Damatimi_1 - 3 .7 Hef tveggja tímabila CRR líkan þar sem...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 3 .7 Hef tveggja tímabila CRR líkan þar sem p = 0.5, S(0) = 100, u = 1,01, d = 1/u. Finnið öll möguleg verð eftir 1-tímabil og 2-tímabil. Hverjar eru líkurnar á að verðið sé a.m.k. 102 eftir tvö tímabil? L au s n : Eftir 1-tímabil: S(0)u = 101; S(0)d = 99.0099 2-tímabil: S(0)u2 = 102.01; S(0)ud = 100 og S(0)d2 = 98.0296 Líkurnar á að verðið sé a.m.k. 102 eftir 2-tímabil er jafnt líkunum á tveimur hækkunum í röð, þ.e. p2 = 0.25. 3 .8 L au s n : Sjá Excel skjal á uglunni: dæmi 3.8 3 .9 Two diffusion processes X and Y satisfy: dX = (2+ 5t + X)dt + 3dW1 dY = 4Ydt + 8YdW1 + 6 dW2 where W1 and W2 are correlated Brownian motions with ρ = 0.1. Use Ito’s rule to find the dynamics of the processes X4, eX, X⋅Y L au s n : G.r.f. að ƒ(t,X) sé diffranlegt fall m.t.t. t og tvídiffranlegt m.t.t. X. Þá að gefnu dreififerlinu dX(t) = µ(t,X(t))dt + σ(t,X(t))dW(t) fullnægir ƒ(t,X(t)) ferlinu: dƒ(t,X(t)) = [ƒt + ½σ2ƒXX](t,X(t))dt + ƒX(t,X(t))dX(t) þ.a. ef við skiptum út fyrir dX(t) og fellum út úr rithætti (t,X(t)) til einföldunar þá fáum við Ito regluna sem: dƒ = [ƒt + µƒX + ½σ2ƒXX]dt + σƒXdW óformlega má skrifa Ito’s regluna sem þ.a. auðveldara sé að muna: dƒ = ƒtdt+ ƒXdX + ½ƒXXdX⋅dX (1) þar sem dX⋅dX = (µdt + σdW)×(µdt + σdW) = σ2dt (2) Til að átta sig á hagnýti Ito’s reglunar þá má ímynda sér að ferlið X(t) lýsi hegðun hlutabréfaverðs og ƒ(t,X(t)) lýsi þá hegðun á afleiðu, valrétti, af því hlutabréfi. Ito gefur tenginguna milli afleiðu og undirliggjandi. X4: ƒ(X4); ƒt = 0; ƒX = 4X3; ƒXX = 12X2 samkvæmt (2) fæ ég dX⋅dX = 32dt sting inn í (1) og fæ: dƒ(X4) = 0⋅dt+ 4X3⋅dX + ½⋅12X2⋅32dt = 4X3[( 2+ 5t + X )dt + 3dW1] + 54X2dt = [4X3( 2+ 5t + X ) + 54X2]dt + 12X3dW1 = dX4 eX: ƒ(eX); ƒt = 0; ƒX = eX; ƒXX = eX samkvæmt (2) fæ ég dX⋅dX = 32dt sting inn í (1) og fæ: dƒ(eX) = eX⋅dX + ½⋅eX⋅32dt = eX [( 2+ 5t + X )dt + 3dW1] + 4.5⋅eX⋅dt = eX [( 6.5 + 5t + X )dt + 3dW1] = deX Gerum nú ráð fyrir að ƒ(X,Y) sé tvídiffranlegt m.t.t. X og Y. Þá að gefnu dreififerlunum dX = µXdt + σX,1dW1 + σX,2dW2 dY = µYdt + σY,1dW1 + σY,2dW2 fullnægir ƒ(X,Y) ferlinu: dƒ(X(t),Y(t)) = ƒXdX+ƒYdY+[½⋅(σ2X,1⋅σ2X,2)ƒXX + ½⋅(σ2Y,1⋅σ2Y,2)ƒYY + ƒXY⋅(σX,1⋅σY,1+σX,2⋅σY,2)]dt fyrir margfeldið X⋅Y gildir að: dƒ(X⋅Y) = X⋅dY + Y⋅dX + [σX,1⋅σY,1 + σX,2⋅σY,2 + ρ⋅σX,1⋅σY,2 + ρ⋅σX,2⋅σY,1]dt (3) X⋅Y: Hef σX,1 = 3; σY,1 = 8Y; σY,2 = 6; ρ = 0.1 set inn í (3): dƒ(X⋅Y) = X⋅dY + Y⋅dX + [3⋅8Y + 0 + 0.1⋅3⋅6 + 0]dt = X⋅dY + Y⋅dX + [24Y + 1.8]dt = [4XYdt + 8XYdW1 + 6XdW2] + [Y(2+5t+X)dt + 3YdW1] + [24Y+1.8]dt = [4XY + Y(2+5t+X) + 24Y + 1.8]dt + [8XY + 3Y]dW1 + 6XdW2 = d(X⋅Y) 3 .1 1 Use Ito´s rule to find the SDE for Brownian motion cubed, W3. Do the same for S3 where S is the stock price in the MBS model. L au s n : W3: Um Brownian feril gildir að hann hefur ekkert rek og fervikið er 1, þ.e. dW = 0⋅dt + 1⋅dW Hef ƒ(W(t)) = W3(t) ( ƒ(x) = x3; ƒx = 3x2; ƒxx = 6x, ƒt = 0; dW⋅dW = 1⋅dt ) nota reglu Ito og fæ: dƒ(W3(t)) = 3W2(t) ⋅dW(t) + ½⋅6⋅W⋅1⋅dt = 3W2⋅dW + 3W⋅dt = dW3 S3: dS(t) = µ⋅S(t)dt + σ⋅S(t)dW(t) (ƒ(x) = x3; ƒx = 3x2; ƒxx = 6x, ƒt = 0; dW⋅dW = σ2⋅S2⋅dt ) nota reglu Ito og fæ: dƒ(S3(t)) = 3S2(t) ⋅dS(t) + ½⋅6⋅S(t)⋅ σ2⋅S2⋅dt = 3S2⋅dS + 3⋅σ2⋅S3⋅dt = 3S2⋅[µ⋅S(t)dt + σ⋅S(t)dW(t)] + 3⋅σ2⋅S3⋅dt = 3S3⋅µ⋅dt + 3S3⋅σ⋅dW(t) + 3⋅S3⋅σ2⋅dt = 3S3⋅[(µ + σ2)dt + σ⋅dW] = dS3 3 .1 7 Suppose that our agent Taf has observed the following values of stock S, as recorded at the end of the last 6 weeks: S(0) = 100; S(1) = 100; S(2) = 98; S(3) = 100; S(3) = 101; S(4) = 105; S(5) = 104; Taf wants to estimate the mean weekly return, so he computes the average µ of the returns ∆S(i) = S(i) – S(i-1), i = 1, …, 5. He then compares this to the return for the whole period lasting five weeks, normalized to give a weekly figure: µ = [S(5) – S(0)] / 5. How do these two estimates of the expected weekly return µ for this stock compare? What does this mean in terms of how easy or difficult it is to estimate µ? L au s n : Meðalávöxtunin er µ = 1/5[(98-100) + (100-98) + (101-100) + (105-101) + (104-105)] = 1/5[(104-100)] = 0.8 Þetta endurspeglar hversu erfitt er að meta meðalávöxtun – fjölgun mælinga bætir ekki matið. Matið er aðeins háð upphafs- og lokagildinu. 3 .2 7 Hef eins tímabils CRR líkan þar sem r = 0.005, S(0)=100, S1=101 og S2=99. Setja skal upp safn sem samsvarar valréttinum g(s) = (100 – s)+ = max(100 - s, 0). L au s n : Setjum upp og leysum eftirfarandi jöfnukerfi sem endurspeglar tvær mögulegar niðurstöður: δ0(1+0.005) + δ1101 = 0; δ0(1+0.005) + δ199 = 1; við fáum að δ0 = 50.2489 og að δ1 = -0.5. þeas. tek skortstöðu sem nemur hálfum hlut af hlutabréfinu og legg $50.2489 inn á bankabók. 3 .2 9 Hugleiðið tveggja tímabila CRR líkan þar sem S(0) = 100, u = 1.01 og d = 1/u, r = 0.005. Setjið saman safn sem endurspeglar valréttinn g(s) = (100-s)+. L au s n : Setja þarf upp eignasöfn sem endurspegla möguleg ástönd. Fyrst þarf að setja upp eignasafn sem gefur ástandsbreytingu milli annars tímabili og fyrsta tímabils. Síðan þarf annað eignasafn sem endurspeglar mögulega ástandsbreytingu milli fyrsta tímabili og upphafsástands. Ekki þarf að horfa til þess hvað mögulega gerist ef bréfið hækkar á fyrsta tímabili þar sem valrétturinn verður verðlaus. Ef bréfið hins vegar lækkar þá setjum við upp safnið: δ0(1)(1+0.005) + δ1(1)100 = 0; δ0(1)(1+0.005) + δ1(1)98.0296 = 1.970395; Lausnin er δ0(1) = 99.5025 og að δ1(1) = -1. þannig að kostnaðurinn af því að setja þetta safn upp er 99.5025 – 99.0099 = 0.4926 Nú til að fá eignasafnið á upphafstíma þá setjum við upp eftirfarandi jöfnukerfi: δ0(0)(1+0.005) + δ1(0)101 = 0; δ0(0)(1+0.005) + δ1(0)99.0099 = 0.4926; Og við fáum að δ0 = 24.8761 og að δ1 = -0.2475. þeas. tek skortstöðu sem nemur tæpum fjórðungs hlut af hlutabréfinu og legg $24.8761 inn á bankabók. ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/12/2009 for the course ECON hag taught by Professor Gunnar during the Fall '09 term at Uni. Iceland.

Ask a homework question - tutors are online