{[ promptMessage ]}

Bookmark it

{[ promptMessage ]}

Lausn heimadamum_2 - Heimadmi 2 3 kai C&Z:13 15 og 19 og 6...

Info iconThis preview shows pages 1–2. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
. Heimadæmi 2 3. kafli C&Z:13, 15 og 19 og 6. kafli: 3, 10 og 14 3.13 Fyrir hvaða gildi á A er ferlið M ( t ) = W 3 ( t ) - A R t 0 W ( u ) d ( u ) martingali? Lausn: Notum reglu Itoťs: dW 3 = 3 W 2 dW + 3 Wdt og sjáum að W 3 ( t ) - 3 R t 0 W ( u ) = 3 R t 0 W 2 ( u ) dW ( u ) er martingali og því er A=3 3.15 Vinnið í MBS líkaninu og súnið að V ar [ S ( t )] = e 2 μt ( e σ 2 t - 1) Lausn: Nokkrar leiðir að þessu. Ein möguleg lausn er: Notfærum okkur úr bók að E [ e - ( α 2 / 2) t + αW ( t ) ] = 1 Við höfum að S ( t ) = e ( μ - σ 2 / 2) t + σW ( t ) og að E [ S 2 ( t )] = e μt Þá gildir að S 2 ( t ) = e (2 μ + σ 2 ) t - 2 σ 2 t +2 σW ( t ) og að E [ S 2 ( t )] = e (2 μ + σ 2 ) t Formúlan fyrir fervikið er: V ar [ S ( t )] = E [ S 2 ( t )] - ( E [ S ( t )]) 2 eða V ar [ S ( t )] = e 2 μt + σ 2 t - e 2 μt = e 2 μt ( e σ 2 t - 1) 3.19 Í þessu dæmi þarf að leiða út formúlu (3.36) bls. 78 d ¯ X = [¯ π ( μ - r )] dt + ¯ πσdW Lausn: Hef auðsjöfnuna(3.35): dX = [ rX + π ( μ - r )] dt + πσdW Hef einnig að ¯ X = e - rt X ( t ) Nota reglu Itoťs fyrir margfeldi og fæ d ¯ X = e - rt d (( X ( t )) + X ( t ) d ( e - rt ) + d ( X ( t )) d ( e - rt ) = e - rt ([ rX + π ( μ - r )] dt + πσdW ) + X ( t )( - re - rt ) dt + 0 = e - rt ([ rX + π ( μ - r ) - rX ] dt + πσdW ) = e -
Background image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
Image of page 2
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

{[ snackBarMessage ]}