş sınıflarla yapılan Ki-Kare hesabını göstermektedir. Toplam Ki-Kare değeri 0.2131 bulunmuştur. Bu değerin istatistiksel olarak büyük olup olmadığını anlayabilmemiz için Ki-Kare tablosundan elde edeceğimiz değerle karşılaştırmamız gerekir. Serbestlik derecesi 3-1-1=1 alınır ve α = 0.05 seçilirse χ 12,0.95 = 3.84 bulunur. 0.2131<3.84 olduğu için H0 hipotezini ret edecek yeterli veri olmadığı sonucuna ulaşırız. Simülasyonda verilen diğer verilerin sürekli dağılım oldukları ve performans değişkeninin (adam*saat olarak işçilerin boş kaldığı süre) yapısı göz önünde tutulursa, simülasyonun değişken zaman artışlı olduğu anlaşılır. Bu durumda gemi siparişlerinin gelişler arası sürelerinin bulunması gerekir. Bir yıl içinde sipariş edilen gemi sayısı Poisson’a uyduğuna göre, gelişler arası sürenin üstel dağılıma uyduğunu kabul edebiliriz. Gemi siparişlerinin gelişler arası süresi, ortalaması 1 1.25 yıl/adet olan üstel dağılıma uyacaktır. Simülasyonu ay bazında yapmamız gerektiği için gelişler arası süreyi 12 1.25 = 9.6 ay/adet ortalamalı üstel dağılıma çevirebiliriz. Elle simülasyon için gerekli ters dönüşüm denklemleri Tablo 6’da verilmektedir. Tablo 6. Ters dönüşüm denklemleri Rastsal Değişken Ters Dönüşüm Denklemi AB Faaliyeti x = 1 + 2 RS BC Faaliyeti x = 3 + 0.5 RNS AC Faaliyeti 4 + 3RS x= 7 − 6(1 − RS ) Gemi Siparişleri Gelişler Arası Süresi x = −9.6 ln( RS ) RS ≤ 1 3 RS ≥ 1 3 Tablo 6’da verilen bilgiler kullanılarak Tablo 7’de verilmiş olan elle simülasyon koşumları elde edilmiştir. Bir geminin inşasının tamamlanmış olabilmesi için C düğümüne gelinmiş, bütün faaliyetlerin tamamlanmış olması gerekmektedir. AB faaliyeti bitmeden BC faaliyeti başlayamayacağına göre, geminin tamamlanma süresi AB+BC ya da AC faaliyetlerinden uzun süreni kadar olacaktır. Bu yola kritik yol adı verilir. Geminin tamamlanma süresi boyunca işçiler meşgul sayılacaklardır. Örneğin bir geminin inşasında çalışan 20 işçi gemi tamamlanıncaya kadar uygun faaliyetlerde çalışırlar. Her bir faaliyette kaç işçinin çalıştığı dikkate alınmayacaktır. 1 Başlangıç koşulu olarak sıfır anında bir geminin inşasının başladığı belirtilmiş. 20 kişilik bir işçi grubu ilk geminin inşasına başlıyor. AB+BC faaliyetleri (ABC yolu) AC faaliyetinden daha uzun olduğu için kritik yolu oluştururlar. Geminin tamamlanma süresi 6.2 aydır. 20 işçi çalıştığına göre gemi normal zamanında tamamlanır. 2 İkinci gemi 9.0 anında geldiğinde ilk geminin işlemi tamamlanmış. Bu nedenle gemi 1 numaralı yerde ve yine 20 işçi tarafından çalışılarak 5.3 ayda tamamlanıyor. 3 Birinci geminin tamamlandığı 6.2 anı ile ikinci geminin çalışmasının başladığı 9.0 anı arasında 30 işçi boşta kalıyor. Toplam işçi boş kalma süresi (9.0-6.2)*30 olarak hesaplanır. Boş zamanların nasıl hesaplanmış olduğu Tablo 8’de ayrıntılı olarak verilmiştir. 4 13.7 anında üçüncü gemi geliyor. Bu gemi boş olan ikinci yere alınıyor. 13.7 anında yalnızca 10 işçi boşta bu nedenle geminin tamamlanma süresi 5 aydan 10 aya (‘normal işçi sayısı/var olan işçi sayısı’ katı kadar tamamlanma süresi uzuyor) çıkıyor. Bu durumda 13.7+10.0=23.7’de gemi tamamlanacaktır. Fakat yapılmakta olan diğer gemi 14.3 anında bitiyor ve 20 işçi serbest kalıyor. Serbest kalan işçilerin 10 tanesi ikinci yerdeki gemiye yardım edebilir. Bu durumda (önceki işlemin tam tersi olarak) kalan tamamlanma süresi yarıya düşüyor: (23.7-14.3)/2=4.7. Yeni tamamlanma zamanı 14.3+4.7=19.0 olacaktır. Y.Doç.Dr Erhan Bozdağ 4/6 Tablo 7. Elle simülasyon koşumları AB Faaliyeti RS Gelişler Geliş Arası Zamanı Süre AC Faaliyeti Yer RS Süre RNS Süre RS Süre ABC Yolu Kritik Boş Başlama Bitiş Yol İşgücü 1 0.835 2.7 0.99 3.5 0.596 5.1 6.2 6.2 6.2 62 9.02 14.3 843 13.7 19.04 54 0.0 4.9 43 4.3 9.5 23 5.2 7.2 13.6 83 51 Koşum 1 - - 0.393 9.0 9.0 1 0.655 2.3 0.04 3.0 0.308 5.0 5.3 5.3 0.612 4.7 13.7 2 0.207 1.4 -0.47 2.8 0.323 5.0 4.2 5.0 0.120 Koşum 2 - BC Faaliyeti 20.4 34.1 - - - 1 0.07 1.1 -1.02 2.5 0.244 4.9 3.6 4.9 0.638 4.3 4.3 2 0.541 2.1 -0.35 2.8 0.033 4.3 4.9 4.9 1 0.798 2.6 -0.78 2.6 0.598 5.1 5.2 0.740 2.9 7.2 0.274 12.4 0.01 19.6 Koşum 3 - 1 0.518 2.0 0.18 3.1 0.577 5.1 5.1 5.1 0.0 5.1 6.0 1 0.681 2.4 -0.36 2.8 0.255 4.9 5.2 5.2 6.0 11.2 79 0.442 7.8 13.8 1 0.125 1.3 -0.20 2.9 0.502 5.3 4.2 5.3 13.8 19.1 90 2.7 16.5 - - - 1 0.264 1.5 0.93 3.5 0.991 4.6 5.0 5.0 0.0 5.0 29 0.739 2.9 2.9 2 0.843 2.7 -0.08 3.0 0.222 4.8 5.7 5.7 2.9 9.7 47 0.416 8.4 11.3 1 0.378 1.8 0.43 3.2 0.68 5.0 5.0 5.0 11.3 16.3 85 0.144 Koşum 4 6.0 0.751 Koşum 5 0.536 18.6 29.9 - - - 1 0.135 1.3 -0.46 2.8 0.36 5.5 4.1 5.5 0.0 5.5 55 0.290 11.9 11.9 1 0.23 1.5 0.02 3.0 0.594 5.1 4.5 5.1 11.9 17.0 223 0.042 30.4 42.3 Koşum 5 Hesaplama 6.2*10 (9-6.2)*30 (13.7-9.0)*10+(15-14.3)*10 5.1*10 (6.0-5.1)*30+(11.2-6.0)*10 (13.8-11.2)*30+(15-13.8)*10 5.5*10 (11.9-5.5)*30+(15-11.9)*10 Koşum 2 Boş Zaman 62 84 54 51 79 90 55 223 Koşum 4 Koşum 3 Koşum 1 Tablo 8. Boş zamanların hesaplanması Boş Zaman 43 23 83 29 47 85 Hesaplama 4.3*10 (7.2-4.9)*10 (13.6-9.5)*10+(15-13.6)*30 2.9*10 (9.7-5.0)*10 (11.3-9.7)*30+(15-11.3)*10 Soruda işçilerin toplam boş kalma sürelerine ilişkin düşük varyanslı güven aralığının bulunması istenmiş. Bu amaçla ek bilgi gerektiren varyans düşürme tekniklerinden uygun olanını kullanmak gerekmektedir. Siparişlerin gelişler arası süresi artıkça işçilerin daha çok boş kalacaklarını düşünebiliriz. Bu durumda gemi siparişlerinin gelişler arası süresini ek bilgi olarak alarak işçilerin boş kalma sürelerine kontrol değişkeni varyans düşürme tekniğini uygulayabiliriz. Tablo 7 yardımıyla, her bir koşum için, siparişlerin gelişler arası sürelerinin ortalama değerleri elde edilebilir. Tablo 8 yardımıyla da her koşum için toplam boş kalma sürelerini bulabiliriz. Tablo 9’da bu iki bilgi bir araya getirilmiştir. Y.Doç.Dr Erhan Bozdağ 5/6 Tablo 9. Kontrol değişkeni varyans düşürme tekniği Ortalama Gelişler Koşum Arası Süre 1 11.4 2 6.5 3 5.5 4 10 5 21.2 Ortalama 10.9 Standart Sapma 6.24 Boş Zaman 200 149 220 161 278 201.6 51.46 Kontrol Değişkeni 196.94 175.97 253.1 166.52 214.86 201.48 34.41 Kontrol değişkenin hesaplanmasında ortalama gelişler arası süre ile boş zamanlar arasındaki kovaryansın hesaplanması gerekecektir. Aşağıda bu hesaplama yapılmıştır: ˆ Cov ( x, c ) = a* = (11.4 − 10.9)( 200 − 201.6) + (6.5 − 10.9)(149 − 201.6) + ... + ( 21.2 − 10.9)( 278 − 201.6) 5 −1 = 238.69 ˆ Cov( x, c) 238.69 = = 6.13 38.92 s 2 (c ) Hesapladığımız a * değeri ile kontrol değişkeninin her bir koşum için alacağı değerleri aşağıdaki gibi buluruz: xci = xi − a * (ci − 10.9) xc1 = x1 − 6.13(11.4 − 10.9) = 196.94 Son olarak hesaplamış olduğumuz ve Tablo 9’da verilen kontrol değişkeni değerleri için güven aralığını bulmalıyız: xc = 201.48 s ( xc ) = 34.41 s ( xc ) = t 4,0.975 34.41 5 = 2.776 = 15.4 h = t 4, 0.975 s ( xc ) = (2.776)(15.4) = 42.75 [ [ Güven aralığı 201.48 − 42.75,201.48 + 42.75 = 158.73,244.23 olarak hesap edilir. Y.Doç.Dr Erhan Bozdağ 6/6 ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/10/2009 for the course SIMULATION 20091 taught by Professor Erhanbozdag during the Spring '09 term at Istanbul Technical University.

Ask a homework question - tutors are online