Yanit_2005_Yariyil_Sonu - İTÜ ENDÜSTRİ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: İTÜ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SİSTEM SİMÜLASYONU YARIYIL SONU SINAV YANITLARI 26/05/2005 Soru 1. a) Mevcut sisteme ilişkin beş koşum sonucu verilmiş ve güven aralığı istenmiştir. Aşağıda güven aralığı işlemleri verilmektedir. Koşum 1 2 3 4 5 Ortalama Std.Sapma Mevcut Sistem 14.0 11.3 15.7 16.3 13.1 14.080 2.015 x = 14.080 s ( x) = 2.015 s( x ) = t n −1,1−α 2 2.015 = 0.901 5 = t 4, 0.975 = 2.776 h = t 4, 0.975 s ( x ) = 2.776(0.901) = 2.5 Güven aralığı 11.58,16.58 olarak bulunur. b) Önerilen sistem için eksik olan koşumu yaparak başlayalım. Aşağıdaki tabloda elle simülasyonda kullanılacak ters dönüşüm denklemleri verilmektedir. Amaç Araç gelişler arası süresi Dağılım Ortalaması 9 dakika üstel dağılım Küçük Büyük Ortalaması 15 standart sapması 3 dakika normal 10-12-15 dakika üçgen dağılım Ters Dönüşüm Denklemi [ x = −9 ln( RS ) Araç büyüklüğü 0.000 ≤ RS ≤ 0.599 0.600 ≤ RS ≤ 0.999 Dolu olarak karşıya geçiş süresi Boş geri geliş süresi x = 15 + 3RNS RS ≤ 0.4 x = 10 + 10 RS RS ≥ 0.4 x = 15 − 15(1 − RS ) 1/6 Araçların limana geliş zamanları ve tipleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Gelişler Arası Süre 2.01 5.12 3.77 4.81 18.36 8.88 10.78 9.02 2.89 4.90 9.12 10.63 24.33 Araç No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 RS 0.800 0.566 0.658 0.586 0.130 0.373 0.302 0.367 0.725 0.580 0.363 0.307 0.067 Geliş Zamanı 2.01 7.13 10.90 15.71 34.07 42.95 53.73 62.75 65.64 70.54 79.66 90.29 114.62 RS 0.239 0.189 0.567 0.078 0.012 0.436 0.983 0.245 0.418 0.940 0.599 0.952 0.610 Araç Tipi K K K K K K B K K B K B B Yukarıdaki tablo kullanılarak vapurların gidiş ve gelişleri aşağıdaki gibi simüle edilebilir. Birinci Vapur Geliş Zamanı Yola Çıkma Zamanı Yüklemeye Başlama İndirme İşleminin Bitişi Yükleme Bitiş Bekleme Süreleri 14.70(1) 9.58 5.81 16.71 0.71 17.13 33.84 37.84(4) 0.227 11.51 49.35 1.00 17.81 71.54 -0.37 13.89 85.43 87.43 0.848 13.49 100.92 1.00 25.33 115.62 0.16 15.48 131.10 133.10 0.51 12.29 145.39 1.00 Bekleme Süreleri 32.57 23.69 3.89 66.64 -1.79 9.63 76.27 80.27 0.11 11.05 91.32 1.00 Araç No Taşıma Süresi Geriye Dönüş Süresi Geriye Dönüş Süresi Varış 1 2 3 4 7 10 12 13 2.01 7.13 10.90 15.71(2) 53.73(5) 70.54 90.29 114.62 10.00 11.00 12.00 15.71 53.73 70.54 91.32 114.62 11.00 12.00 13.00 16.71 54.73 71.54 92.32 115.62 İkinci Vapur Yola Çıkma Zamanı Yüklemeye Başlama İndirme İşleminin Bitişi Yükleme Bitiş Araç No Geliş Zamanı Taşıma Süresi Varış 5 6 8 9 34.07(3) 42.95 62.75 65.64 34.07 42.95 62.75 65.64 91.32 35.07 43.95 63.75 66.64 92.32 11 79.66(6) Açıklamalar: (1) İlk dört küçük araç ilk vapura binmiştir. Vapurun kalkış zamanı 16.71 olduğuna göre 2.01 anında gelen birinci araç 16.71 - 2.01 = 14.70 dakika beklemiştir. 2/6 Varış RNS RS Varış RNS RS (2) Dördüncü küçük araç 15.71’de geldiği için, bir önceki vapura biniş işlemi 13.00’te tamamlansa da vapur 15.71 anına kadar bekleyecektir. (3) İkinci vapur 20 anında gelmiştir. Fakat ilk gelen dört araç ilk vapura yönlenmiştir. Beşinci araç küçüktür ve ikinci vapura binecektir. Bu durumda yüklemeye başlama zamanı geliş zamanı olan 34.07’e eşit olur. (4) İlk vapur karşı yakaya 33.84 anında gelmiştir. Araçlar peşpeşe vapurdan ineceklerine ve vapurda da dört araç olduğuna göre iniş süresi 4 dakika sürecektir. İndirme işlemi 33.84 + 4.00 = 37.84’te tamamlanır. (5) İlk vapur 49.35’te geri dönmüştür. Geri geldiğinde sıradaki küçük araçlar ikinci vapuru seçtiği için 53.73 anında gelen büyük araç ilk vapura biner. (6) İkinci vapur 91.32 anında döndüğünde sıradaki 79.66 anında gelen küçük araç ikinci vapuru seçer. Elle simülasyonda 12 araç taşınmış ve her biri için bekleme süreleri bulunmuştur. Bu değerlerin ortalaması 11.45 olarak bulunur. Diğer koşum sonuçlarına eklenerek aşağıdaki tablo elde edilebilir. Koşum 1 2 3 4 5 Ortalama Varyans Mevcut Sistem 14.0 11.3 15.7 16.3 13.1 14.08 4.062 Önerilen Sistem 16.3 22.6 21.4 22.0 11.45 18.75 22.925 Koşumlar birbirinden bağımsız olarak yapıldığına göre iki örnekli t testi kullanarak grup ortalamaları arasında fark olup olmadığını test edebiliriz. Önerilen sistemle mevcut sistemin varyanslarını karşılaştıralım. Aşağıdaki hipotezler oluşturulur. σ1 = σ 2 H1: σ 1 ≠ σ 2 H0: İki grubun varyanslarının oranı aşağıdaki gibi bulunur. F= s12 22.925 = = 5.644 2 4.062 s2 Soruda verilen F tablosu varyans oranlarının 1’den büyük olduğu kısım için verilmiştir. Bu nedenle büyük varyansı küçük varyansa bölerek işlem yapılmıştır. Bulduğumuz değer F tablosundan bulunacak değerle karşılaştırılmalıdır. α = 0.20 için tablodan aşağıdaki değer bulunur. Fn1 −1,n2 −1 = F4, 4 = 4.107 5.644>4.107 olduğuna göre varyansların eşit olduğu boş hipotezi rededilir. Bu durumda varyansların farklı olduğu durum için iki örnekli t testi kullanılmalıdır. Hipotezleri aşağıdaki gibi oluşturabiliriz. H0: µ1 − µ 2 = 0 H1: µ1 − µ 2 ≠ 0 Varyansların eşit olmadığı durumda Smith-Satterthwaite prosedürünü kullanabiliriz. Serbestlik derecesi aşağıdaki gibi hesaplanır. Tamsayı olmayan sonuç aşağıya yuvarlanır. 3/6 γ= [s [s 2 1 2 1 2 n1 + s 2 n2 n1 s2 n +22 n1 − 1 n2 − 1 [ 2 2 2 = [22.925 5 + 4.062 5]2 [22.925 5]2 + [4.062 5]2 4 4 = 5.374 Serbestlik derecesi 5 olarak bulundu. Grup ortalamaları arasındaki farka ilişkin güven aralığı aşağıdaki gibi hesaplanabilir. x1 − x 2 = 18.75 − 14.08 = 4.67 2 s12 s 2 + = n1 n2 22.925 4.062 + = 2.323 5 5 α = 0.05 t γ ,1−α 2 = t 5,0.975 = 2.571 h = 2.571(2.323) = 5.97 Güven aralığı − 1.3,10.64 olarak bulunur. Güven aralığı içinde sıfır değeri olduğuna göre gruplar arasında fark olduğunu gösteren yeterli veri yoktur diyebiliriz. H0 hipotezi rededilmez. Önerilen sistemle mevcut sistem arasında bu beş koşum açısından fark yoktur. Soru 2. a) Simülasyonun sonucu beş koşum için verilmiştir. Bu değerleri kullanarak güven aralığı aşağıdaki şekilde bulunabilir. Koşum 1 2 3 4 5 Ortalama Standart Sapma Mevcut Sistem 3.2 4.1 7.6 4.7 6.4 5.200 1.779 [ x = 5.200 s ( x) = 1.779 s( x ) = 1.779 = 0.796 5 = t 4, 0.975 = 2.776 t n −1,1−α 2 h = t 4, 0.975 s ( x ) = 2.776(0.796) = 2.21 Güven aralığı 2.99,7.41 olarak bulunur. b) Uygun varyans düşürme tekniğini kullanmamız istenmektedir. Ek bilgi gerektiren yöntemlerden indirekt ölçümün kullanılabilmesi için bekleme süresini bir formülle ifade edilebilmesi gerekir. Bekleme süresi içsel değişken olduğundan ancak simülasyon sırasında hesaplanabilir. Formülünü yazmak olanaklı değildir. Bu nedenle kontrol değişkeni varyans düşürme tekniği kullanılmalıdır. [ 4/6 Kontrol değişkeni yönteminde, incelenen çıktı değişkenini en çok etkileyen yardımcı değişkenine başvurulur. Örneğimizde parçaların beklemesinin nedeni, işçinin 5 dakikada bir başka bir parçanın muayenesini yapmasıdır. Muayene süresinin büyük olması işçinin asıl işindeki parçaların beklemesine neden olacaktır. Bu nedenle muayene süresini yardımcı değişken olarak alarak kontrol değişkeni varyans düşürme tekniğinin uygulanması doğru olur. Varyans düşürme tekniğini uygulayabilmek için muayene sürelerinin ortalaması her koşum için bulunmalıdır. Fakat soruda süreler değil süreleri hesaplarken kullanılan rastsal normal sayılar verilmiştir. Bu değerler kullanılarak muayene süreleri ve her koşum için muayene sürelerinin ortalaması hesaplanmış ve aşağıdaki tabloda verilmiştir. Muayene sürelerini bulmak için 3 dakika ortalamalı 1 dakika standart sapmalı normal dağılımın ters dönüşüm denklemi kullanılmıştır. Koşum 1 RNS Süre Ortalama -0.86 2.14 2.097 -1.09 1.91 -0.76 2.24 Koşum 4 RNS Süre Ortalama -1.54 1.46 2.393 0.48 3.48 -0.76 2.24 Koşum 2 RNS Süre Ortalama -0.59 2.41 -0.29 2.71 2.838 0.42 3.42 -0.19 2.81 Koşum 5 RNS Süre Ortalama 0.23 3.23 2.937 -0.19 2.81 -0.23 2.77 Koşum 3 RNS Süre Ortalama 1.67 4.67 -1.21 1.79 2.698 -0.61 2.39 -1.06 1.94 Bu bilgileri kullanarak aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz. Muayene Süresi (C) 2.097 2.838 2.698 2.393 2.937 2.593 0.345 Bekleme Süresi (X) 3.2 4.1 7.6 4.7 6.4 5.2 1.779 Kontrol Değişkeni (Xc) 4.749 3.333 7.271 5.324 5.323 5.200 1.414 * Koşum 1 2 3 4 5 Ortalama Standart Sapma Kontrol değişkeninin değerlerini bulmamıza yardımcı olacak a katsayısını hesaplayalım. (2.097 − 2.593)(3.2 − 5.2) + ... + (2.937 − 2.593)(6.4 − 5.2) ) cov( x, c) = = 0.372 4 ) cov( x, c) 0.372 = = 3.126 a* = 0.119 s c2 Bu durumda kontrol değişkenin değerlerini aşağıdaki formülden elde edebiliriz: xci = xi − 3.126(ci − c ) Tabloda bu değerler son sütünda bulunmuştur. Kontrol değişkenin ortalaması ilgilendiğimiz bekleme süresinin ortalamasına eşittir ve standart sapması da daha küçüktür. Kontrol değişkeninin yığın parametresi için kuracağımız güven aralığı, bekleme süresi yığınının parametresi için de güven aralığını verecektir. Aşağıda güven aralığı bulunmuştur. 5/6 xc = 5.200 s ( x) = 1.414 1.414 s( x ) = = 0.632 5 t n −1,1−α 2 = t 4, 0.971 = 2.776 h = t 4, 0.975 s ( x ) = 2.776(0.632) = 1.754 Güven aralığı 3.446,6.954 olarak bulunur. Yarı güven aralığı %21 düşmüştür (1 - 1.754 / 2.21). Soru 3. Soruda sonlanmayan sistem verilmiştir. Çıktı ve hareketli ortalama grafiklerine baktığımızda 25 gün civarında geçiş dönemi olduğu görülmektedir. Bu noktadan sonra sistem uzun dönemli davranışına yaklaşmaktadır. Veriler onarlık kümeler halinde verildiği için geçiş dönemini ilk 20 gün ya da ilk 30 gün olarak alabiliriz. İlk 30 günü geçiş dönemi almış olalım. Kümeleri oluştururken ilk 30 günü atmalıyız. Oto korelasyon grafiğine bakıldığında ise 10 aralık (lag) için korelasyonun yeterince sönümlendiği görülmektedir. Bu durumda kümelerimiz en az 10*10 = 100 günlük verilerden oluşmalıdır. 31-40 grubundan başlayarak 100’lük 5 küme oluşturabiliriz. Verilerin 531-600 kısmında küme büyüklüğü kadar veri bulunmadığı için bu veriler kullanılmayacaktır. İlk kümemiz 31-130 verilerinden oluşmaktadır. Karar verici bekleyen müşteri sayısının en büyük değerini istediğine göre bu aralıkta en büyük değer olan 17’i alınır. İkinci grup 131-230 verileridir ve bu aralıkta en büyük değer 17’dir. Benzer şekilde diğer kümeler de bulunarak aşağıdaki tablo oluşturulabilir. Bekleyen müşteri sayısının en büyük değeri 17 17 18 19 18 17.8 0.837 [ Küme 1 2 3 4 5 Ortalama Standart Sapma x = 17.8 s ( x) = 0.837 0.837 s( x ) = = 0.374 5 t n −1,1−α 2 = t 4, 0.975 = 2.776 h = t 4, 0.975 s ( x ) = 2.776(0.374) = 1.038 Güven aralığı 16.762,18.838 olarak bulunur. [ 6/6 ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/10/2009 for the course SIMULATION 20091 taught by Professor Erhanbozdag during the Spring '09 term at Istanbul Technical University.

Ask a homework question - tutors are online