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Unformatted text preview: Mecánica Analítica Tarea 1 Universidad de Chile, Facultad de Ciencias, Departamento Física, Santiago, Chile. Alumna: Yasmín Navarrete Díaz. Profesor: Alejandro Valdivia. Ayudantes: Carola Cerda, María Daniela Cornejo, Alejandro Varas. Problema 5: La curva que forma una cuerda al colgar entre dos puntos minimiza la energía potencial. Escriba el Lagrangeano y demuestre que la curva es una catenaria. Esquema referencial del problema dm y x Tenemos que la acción que describe el sistema para el cual se debe minimizar la energía potencial, es: S [ y ] = Z dU Donde U es la energía potencial del sistema, luego: S [ y ] = Z dmgy ( x ) = Z λgdsy ( x ) Siendo λ la densidad lineal de la cuerda. S [ y ] = Z λg p 1 + y ( x ) 2 y ( x ) dx El Lagrangeano está dado por: L = p 1 + y ( x ) 2 y ( x ) El Lagrangeano no depende explíctamente de x , luego, podemos ocupar la segunda forma de la ecuación de Euler, L- y L y = cte. Donde, L y = y 2 p 1 + y 2 Y al reemplazar, se obtiene que: y p 1 + y 2- y 2 p 1 + y 2 = C y = C p 1 + y 2 LLegando, nalmente, a que la ecuación diferencial por resolver es la siguiente: dx = ± s c 2 y 2- c 2 dy Sea y = C cosh θ , dy = C senh θ dθ , entonces: x = ± Z r 1 senh 2 θ C senh θdθ ! x = ± C Z dθ x = ± C cosh- 1 y C + k Supongamos que la cuerda cuelga hacia la derecha, por lo tanto, nos quedamos con el valor positivo de la solución....
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