Sunum3 - Olasılık Teorisi Olasılık Dağılımları...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Olasılık Teorisi Olasılık Dağılımları Olasılık nedir? Olasılık: 0.12 1.20 0.10 1.00 0.08 0.80 0.06 0.60 0.04 P( x ∈ B) = ∫ f ( x)dx p ( xi ) = P( X = xi ) 0.40 0.02 0.20 0.00 0.00 5.00 10.00 15.00 0.00 0.00 20.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 B 1 f ( x) = b−a x F ( x ) = ∑ p ( xi ) Üstel Düzgün Birikimli olasılık: F ( x) = xi ≤ x ∫ f ( y )dy f ( x) = a≤ x≤b a+b 2 (b − a ) 2 12 Ortalama: −∞ Varyans: 1 e −x β β Ortalama: β 2 Varyans: β x≥0 1 Olasılık Dağılımları Olasılık Dağılımları β =1 α =1 2 1.40 1.20 1.20 α =1 1.00 0.60 α =3 0.60 0.40 0.20 0.20 0.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Gamma f ( x) = µ = 0 σ 2 =1 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -3.00 α =2 0.80 α =3 0.40 α =1 1.00 α =2 0.80 β =1 α =1 2 1.40 β −α xα −1e − x β Γ(α ) 0.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 α f ( x) = αβ −α xα −1e − ( x β ) ∞ Γ(z ) = ∫ t z −1e −t dt Ortalama: 0 Ortalama: αβ Varyans: αβ 2 Varyans: -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 Normal Weibull x>0 2 f ( x) = x>0 e −( x − µ ) 2 2 2σ 2 −∞ < x < ∞ f ( x) = Ortalama: µ Varyans: σ 2 β 1 Γ α α 2 β 2 2 1 1 Γ 2Γ − α α α α σ =1 2 σ =1 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Lognormal 1 2πσ µ =0 σ =3 2 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.00 1 e −(ln x− µ ) 2 x 2πσ 2 2σ 2 x>0 2 µ +σ 2 Ortalama: e 2 2 µ +σ 2 ( eσ −1) Varyans: e 3 Olasılık Dağılımları α 1 = 1.5,α 2 = 5 3.00 2.50 2.00 Olasılık Dağılımları α1 = 5,α 2 = 1.5 0.35 α1 = 5,α 2 = 5 3.00 α1 = 1.5,α 2 = 3 α1 = 3,α 2 = 1.5 2.00 1.50 1.00 α1 = 3,α 2 = 3 α1 = 1,α 2 = 1 0.2 0.15 α1 = 2,α 2 = 2 1.00 0.50 0.3 0.25 2.50 1.50 0.50 0.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 Beta xα1 −1 (1 − x)α 2 −1 f ( x) = B (α 1 ,α 2 ) α1 Ortalama: α1 + α 2 1.00 0.1 0.05 0 0 0.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1 B(α 1 ,α 2 ) = ∫ t z1 −1 2 Üçgen (1 − t ) 0 Varyans: z2 −1 4 6 8 10 1.00 Beta 0 < x <1 4 dt α 1α 2 Ortalama: (α 1 + α 2 ) 2 (α 1 + α 2 + 1) 5 2( x − a ) (b − a)(c − a) f ( x) = 2( c − x ) (b − a )(c − b) a+b+c 3 a≤ x≤b b≤x≤c Varyans: a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc 18 6 1 Olasılık Dağılımları Olasılık Dağılımları t = 6, p = 0.1 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 0.00 0.30 0.60 0.25 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 Bernoulli 1 − p p ( x) = p p ( x) = x =1 Ortalama: p Varyans: p (1 − p ) 0.20 0.15 0.10 0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1 j − i +1 Ortalama: 0.05 0.00 -0.10 1.00 Düzgün x=0 0.25 0.20 0.05 0.20 0.30 0.30 0.10 0.00 0.00 0.35 0.40 0.15 1.90 3.90 0.00 0.00 5.90 Binom x ∈ {i, i + 1,..., j} 2.00 4.00 6.00 Binom t p ( x) = p x (1 − p ) t − x x i+ j 2 t = 6, p = 0.5 0.40 0.50 x ∈ {0,1,..., t} Ortalama: tp Varyans: tp (1 − p ) ( j − i + 1) 2 − 1 12 Varyans: 7 Olasılık Dağılımları 8 Olasılık Dağılımları λ = 0.5 0.80 0.70 0.60 0.50 1.2 0.40 0.30 0.60 1.0 0.20 0.50 0.10 0.40 0.00 -0.10 0.8 1.90 3.90 0.30 5.90 0.6 λ = 2.0 0.20 0.4 0.30 0.10 0.00 -0.10 0.2 0.25 0.0 0.20 1.90 3.90 5.90 7.90 9.90 0 0.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Veri No 1 2 3 4 5 6 Veri 2 4 5 8 9 10 Birikimli Olasılık 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.10 Geometrik p( x) = p (1 − p) x 1− p Ortalama: p Varyans: 1− p p2 Ampirik Dağılım 0.05 0.00 -0.10 x ∈ {0,1,...} 1.90 Poisson 3.90 5.90 7.90 e −λ λ x p( x) = x! x ∈ {0,1,...} Ortalama: λ Varyans: λ 0 i -1 x − X (i ) + F ( x) = n - 1 (n − 1)( X (i +1) − X (i ) ) 1 if x < X (1) if X (i ) ≤ x ≤ X ( i +1) for i = 1,2,..., n − 1 if x ≥ X ( n ) 9 Dağılımların Kullanım Alanları 10 Dağılımların Kullanım Alanları Düzgün Gama İki değer arasında değiştiği dışında başka bir bilgi yoksa U(0,1) dağılımı özellikle diğer dağılımlar için rastsal değer üretmekte kullanılır Bir işi tamamlama süresi (müşteri servis süresi, makine tamir süresi) Weibull Bir işi tamamlama süresi Bir ekipman parçasının bozulma süresi Üstel Eş zaman aralığında sabit oranda sisteme gelen müşterilerin gelişler arası süresi 11 12 2 Dağılımların Kullanım Alanları Dağılımların Kullanım Alanları Normal Beta Farklı tipte hatalar (bir bombanın düştüğü yer, çok sayıda değerin toplamı) Veri olmadığı durumda kaba bir model kurulmasında kullanılabilir Bir nakliyede bozuk parça oranı İş tamamlanma süresi (PERT) Lognormal Bir işi tamamlama süresi Gama ve Weibull dağılımından farklı olarak x=0 yakınlarında sivridir. Çok sayıda değerin çarpımı Üçgen Veri olmadığı durumda kaba bir model kurulmasında kullanılabilir 13 Dağılımların Kullanım Alanları 14 Dağılımların Kullanım Alanları Binomial Bernoulli t hacmindeki yığındaki bozuk parça sayısı Bir stoktan talep edilen parça sayısı İki sonucu olan rastsal deneme Binomial, Geometrik gibi dağılımlarda Geometrik Düzgün İlk hatalı parçaya rastlamadan önce muayene edilen parça sayısı Bir stoktan talep edilen parça sayısı İki değer arasında değiştiği dışında başka bir bilgi yoksa 15 Dağılımların Kullanım Alanları 16 Verileri Nasıl Kullanacağız? Poisson Gözlemlediğimiz verileri doğrudan modelde kullanabiliriz. Ampirik bir dağılım kullanırız. Bilinen teorik dağılımlara uydurur ve teorik dağılımı kullanırız. Eş zaman aralığında sabit oranda olay olduğu durumda zaman aralığı içinde olan olay sayısı Bir stoktan talep edilen parça sayısı 17 18 3 Ampirik Dağılımda Sorunlar Ampirik Dağılımda Sorunlar Ampirik dağılımlardaki düzensizlikler. Ampirik dağılımlar gerçek hayattan alınan verilerin aralığı dışında değerler yaratamaz. 1.0 0.8 1.2 1.0 0.6 2.3'ten küçük ç ıkma olas ılığı 0'a eş it 0.8 0.4 8.6'ya eş it ya da küçük ç ıkma olas ılığı 1'e eş it 0.6 0.2 0.4 0.2 0.0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0 2 4 6 8 10 12 19 Ampirik Dağılımda Sorunlar TD Uygunluk Testinde Adımlar 1. Uygun TDların belirlenmesi Ampirik dağılımların simülasyon paket programına girilmesi için 2n adet giriş yapılmalıdır. Veri 0.00 2.6 0.25 3.2 0.50 3.8 0.75 4.2 Verilerin bağımsızlığı Örnek istatistikleri Histogramlar Kutu grafikleri Birikimli olasıl ı k 2.1 20 1.00 Bu nedenlerle, olanaklı olduğu durumda, TEORİK DAĞILIMLARIN (TD) kullanılması daha iyi sonuç verir. 21 TD Uygunluk Testinde Adımlar 22 Uygun TDların Belirlenmesi 2. Uygunluğun belirlenmesi Verilerin bağımsızlığı Sıklık grafiklerinin karşılaştırılması Q-Q Grafikleri P-P Grafikleri Kutu grafiği karşılaştırması Uygunluk testleri Standart istatistik testler bağımsızlık koşulunun sağlanmasını ister. Veriler X 1 , X 2 ,..., X n olsun, X 1 , X 2 ,..., X n −1 ile X 2, X 3 ,..., X n arasındaki korelasyona 1 aralıklı (lag) oto-korelasyon denir. Oto-korelasyon daha büyük aralıklar için de hesaplanabilir. Ki-Kare Kolmogorov-Smirnov Anderson-Darling 23 24 4 Bağımsız veriler 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Bağımlı veriler 3.1 2.9 x(i+1) 2.7 0 5 10 15 20 x(i) 1.00 0.75 0.50 Korelasyon Uygun TDların Belirlenmesi 0.25 0.00 -0.25 0 5 10 15 x(i) 4.52 4.18 9.61 10.17 11.31 16.55 16.80 1.51 ... x(i+1) 4.18 9.61 10.17 11.31 16.55 16.80 1.51 4.06 ... 2.5 2.3 2.1 1.9 1.7 1.5 1.5 2.0 2.5 3.0 x(i) Aralık Korelasyon 1 0.28 2 0.27 3 0.26 4 -0.03 5 -0.14 1.25 1.00 Korelasyon x(i+1) Uygun TDların Belirlenmesi 0.75 0.50 0.25 -0.75 0.00 -0.25 0 -1.00 x(i) 2.00 1.97 1.90 1.85 1.79 1.86 1.88 2.01 1.82 1.90 x(i+1) 1.97 1.90 1.85 1.79 1.86 1.88 2.01 1.82 1.90 1.79 Aralık Korelasyon 1 0.96 2 0.92 3 0.86 4 0.80 5 0.72 6 0.65 7 0.57 8 0.51 9 0.48 10 0.44 -0.50 -0.50 5 Aralık (Lag) 10 15 20 25 Aralık (Lag) 25 Uygun TDların Belirlenmesi Örnek İstatistikleri Bağımsızlık için koşum testleri Dönüm noktası testi Eğer n ≥ 20 µ= Örnek istatistikleri verilere uygun teorik dağılımın belirlenmesinde kullanabilir. Minimum, maksimum, aralık Ortalama Medyan Varyans Değişim katsayısı (std.sapma/ort.) Lexis oranı (varyans/ortalama) Çarpıklık ise, koşum sayısı ~ N ( µ , σ ) 2n − 1 16n − 29 σ= 3 90 Medyan testi n1 , n2 medyanın altında ve üstünde kalan değerlerin sayısı Eğer n1 , n2 ≥ 10 ise, yön değiştirme sayısı ~ N ( µ , σ ) µ= 2n1 n2 +1 σ = n1 + n2 26 2n1 n2 (2n1 n2 − n1 − n2 ) (n1 + n2 ) 2 (n1 + n 2 − 1) 27 Örnek İstatistikleri 28 Örnek İstatistikleri Ortalama = Medyan ( x = x0.5 ) ise dağılım simetrik olabilir. Değişim katsayısı Lexis oranı τ=1 ise Poisson τ<1 ise binomial τ>1 ise negatif binomial (geometrik dağılım aynı zamanda) Üstel dağılım için 1 değeri alır. Gamma ve Weibull için >1 ise α<1 =1 ise α=1 <1 ise α>1 Çarpıklık ν=0 ise simetrik (normal dağılım gibi) ν>0 ise sağa çarpık ν<0 ise sola çarpık Eğer olasılık fonksiyonu benziyorsa ve DK>1 ise lognormal dağılım seçilebilir (Gamma ve Weibull dağılımları için α>1 ise bu grafik olabilir). 29 30 5 Histogramlar Histogramlar Veriler Sürekli verilerin histogramının çizilmesi için sınıfların belirlenmesi gerekir. Parametreler: 1.20 2.52 5.08 11.54 6.21 2.35 5.21 6.37 0.25 0.39 3.99 0.88 7.36 4.07 7.29 0.82 6.23 6.65 6.29 5.23 Sınıf sayısı? Sınıf genişliği? Sıklıkların belirlenmesi? 7.42 3.09 0.34 0.89 2.88 0.53 0.08 1.23 0.92 1.75 2.90 3.17 2.05 0.57 4.84 0.85 0.46 7.74 1.16 2.00 n = 50 5.12 7.98 2.39 3.50 2.47 1.13 8.27 1.34 9.25 6.02 k = 1 + 3.3 log10 50 = 6.6 = 6 d= 11.54 − 0.08 = 1.91 6 Sınırlar 0.075 - 1.995 1.995 - 3.915 3.915 - 5.835 5.835 - 7.755 7.755 - 9.675 9.675 - 11.595 n=50 En büyük=11.54 En küçük=0.08 Sıklık 18 11 7 10 3 1 31 Histogramlar Histogramlar Sınıf sayısı = 5 olursa 20 Sıklık 15 10 5 0 2.955 4.875 6.795 8.715 10.635 Sınırlar Orta Değer Sıklık 0.075 - 1.995 1.035 18 1.995 - 3.915 2.955 11 3.915 - 5.835 4.875 7 5.835 - 7.755 6.795 10 7.755 - 9.675 8.715 3 9.675 - 11.6 10.635 1 25 Orta Değer Sıklık Sınırlar 0.075 - 2.375 1.225 21 2.375 - 4.675 3.525 10 4.675 - 6.975 5.825 11 6.975 - 9.275 8.125 7 9.275 - 11.58 10.425 1 20 Sıklık Sınıf sayısı = 6 olduğunda 1.035 32 15 10 5 0 1.225 3.525 5.825 8.125 10.425 Sın ıf Orta De ğ eri Sın ıf Orta De ğ eri 33 Kutu Grafiği 34 Kutu Grafiği Sıralı veriler Kantiller dikkate alınarak çizilen grafiktir (veriler küçükten büyüğe dizilmiş varsayılıyor). 0.08 0.25 0.34 0.39 0.46 0.53 0.57 0.82 0.85 0.88 Medyan: veri grubunun ortasındaki değer Kartil: veri grubunun baştan %25 ve sondan %25nci değerleri Oktil: veri grubunun baştan %12.5 ve sondan %12.5ncu değerleri 0.89 0.92 1.13 1.16 1.20 1.23 1.34 1.75 2.00 2.05 1 35 Kantiller 2.35 2.39 2.47 2.52 2.88 2.90 3.09 3.17 3.50 3.99 2 Kantil Uç değer Oktil Kartil Medyan Kartil Oktil Uç değer 4.07 6.37 4.84 6.65 5.08 7.29 5.12 7.36 5.21 7.42 5.23 7.74 6.02 7.98 6.21 8.27 6.23 9.25 6.29 11.54 3 4 5 6 7 8 9 Yer 1 7 13 25.5 38 44 50 10 Yüzde Değer 0.000 0.08 0.125 0.57 0.250 1.13 0.500 2.89 0.750 6.21 0.825 7.36 1.000 11.54 11 36 6 Testler Sezgisel Test: Histogramlar Sezgisel 25 Histogramlar Q-Q Grafikleri P-P Grafikleri Kutu grafikleri Sınırlar 0.075 - 1.995 1.995 - 3.915 3.915 - 5.835 5.835 - 7.755 7.755 - 9.675 9.675 - 11.6 20 15 10 Gözlenen Sıklık 18 11 7 10 3 1 Teorik Sıklık 21.1 11.8 7.0 4.1 2.4 3.5 5 0 1.035 2.955 4.875 6.795 8.715 10.635 37 Sezgisel Test: Histogramlar 38 Sezgisel Test: Q-Q Grafikleri Sorunlar Gözlenen kantil değerleri ile teorik dağılımın kantilleri X-Y grafiği olarak çizilir. Yöntem: Sınıf sayısına bağlı (sınıf genişliği) Az sayıda veri bulunduğu durumda tutarlı sonuç vermez Sıralanmış veriler x1 , x2 ,..., xn olsun (yatay eksen değerleri) Teorik dağılımın dağılım fonksiyonu F ( x) olsun Teorik dağılımın değerleri F −1 ((i − 0.5) n) ile bulunur (dikey eksen) Çözüm: Q-Q Grafikleri P-P Grafikleri 39 i 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 (i-0.5)/50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ... 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19 0.21 0.23 0.25 ... Gözlem Değeri 0.08 0.25 0.34 0.39 0.46 0.53 0.57 0.82 0.85 0.88 0.89 0.92 1.13 ... Sezgisel Test: P-P Grafikleri Teorik Değer 0.04 0.11 0.19 0.26 0.34 0.43 0.51 0.59 0.68 0.77 0.86 0.95 1.05 ... Q-Q Grafiğinden farklı olarak kantiller değil birikimli olasılıkların grafiği çizilir. 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00 0.00 0.20 0.40 0.60 Gözlenen Birikim li Olas ılık 41 i 1.00 Teorik Birikimli Olasılık Sezgisel Test: Q-Q Grafikleri 40 0.80 1.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Gözlenen Teorik Birikimli Birikimli Olasılık Olasılık (i-0.5)/50 0.01 0.02 0.03 0.07 0.05 0.09 0.07 0.10 0.09 0.12 0.11 0.14 0.13 0.14 0.15 0.20 0.17 0.21 0.19 0.21 0.21 0.22 0.23 0.22 0.25 0.27 0.27 0.27 42 7 Sezgisel Test: Kutu Grafiği Gözlenen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Teorik Kantil Uç değer Oktil Kartil Medyan Kartil Oktil Uç değer Yüzde 0.000 0.125 0.250 0.500 0.750 0.825 1.000 Gözlenen Değer 0.08 0.57 1.13 2.89 6.21 7.36 11.54 Teorik Değer 0.00 0.49 1.05 2.53 5.06 6.36 - Teorik dağılımın birikimli olasılık fonksiyonu kullanılarak kantil değerleri bulunur. 43 8 ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online