Yanit_2004_Yariyil_Ici - İTÜ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: İTÜ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SİSTEM SİMÜLASYONU YARIYIL İÇİ SINAV SORU YANITLARI 16/03/2004 Soru 1. Soruda verilen bilgilerden elle simülasyon tablosunda kullanacağımız ters dönüşüm denklemlerini elde etmemiz gerekmektedir. Gelişler arası sürenin dışındaki girdi değişkenlerin uydukları teorik ve ampirik dağılımlar soruda verilmiştir. İlk önce gelişler arası sürenin dağılımı ile ilgili test yapmamız gerekmektedir. 8 gözlem değeri verilen dağılımın f ( x ) = 1 3 x , 1 ≤ x ≤ e olasılık fonksiyonuna uyabileceği düşünülmektedir. Verilerin istatistiksel olarak bu dağılıma uyup uymadıklarını kontrol etmek amacıyla sezgisel test olarak Q-Q grafiğini çizebiliriz. Q-Q grafiklerinde gözlem değerleriyle, eğer veriler yukarıda verilen olasılık dağılımından geliyorsa olması gereken değerler karşılaştırılmaktadır. Teorik dağılımın değerlerinin bulunabilmesi için dağılım fonksiyonundan yararlanılacaktır. Bu amaçla olasılık fonksiyonundan dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekilde elde edilir. 3 x x 1 1 1 ln x F ( x) = ∫ dt = ln t = (ln x − ln 1) = 3t 3 3 3 1 1 Gözlenen değerlerin birikimli olasılığı ile teorik dağılımın birikimlin olasılığını eşitleyerek x değerini çekmemiz gerekecektir. Aşağıda bu işlem yapılmıştır. ln x = 3F ( x) ve x = e 3 F ( x ) Gözlenen tüm değerlerin gözlenen olasılığı 1 8 ’dir. Küçükten büyüğe dizilmiş verilerin birikimli olasılıkları i n ( i gözlem numarası, n gözlem sayısı) formülüyle bulunabilir. Fakat sonuncu değerin gözlenen birikimli olasılığınının 1 çıkmaması için olasılık formülü üzerinde bir düzeltmeye gerek vardır. Bu nedenle (i − 0.5) n formülü kullanılmalıdır. Bu formülden elde edilen gözlenen birikimli olasılıkları yukarıdaki teorik dağılım fonksiyonunda yerine koyarak teorik dağılıma uyan x değerlerini bulabiliriz. Tablo 1’de bu işlemin sonuçları ve Şekil 1’de Q-Q grafiği verilmiştir. Tablo 1. Q-Q Değerleri Gözlem Gözlenen Olasılık No Değeri Teorik Değer 1.2 0.0625 2 1.8 0.1875 1.76 3 2.4 0.3125 2.55 4 3.6 0.4375 3.72 5 5.4 0.5625 5.41 6 7.9 0.6875 7.87 7 11.3 0.8125 11.44 18 1.21 8 16.5 0.9375 16 14 Teorik değer 1 12 10 8 6 4 2 0 0 5 10 15 Gözlem değerleri 16.65 Şekil 1. Q-Q Grafiği Uygunluk testi olarak Ki-Kare seçilirse sınıf sayısı 1 olacağı için serbestlik derecesi 0’a düşecektir. Bu nedenle veri sayısının azlığı göz önüne alınarak Kolmogorov-Smirnov testi seçilmiştir. Kolmogorov-Smirnov 1/5 testinde gözlenen birikimli olasılıkların alt sınırı ve üst sınırı sırasıyla (i − 1) n ve i n formüllerinden bulunabilir. İlgili hipotezler aşağıda, testin sonuçları ise Tablo 2’de verilmiştir. H 0 : Veriler olasılık fonksiyonu f ( x) = 1 3 x 1 ≤ x ≤ e 3 olan dağılımdan gelmektedir. H 1 : Veriler söz konusu dağılımdan gelmemektedir. Tablo 2. Kolmogorov-Smirnov Testi Gözlenen Olasılık No 1 2 3 4 5 6 7 8 Gözlem Değeri 1.2 1.8 2.4 3.6 5.4 7.9 11.3 16.5 Alt Sınır Üst Sınır 0.000 0.125 0.125 0.250 0.250 0.375 0.375 0.500 0.500 0.625 0.625 0.750 0.750 0.875 0.875 1.000 Fark Teorik Olasılık 0.061 0.196 0.292 0.427 0.562 0.689 0.808 0.934 Alt Sınır 0.061 0.071 0.042 0.052 0.062 0.064 0.058 0.059 Üst Sınır 0.064 0.054 0.083 0.073 0.063 0.061 0.067 0.066 En Büyük En Büyük 0.064 0.071 0.083 0.073 0.063 0.064 0.067 0.066 0.083 Kritik Kolmogorov-Smirnov değeri tablodan 0.457 (serbestlik derecesi 8 ve α =0.05) olarak bulunur. 0.083<0.457 olduğuna göre H 0 hipotezini rededecek yeterli veri olmadığı sonucuna varabiliriz. Bu durumda verilere uygun rastsal değerleri elde edebilmek için ters dönüşüm denklemini bulmamız gerekmektedir. Q-Q grafiğinde dağılıma uyan x değerlerini bulmak için kullandığımız denklemde F ( x) yerine RS yazılırsa ters dönüşüm denklemi elde edilmiş olur: x = e Tablo 3’te verilmiştir. 3 RS . Elle simülasyonda kullanılacak ters dönüşüm denklemleri Tablo 3. Ters dönüşüm denklemleri Kullanım Amacı Dağılım Ters Dönüşüm Denklemi A parçası Makine I işlem süresi 5-8 dakika arası düzgün dağılım x = 5 + 3RS A parçası Makine II işlem süresi Ortalaması 5 dakika, standart sapması 2 dakika olan normal dağılım x = 5 + 2 RNS A parçası Makine III işlem süresi 2-4-6 dakika arası üçgen dağılım x = 2 + 8RS RS ≤ 0.5 x= x = 6 − 8(1 − RS ) RS ≤ 0.5 B parçası Makine II işlem süresi Ortalaması 4 dakika, standart sapması 1 dakika olan normal dağılım x = 4 + RNS B parçası Makine III işlem süresi 2-4 dakika arası düzgün dağılım x = 2 + 2 RS Gelişler arası süre Parça Tipi f ( x) = 1 3 x 1 ≤ x ≤ e 3 Ampirik dağılım %40 (80/(120+80)) olasılıkla A parçası %60 (120/(120+80)) olasılıkla B parçası 2/5 x = e 3 RS A 0.000 ≤ RS ≤ 0.399 x= B 0.400 ≤ RS ≤ 0.999 Makine ve işçilerin çalışma zamanlarını belirlemeden önce parçaların gelişlerini yaratalım. Tablo 4’te 6 parçaya ilişkin geliş zamanları ve parça tipleri verilmektedir. Tablo 4. Parça gelişleri ve tipleri Parça No 1 2 3 4 5 6 Gelişler Arası Süre 3.01 3.48 11.29 6.56 2.04 2.85 RS 0.367 0.416 0.808 0.627 0.238 0.349 Geliş Zamanı 3.01 6.49 17.78 24.34 26.38 29.23 RS 0.572 0.456 0.532 0.361 0.644 0.021 Tipi B B B A B A Tablo 5 ve Tablo 6’da, gelen parçalar üzerinde işçilerin ve makinelerin yaptığı işlemlerin gösterildiği tablolar verilmektedir. Tablo 5. İşçilerin İşlemleri İşçi I İşlenen Parça No Parça Tipi 1 B 2 B 3 B 4 A 4 A 5 B 6 A 6 A Toplam Bekleme 3.2710 8.8811 12.15 Başlama 3.01 7.01 17.78 24.34 34.89 31.62 38.11 43.77 İşçi II Bitiş 7.01 10.18 19.95 31.62 38.11 34.89 43.77 46.19 Başlama 7.01 10.36 19.95 38.11 Bitiş 10.36 13.85 23.17 42.65 34.89 46.19 37.33 48.80 Tablo 6. Makinelerin işlemleri Makine I Parça No Başlama RS Süre Makine II Bitiş Başlama RNS Süre Bitiş Başlama 0.00 4.00 7.01 7.01 -0.83 3.17 10.18 10.36 17.78 -1.83 2.17 19.95 19.95 34.89 -0.89 3.22 38.11 38.11 -0.73 3.27 34.89 34.89 -1.29 2.42 46.19 46.19 1 3.01 2 7.01 3 4 24.34 5 0.761 7.28 31.62 1 3 31.62 5 6 38.11 Makine III 0.219 5.66 43.77 7 6 43.77 2 4 9 8 RS Süre Bitiş 0.673 3.35 10.36 0.746 3.49 13.85 0.611 3.22 23.17 0.734 4.54 42.65 0.222 2.44 37.33 0.047 2.61 48.80 Açıklamalar: 1 2 3 4 5 İlk parça 3.01 anında geliyor. Parça tipi B olduğundan ilk işlemi Makine I’de İşçi I tarafından yapılacak. İlk parçanın Makine II’deki işlemi 7.01’de bitiyor. Makine III’deki işlemi İşçi II tarafından hemen başlatılıyor. B tipi olan ikinci parça 6.49 anında geldiğinde Makine II dolu olduğundan beklemek zorunda kalıyor. Makine II’nin bir önceki işlemi 7.01 anında bittiğinde ikinci parçanın işlenmesi başlıyor. İkinci parçanın Makine II’deki işlemi 10.18 anında bittiğinde Makine III’te işleme alınması gerekir. Fakat Makine III 10.36 anına kadar ilk parçayı işlediğinden beklemek zorunda. 24.34 anında A tipi olan dördüncü parça gelmiş. A tipi parçaların ilk işlemi Makine I’de İşçi I tarafından yapılıyor. 24.34 anında Makine I boş. Aynı zamanda İşçi I de üçüncü parçanın işlemini 19.95’te bitirmiş boş olarak bekliyor. Bu nedenle İşçi I 24.34 anında dördüncü parçayı Makine I’de işlemeye başlar. 3/5 6 7 8 9 10 11 Dördüncü parça 24.34 ile 31.62 arasında işlenirken 26.38’te B tipi olan beşinci parça geliyor. Soruda B parçalarının öncelikli olduğu belirtilmiş. Bu nedenle İşçi I dördüncü parçayı işlemeyi bitirince beşinci parçayı Makine II’de işlemeye başlıyor. B tipi olan beşinci parçanın Makine II’de işlenmesi 34.89 anında bittiğinde, gelmiş olan yeni B tipi parça yok. 29.23’te altıncı parça A tipi olarak gelmiş. A tipi parçanın önceliği olmadığından işçi dördüncü parçayı Makine II’de işlemeye başlar. Beşinci parçanın Makine II’de işlemi 34.89’da bittiğinde Makine III ve İşçi II boş. Hemen parçanın işlenmesi başlayabilir. Dördüncü parçanın Makine II’deki işlemi 38.11’de bitiyor. A tipi parçaların üçüncü ve son işlemi Makine III’te yapılıyor. Makine III ve İşçi II 38.11’de boş olduklarından dördüncü parçayı işlemeye başlıyorlar. Dördüncü parça ilk işlemini Makine I’de 31.62’de tamamladıktan sonra Makine II’deki beşinci parçanın işlemini bitmesini 34.89’a kadar bekliyor. Bu durumda A parçası 34.89 – 31.62 = 3.27 dakika beklemiş bulunuyor. Altıncı ve son parça 29.23’te gelmiş. Fakat Makine I’de işleme başlamak için İşçi I’in dördüncü parça üzerinde Makine II’deki işlemini 38.11’de bitirmesini beklemesi gerekir. Bu durumda A tipi olan son parça 38.11 – 29.23 = 8.88. Soru 2. Soruda girdi değişkenlerle ilgili verilen bilgilerden Tablo 7’deki ters dönüşüm denklemleri elde edilir. Tablo 7. Ters dönüşüm denklemleri Kullanım Amacı Dağılım Ters Dönüşüm Denklemi Müşteri gelişler arası süresi 6 saat ortalamalı üstel x = −6 ln( RS ) Müşteri tipi Ampirik: 1 .Tip: Turizm %60 2. Tip: Ulaşım %20 3. Tip: Tanıtım programları %20 1 0.000 ≤ x ≤ 0.599 x = 2 0.600 ≤ x ≤ 0.799 3 0.800 ≤ x ≤ 0.999 1. Tip müşteri servis süresi 5 saat ortalamalı, 2 saat standart sapmalı normal dağılım x = 5 + 2 RNS 2. Tip müşteri servis süresi 2 saat ile 3 saat arasında düzgün dağılım x = 2 + RS 3. Tip müşteri servis süresi 16 saat ortalamalı, 4 saat standart sapmalı normal dağılım x = 16 + 4 RNS Elle simülasyon Tablo 8’de verilmiştir. Simülasyon 5 müşteri için çalıştırıldığında 1 müşteri kaçırılmış, iki helikopter toplam 2.38 + 2.90 + 9.33 + 0.87 + 8.10 = 23.58 saat boş kalmıştır. Hesaplama yapılırken simülasyonun sonu 38.75 anı olarak kabul edildildi. Bu nedenle ikinci helikopter üçüncü müşteri tarafından 30.65 anında serbest bırakıldığında, 38.75 anına kadar 8.10 saat boş kalıyor. Tablo 8. Elle simülasyon tablosu 2.38 8.26 9.33 15.15 -1.01 0.51 1.33 1.90 4/5 2.98 6.02 21.32 23.60 Kaçtı3 Kullanılan Personel Sayısı 1 1 22 1 Boş Kalma Süresi 1 1 3 3 2 Bitiş Müşteri Tipi 0.200 0.461 0.971 0.837 0.778 Süre RS 2.38 8.26 9.33 15.15 22.50 RS/RNS Geliş Zamanı 2.38 5.88 1.07 5.82 7.35 Başlama Gelişler Arası Süre 0.673 0.375 0.836 0.379 0.294 Kulanılan Helikopter No RS Helikopter 5.36 14.28 30.65 38.75 2.38 2.901 9.33 0.87 2 2 1 1 Açıklamalar: 1 2 3 İkinci müşteri 8.26’da geldi. İlk müşteri servisinin bitişi 5.36 anındaydı. Bu nedenle 8.26 – 5.36 = 2.90 saat helikopter boş kaldı. Üçüncü müşteri talebi 9.33 anında geldi. Bir önceki müşterinin servisi 14.28 anında biteceği için birinci helikopter hala havada. Bu nedenle üçüncü müşteri ikinci helikopteri kullanıyor. İkinci helikopter 9.33 anına kadar boş kalıyor. Beşinci müşteri geldiğinde iki helikopter de havada. Bu nedenle müşteri kaçıyor. 5/5 ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/10/2009 for the course SIMULATION 20091 taught by Professor Erhanbozdag during the Spring '09 term at Istanbul Technical University.

Ask a homework question - tutors are online