Yanit_2004_Yariyil_Sonu - İTÜ ENDÜSTRİ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: İTÜ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SİSTEM SİMÜLASYONU YARIYIL SONU SINAV SORU YANITLARI 14/05/2004 Soru 1. a) Soruda verilen bilgilerden kullanılacak ters dönüşüm denklemlerini bulabiliriz: Kullanım Amacı Dağılım Ters Dönüşüm Denklemi x = 5 0.000 ≤ RS ≤ 0.249 x = 6 0.250 ≤ RS ≤ 0.499 Günlük Talep Sayısı 5-8 arası düzgün Taşıma Tipi (Fazla eşya, az eşya) Ampirik Taşıma Süresi 2 saat ortalamalı 0.8 saat standart sapmalı normal dağılımı x = 2 + 0.8 RNS Kamyonun yol alma süresi Varyand düşük olduğu için üçgen 0.8-1.0-1.2 saat arası 0.8 + 0.08 RS RS ≤ 0.5 x= 1.2 − 0.08(1 − RS ) RS > 0.5 x=7 x=8 Fazla Az 0.500 ≤ RS ≤ 0.749 0.750 ≤ RS ≤ 0.999 0.000 ≤ RS ≤ 0.599 0.600 ≤ RS ≤ 0.999 Soruda deney tasarımı tablosu da verilmiştir. Tabloya bakıldığında Kamyon Tipi, Ekip Sayısı ve Talep Tipi’nin karar vericinin belirlediği faktörler olduğu anlaşılmaktadır. Bu nedenle tam deney tasarımında 2 = 8 adet deney elemanı olmalıdır. Fakat tabloda yalnızca dört deney elemanı bulunmaktadır. Deney elemanı 3 k− p faktöriyel tasarım yapılmıştır. Deney tasarımında Kamyon Tipi ve Ekip sayısı düşürüldüğüne göre 2 Sayısı faktörleri kontrol edilmektedir. Talep Tipi faktörünün düzey değerlerinin bu iki faktörden hesaplanması gerekir. Aşağıdaki tabloda faktörler ve düzeyleri verilmiştir. Faktörler Kamyon Tipi Ekip Sayısı Talep Tipi Faktör Düzeyleri 1 (-) 2 (+) Eski Yeni 2 4 Düşük (5-8 arası düzgün dağılım) Yüksek (8-12 arası düzgün dağılım) 3−1 faktöriyel tasarımın Soruda verilen çözünürlük tablosuna bakıldığında üç faktörün bulunduğu durumda 2 yapılabildiğini görebiliriz. Üçüncü faktörün düzey değerleri ilk iki faktörün düzey değerlerinden elde edilebilir. Bu amaçla yukarıda her faktörün düzeyine atanan negatif ve pozitif işaretlerinin çarpımı alınmalıdır. Çözünürlük tablosunda bu işlem 3 = ±12 ile ifade edilmiştir. Örneğin aşağıdaki tasarım tablosunda birinci satırda Kamyon Tipi faktörünün düzeyi negatif ve Ekip Sayısı faktörünün düzeyi de negatif olduğundan dolayı Talep Tipi faktör düzeyi pozitif olmalıdır. Yukarıdaki tabloda Talep Tipi faktörü için pozitif değer Yüksek düzeyine karşılık gelmekteydi. Bu nedenle tasarımın ilk deney elemanında Talep Tipi faktörünün düzeyi 8-12 arası düzgün dağılım olacaktır. Benzer şekilde diğer deney elemanları için Talep Tipi faktörünün düzey işaretleri ve değerleri bulunabilir. Elle simülasyonunu yapacağımız deney elemanı ikinci satırda görülmektedir. Yapacağımız koşumda Kamyon Tipi Yeni, Ekip Sayısı 2 ve Talep Tipi ise Düşük (5-8 arası düzgün dağılım) alınmalıdır. 1/8 Koşumlar Kamyon Ekip Sayısı Talep Eski (-) 2 (-) Yeni (+) Yanıt 1 2 3 4 5 Yüksek (+) 50 44 40 46 54 2 (-) Düşük (-) 40 28 21.76 30 24 Eski (-) 4 (+) Düşük (-) 20 24 18 26 20 Yeni (+) 4 (+) Yüksek (+) 28 32 30 25 27 12.00 15.12 7.50 18.50 e12 değerleri 9.00 Elle simülasyona ilk adımı bir günde gelecek talep sayısının bulunmasıdır. 0.667 rastsal sayısı için taşıma talebi değeri 7 olarak bulunur. Yedi talebin bitiş süresi için aşağıdaki elle simülasyon tablosu hazırlanabilir. Yükleme Talep No 1 RS 0.277 Talep Tipi Fazla Ekip 1 Şirketten Eve Gidiş Başlama 0.50 0.50 2 0.312 Fazla 2 0.50 3 0.903 Az 2 4 0.399 Fazla 5 0.530 6 7 RNS 1.08 Süre 2.86 Bitiş 3.36 0.50 -0.70 1.44 1.94 5.91 5.91 1.76 3.41 9.32 1 6.30 6.30 1.45 3.16 9.46 Fazla 2 11.38 11.38 -0.82 1.34 12.72 0.229 Fazla 1 12.34 12.34 -0.36 1.71 14.05 0.960 Az 2 17.11 17.11 0.01 2.01 19.12 Evden Eve Gidiş Talep No Başlama 1 3.36 Boşaltma RS 0.652 Süre 1.03 Bitiş 4.39 Başlama 4.39 RNS -1.36 Süre 0.91 Bitiş 5.30 Evden Şirkete Dönüş 5.80 2 1.94 0.608 1.02 2.96 2.96 -0.06 1.95 4.91 5.41 3 9.32 0.358 0.97 10.29 10.29 -2.39 0.09 10.38 10.88 4 9.46 0.497 1.00 10.46 10.46 -1.40 0.88 11.34 11.84 5 12.72 0.651 1.03 13.75 13.75 0.45 2.36 16.11 16.61 6 14.05 0.978 1.16 15.21 15.21 0.38 2.30 17.51 18.01 7 19.12 0.919 1.12 20.24 20.24 -1.22 1.02 21.26 21.76 b) Kamyon ve Ekip Sayısı faktörlerinin birlikte etki değerlerini ( e12 ) işaretlerini çarparak bulunan aşağıdaki eşitlikten elde edebiliriz. e12 = R1 − R2 − R3 + R4 R1 − R2 − R3 + R4 = 2 2 3−1−1 Her koşum için dört deney elemanından söz konusu değerler bulunmuş ve aşağıdaki tabloda verilmiştir. 2/8 Koşum e12 1 9.00 2 12.00 3 15.12 4 7.50 5 18.50 Ortalama 12.42 Std.Sapma 4.48 Güven aralığı, e12 = 9 + 12 + 15.12 + 7.5 + 18.5 = 12.42 5 (9 − 12.42) 2 + ... + (18.5 + 12.42) 2 s (e12 ) = = 4.48 5 −1 s (e12 ) 4.48 s (e12 ) = = =2 n 5 t 4,0.975 = 2.776 h = t 4, 0.975 s (e12 ) = (2.776)(2) = 5.552 Kamyon Sayısının birlikte 12.42 − 5.552,12.42 + 5.552 = 6.868,17.972 olarak bulunur. [ tipi ve Ekip [ etkisi için güven aralığı c) Çözünürlülük 3 olduğuna göre iki faktörün birlikte etki değerleri ile ana etkiler (tek faktörün etkisi) aynı olacaktır (2 + 1 = 3 olduğundan). Bu nedenle e3 değeri e12 ile aynıdır. Soru 2. Soruda verilen bilgilerden, kullanılacak ters dönüşüm denklemlerini bulabiliriz: Kullanım Amacı Dağılım Ters Dönüşüm Denklemi Müşterilerin mağazaya gelişler arası süresi Ortalaması 4 dakika; varyansı büyük olduğuna ve gelişler arası süre için kullanılacağına göre üstel dağılım alınabilir. x = −4 ln( RS ) Alışveriş süresi 10-20 dakika arası düzgün dağılım x = 10 + 10 RS Kasada işlem süresi Ortalaması 4 dakika, standart sapması 1 dakika normal dağılım x = 4 + RNS Soruda karar vericinin varolan sistemle önerilen yeni sistemi karşılaştırmak istediği belirtilmektedir. Simülasyonun sonuçların analizi kısmında anlatılan iki sistemin karşılaştırılması yöntemini kullanmamız gerekir. Bu yöntemde iki sistemin koşumları arasındaki fark değerleri için güven aralığı bulunarak, güven aralığının sıfır değerini içerip içermediğine bakılıyordu. Aynı zamanda soruda fark için güven aralığını düşük varyanslı bulmamız istenmektedir. Bu durumda varyans düşürme tekniği uygulamalıyız. İki sistemin karşılaştırılması için geliştirilmiş varyans düşürme tekniği eş rastsal sayılardır. 3/8 Her koşumun uzunluğunun 6 müşteri olduğu belirtilmiş fakat kaç koşum yapılacağı açıkça söylenmemiş. Sorunun not kısmında verilen Student t dağılımı değeri t n −1,1−α 2 = t 2, 0.975 olduğuna göre n − 1 = 2 ’den n = 3 bulunur. Güven aralığını hesaplayacağımız örneğin hacmi 3 olmalıdır. Elle simülasyonu her sistem için üç kez koşturarak toplam bekleme sürelerini bulmalıyız. Aşağıda ilk sistem için elle simülasyon tablosu verilmiştir: GAS Geliş Zamanı Satış Elamanı Başlama RS Süre Bitiş Bekleme Başlama RNS Süre Bitiş Bekleme Kasa RS Alışveriş 0.667 1.6 1.6 1 1.60 0.141 11.41 13.01 0.00 13.01 0.33 4.33 17.34 0.00 0.751 1.1 2.7 2 2.70 0.335 13.35 16.05 0.00 17.34 0.23 4.23 21.57 1.291 0.043 12.6 15.3 3 15.30 0.148 11.48 26.78 0.00 26.78 0.33 4.33 31.11 0.00 2 33.31 -1.25 2.75 36.06 0.00 0.899 0.4 15.7 1 17.34 0.597 15.97 33.31 1.64 0.909 0.4 16.1 2 21.57 0.796 17.96 39.53 5.47 39.53 0.41 4.41 43.94 0.00 0.286 5.0 21.1 3 31.11 0.409 14.09 45.20 10.01 45.20 0.74 4.74 49.94 0.00 17.12 1.29 RS Süre Bitiş Bekleme Başlama 1 11.50 0.806 18.06 29.56 0.00 29.56 Bekleme Başlama 11.5 Bitiş Satış Elamanı 11.5 Süre Geliş Zamanı 0.056 RNS GAS Kasa RS Alışveriş -0.09 3.91 33.47 0.00 3 0.64 4.64 28.70 0.00 -0.41 3.59 37.06 3.04 0.605 2.0 13.5 2 13.50 0.056 10.56 24.06 0.00 24.06 0.701 1.4 14.9 3 14.90 0.553 15.53 30.43 0.00 33.47 4 0.734 1.2 16.1 2 28.70 0.214 12.14 40.84 12.60 40.84 1.24 5.24 46.08 0.00 0.086 9.8 25.9 1 33.47 0.597 15.97 49.44 7.57 49.44 -0.52 3.48 52.92 0.00 0.441 3.3 29.2 3 37.06 0.982 19.82 56.88 7.86 56.88 -0.44 3.56 60.44 0.00 28.03 3.04 GAS Geliş Zamanı Satış Elamanı Başlama RS Süre Bitiş Bekleme Başlama RNS Süre Bitiş Bekleme Kasa RS Alışveriş 0.434 3.3 3.3 1 3.30 0.583 15.83 19.13 0.00 20.74 -0.21 3.79 24.53 1.61 0.922 0.3 3.6 2 3.60 0.245 12.45 16.05 0.00 16.05 0.69 4.69 20.74 0.00 0.012 17.7 21.3 2 21.30 0.837 18.37 39.67 0.00 39.67 -1.25 2.75 42.42 0.00 0.313 4.6 25.9 1 25.90 0.692 16.92 42.82 0.00 42.82 -0.27 3.73 46.55 0.00 0.094 9.5 35.4 3 35.40 0.665 16.65 52.05 0.00 52.05 -0.48 3.52 55.57 0.00 0.333 4.4 39.8 2 42.42 0.862 18.62 61.04 2.62 61.04 0.6 4.6 65.64 0.00 2.62 4/8 1.61 Açıklamalar: 1 İkinci müşteri 16.05’te alışverişini tamamlayıp ikinci satış elemanı ile kasaya geliyor. Fakat kasada birinci satış elemanı müşterisinin işlemini yapıyor. Bu nedenle ikinci müşteri 17.34’te kasa boşalıncaya kadar 1.29 dakika bekliyor. 2 Dördüncü müşteri 15.7 anında geldiğinde her üç satış elemanı da dolu. İlk serbest kalan satış elemanı dördüncü müşterinin yanına gidecektir. Birinci satış elemanı 17.34’te, ikinci satış elemanı 21.57’de ve üçüncü satış elemanı 31.11’de serbest kalmaktadır. Dördüncü müşteriye birinci satış elemanı yardımcı olur ve müşteri 1.64 dakika bekler. 3 İlk üç müşterinin alışveriş tamamlama zamanları sırasıyla 29.56, 24.06 ve 30.43’tür. Bu nedenle alışverişi önce biten müşteri ikinci müşteridir. Kasa boş olduğuna göre müşteri hemen kasada işlem görmeye başlar. Daha sonra 29.56’da alışverişi biten birinci müşteri kasada işlem görür. 4 İkinci müşterinin kasada işlemi 28.70’te bitmektedir. Bu durumda ikinci satış elemanı 28.70’te serbest kalmaktadır. 16.1’de gelen dördüncü müşteriye ikinci satış elemanı yardımcı olur ve alışveriş 28.70’de başlar. Dördüncü müşteri ikinci satış elemanını 12.6 dakika beklemiştir. İkinci sistemin elle simülasyonunu yaparken eş rastsal sayılar tekniğini uygulamalıyız. Eşliği sağlayabilmek amacıyla yalnızca gelişler arası süre için rastsal sayılar eş tutulmuştur. Yeni sistemde birinci satış elemanı yalnızca kasaya bakmaktadır. İkinci ve üçüncü satış elemanları ise gelen müşterilerin alışverişleri sırasında yanlarında durmaktadır. Bu iki satış elemanının görevleri müşterinin alışverişi tamamlama zamanında sona ermektedir. Kasadaki işlem birinci satış elemanı tarafından yapılır. RS Süre Bitiş Bekleme Başlama 2 1.60 0.904 19.04 20.64 0.00 20.64 Bekleme Başlama 1.6 Bitiş Satış Elamanı 1.6 Süre Geliş Zamanı 0.6671 RNS GAS Kasa RS Alışveriş 0.99 4.99 25.63 0.00 2 0.04 4.04 17.00 0.00 0.751 1.1 2.7 3 2.70 0.026 10.26 12.96 0.00 12.96 0.043 12.6 15.3 3 15.30 0.363 13.63 28.93 0.00 28.93 -0.47 3.53 32.46 0.00 0.899 0.4 15.7 2 20.64 0.22 12.2 32.84 4.94 32.84 -1.02 2.98 35.82 0.00 0.909 0.4 16.1 3 28.93 0.798 17.98 46.91 12.83 47.98 -0.35 3.65 51.63 1.07 0.286 5.0 21.1 2 32.84 0.192 11.92 44.76 11.74 44.76 -0.78 3.22 47.98 0.00 29.51 1.07 Bekleme Süre Bitiş RS Süre Başlama RNS Satış Elamanı Başlama Geliş Zamanı Bekleme GAS 0.056 11.5 11.5 2 11.50 0.396 13.96 0.605 2.0 13.5 3 13.50 0.916 19.16 0.701 1.4 14.9 2 25.46 0.05 10.5 0.734 1.2 16.1 3 32.66 0.711 0.086 9.8 25.9 2 35.96 0.441 3.3 29.2 3 49.77 Kasa Bitiş RS Alışveriş 25.46 0.00 25.46 0.18 4.18 29.64 0.00 32.66 0.00 32.66 -0.36 3.64 36.30 0.00 35.96 10.56 36.30 -0.2 3.8 40.10 0.34 17.11 49.77 16.56 49.77 0.93 4.93 54.70 0.00 0.42 14.2 50.16 10.06 54.70 -0.08 3.92 58.62 4.54 0.814 18.14 67.91 20.57 67.91 0.43 4.43 72.34 0.00 57.75 5/8 4.88 GAS Geliş Zamanı Satış Elamanı Başlama RS Süre Bitiş Bekleme Başlama RNS Süre Bitiş Bekleme Kasa RS Alışveriş 0.434 3.3 3.3 2 3.30 0.128 11.28 14.58 0.00 14.58 -0.46 3.54 18.12 0.00 0.922 0.3 3.6 3 3.60 0.959 19.59 23.19 0.00 23.19 0.02 4.02 27.21 0.00 0.012 17.7 21.3 2 21.30 0.438 14.38 35.68 0.00 35.68 0.13 4.13 39.81 0.00 0.313 4.6 25.9 3 25.90 0.812 18.12 44.02 0.00 44.02 -1.01 2.99 47.01 0.00 0.094 9.5 35.4 2 35.68 0.945 19.45 55.13 0.28 59.95 0.51 4.51 64.46 4.82 0.333 4.4 39.8 3 44.02 0.003 10.03 54.05 4.22 54.05 1.9 5.9 59.95 0.00 4.5 4.82 Açıklamalar: 1 Eş rastsal sayılar kullanıldığı için gelişler arası süre için kullanılan rastsal sayılar varolan sistemin koşumlarında kullanılanlarla aynı. 2 Birinci müşterinin ikinci satış elemanıyla alışveriş tamamlama zamanı 20.64, ikinci müşterinin üçüncü satış elemanı ile alışveriş tamamlama zamanı 12.96’dır. 12.96 anında ikinci kasada birinci satış elemanı tarafından işleme alınıyor. Bu nedenle üçüncü satış elemanı serbest kalıyor ve 15.3’te gelen üçüncü müşteriye yardıma koşuyor. Eş rastsal sayılarla yapılan iki elle simülasyon tablosundan elde edilen sonuçlar aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. Alışveriş Kasa Toplam Alışveriş Kasa Toplam Fark Önerilen Sistem Bekleme Süresi Koşum İlk Sistem Bekleme Süresi 1 17.12 1.29 18.41 29.51 1.07 30.58 -12.17 2 28.03 3.04 31.07 57.75 4.88 62.63 -31.56 3 2.62 1.61 4.23 4.50 4.82 s (d ) = 13.70 s (d ) = 13.70 3 = 7.91 n=3 α = 0.05 t n −1,1− α = t 2,0.975 = 4.303 2 h = t n −1,1− α s (d ) = t 2,0.975 s (d ) = (4.303)(7.91) = 34.04 2 6/8 -5.09 -16.27 Standart Sapma d = −16.27 9.32 Ortalama 13.70 [ İki sistemin toplam bekleme süreleri arasındaki fark için güven aralığı − 16.27 − 34.04,−16.27 + 34.04 , [ − 50.31,17.77 olarak bulunur. Güven aralığı içinde sıfır değeri olduğu için iki sistem arasında fark olup olmadığını söyleyemeyiz. Veri sayısını (koşum sayısını) artırarak daha dar bir güven aralığı elde edilebilir. Soru 3. a) Soruda verilen imalat sistemi tanımından sonlanmayan bir sistemin incelenmekte olduğu anlaşılmaktadır (haftanın her günü 24 saat çalışıyor). Bu nedenle sonlanmayan sistemlerde sonuçların analizi tekniklerine başvurmak gerekecektir. Yine soruda 1200 parça koşum uzunluğunda tek koşum yapıldığı söylenmektedir. Hareketli ortalama grafiği kullanarak, başlangıç koşullarına yanlılığı düşürmek için koşumun geçiş dönemi olan ilk 200 parça atılmış ve 1000 elemanlı bir koşum kalmıştır. Bu 1000 eleman ardışık 50 elemanlı grupların ortalaması halinde verilmektedir. Kovaryansın hesaba katıldığı yöntemi uygulayabilmek için verilerin kendisine ihtiyaç vardır. Bu nedenle kovaryans yöntemini kullanamayız. Kullanılabilecek diğer bir yöntem kümeleme (Batch) yöntemidir. Bu yöntemde koşum birbirine ardışık eş uzunlukta kümelere ayrılır. Korelasyonu yeterince düşürebilmek için bir kümenin uzunluğu oto korelasyonun sönümlendiği aralık (lag) değerinin en az 10 katı olarak alınmalıdır. Bu durumda korelasyonun sönümlendiği değeri bulmamız gerekmektedir. Soruda verilen oto korelasyon grafiği incelenirse korelasyonun 10 aralık değeri için birden düştüğü (0.1’in altına) ve bu düşüşten sonra yaklaşık –0.1 ile 0.1 arasında kaldığı görülür. Bu durumda korelasyonun sönümlendiği değer olarak 10 alınmalıdır. Küme uzunluğu 10x10=100 olarak bulunur. 1 Korelasyon 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 12 345 67 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k (lag) Soruda 1000 parçalık koşum, ardışık 50’şerlik kümelerin ortalaması olarak sunulmuştu. Fakat ihtiyacımız olan küme uzunluğu 100’dür. Bu nedenle 100’lük kümelerin ortalamalarını bulabilmek için ardışık iki 50’lik kümenin ortalaması alınmalıdır. Örneğin ilk 50’lik kümenin ortalaması 14.8 ve ikinci 50’lik kümenin ortalaması 15.5 olduğuna göre ilk 100 parçanın bekleme sürelerinin ortalaması (14.8 + 15.5) / 2 = 15.15 olur. Diğer 100’lük kümeler de benzer şekilde hesaplanır. Aşağıda bu değerler verilmiştir. Küme No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 Elemanlı Küme Ortalaması 14.8 15.5 12.7 17.6 15.9 13.2 15.8 13.1 18.8 20.0 Küme No 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 50 Elemanlı Küme Ortalaması 18.0 12.3 14.1 18.7 16.9 15.8 18.0 17.8 15.1 15.9 7/8 Küme No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ortalama Std.Sapma 100 Elemanlı Küme Ortalaması 15.15 15.15 14.55 14.45 19.40 15.15 16.40 16.35 17.90 15.50 16.00 1.58 Kümeleri yeterince büyük tuttuğumuz için kümeler arasındaki bağımlılık düşmüştür. Bu nedenle 100 elemanlı küme ortalamalarını birbirinden bağımsız koşum sonuçları gibi düşünerek sonlanan sistemlerde uygulanan güven aralığı yöntemini kullanabiliriz. x = 16.00 s ( x) = 1.58 1.58 s( x ) = = 0.5 10 n = 10 α = 0.05 t n −1,1− α = t 9,0.975 = 2.262 2 h = t n −1,1− α s ( x ) = t 9, 0.975 s ( x ) = (2.262)(0.5) = 1.131 2 Parçaların bekleme süreleri [14.869,17.131] olarak hesaplanır. için güven aralığı, [16.000 − 1.131,16.000 + 1.131] işleminden b) Yarı güven aralığını 1 dakikaya düşürmek için, 2 h 2 1.131 n * = n * = 10 * = [12.792] = 13 1 h kümemizin olması gerekmektedir. Her kümenin uzunluğu 100 olduğuna göre koşum uzunluğu 13x100=1300 parça olmalıdır. 8/8 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online