unite14 - Diferansiyel Denklemler Yazar Prof.Dr. Vakıf...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Diferansiyel Denklemler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 14 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; • diferansiyel denklem kavramı ile tanışacak, • diferansiyel denklemler ile pratik problemler arasındaki bağlantıyı görecek, • basit diferansiyel denklemleri çözebileceksiniz. İçindekiler • Giriş • Diferansiyel Denklem Kavramı • Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler • I. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler • II. Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Homojen Denklemler • Değerlendirme Soruları 345 345 349 353 356 359 Çalışma Önerileri • Üniteyi baştan sona kadar bir kaç defa dikkatlice okuyunuz • Çözülmüş örnekleri iyice inceleyiniz • Basit denklemler yazıp tipini belirleyerek çözmeye çalışınız • Özel çözümün genel çözümden nasıl elde edildiğine dikkat ediniz. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 345 1. Giriş Diferansiyel denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup, bir çok pratik problemin çözümünde önemli bir araçtır. Bu problemlere örnek olarak salınım problemleri, roket, uydu ve gezegenlerin hareketleri, kimyasal reaksiyonlar, radioaktif maddelerin parçalanması problemleri vb. gösterilebilir. Bu ünitenin amacı diferansiyel denklemlerle tanışmak ve basit denklemlerin çözümünü vermektir. 2. Diferansiyel Denklem Kavramı Diferansiyel denklemler, bilinmeyen y = y(x) fonksiyonunun türevlerini içeren bir eşitliktir. Bu eşitlikte türevlerle beraber y = y(x) fonksiyonunun kendisi x in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir. Türevler denildiğinde I. mertebeden, II. mertebeden, . . . türevler kastediliyorlar. Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Örneğin, y' = sin x, y' - y = 0, xy' + x2y = 3 denklemleri I. mertebeden, y'' + 4y = 0, y'' + 3y' + 5y = 0, y3 y'' + ex y4 = 8 denklemleri ise II. mertebeden denklemlerdir. Not: Yukarıdaki denklemlerde y, y', y'' fonksiyonları x değişkeninin fonksiyonlarıdır. Genellikle, denklem yazılımında y, y', y'', . . . altındaki x değişkeni yazılmıyor. Örneğin, y'(x) - y(x) = 0 yerine kısaca y' - y = 0 yazılır. Şimdi matematik modeli diferansiyel denklemlerle verilebilen bir kaç örneği ele alalım. Örnek: 1) Düzlemde bir y = y(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki her (x, y(x)) noktasında teğetin eğiminin x . y(x) olduğunu varsayalım. Türev konusundan bildiğimiz gibi, (x, y(x)) noktasındaki teğetin eğimi y'(x) olduğundan y'(x) = x y(x) yazılabilir. Buna göre, bu eğrinin diferansiyel denklemi AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 346 DİFERANSİYEL DENKLEMLER y' = xy olur. 2) Deneyler sonucunda herhangi bir radyoaktif maddenin, herhangi bir andaki kütlesinin değişim hızının (başka deyişle cismin parçalanma hızının) o andaki kütlesi ile orantılı olduğu görülmüştür. Eğer x anındaki kütle y(x) ise, kütlenin değişim hızı y'(x) türevidir. Deneyler sonucuna göre, y'(x) = k . y(x) yazılabilir. Burada k verilmiş cisme bağlı bilinen sabit negatif bir sayıdır. Bu sayının negatif olmasının sebebi, y(x) kütlesinin zaman geçtikçe azalmasının sonucu olarak y'(x) türevinin negatif olmasıdır. Dolayısıyla radyoaktif kütlenin diferansiyel denklemi y' - ky = 0 dır. 3) Yeterli derecede ısınmış bir metal cisim 30° lik bir ortamda (örneğin, havada veya suda) soğutulmaktadır. Deneyler gösteriyor ki bu durumda cismin soğuma hızı, cismin o andaki sıcaklığı ile ortamın sıcaklığı farkı ile orantılıdır. Eğer x anındaki sıcaklık y(x) ise y'(x) = k (y(x) - 30) yazılabilir. Burada k cisme bağlı negatif bir sabittir. Böylece soğumanın diferansiyel denklemi y' = k(y - 30) olur. 4) Esnek bir yaya asılmış m kütleli ağır bir cismin serbest salınımını ele alalım. Eğer x anında denge durumundan olan uzaklık y(x) ise o zaman Newton'un II. kanununa göre (bazı varsayımlar koşuluyla) my''(x) + k y(x) = 0 eşitliği yazılabilir. Burada k sabiti yayın esneklik sabitidir. Buna göre serbest salınımın diferansiyel denklemi my'' + ky = 0 olur. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 347 y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon ve onun y' = f'(x), y'' = f"(x), ... türevlerini denklemde yazdığımızda denklem x e göre bir özdeşliğe dönüşüyorsa, o zaman y = f(x) fonksiyonuna denklemin çözümü denir. Örneğin, y = ex fonksiyonu y' - y = 0 denkleminin çözümüdür. Çünkü y' = (ex)' = ex olduğundan denklemde y yerine ex ve y' yerine de ex yazarsak ex - ex = 0 gibi bir özdeşlik elde ederiz. Aynı zamanda C keyfi sabit olmak üzere y = C ex fonksiyonunun da çözüm olduğunu görmek zor değildir. Keyfi sabit (veya sabitler) içeren çözümlere genel çözümler denir. y' - y = 0 denkleminin genel çözümü y = C ex dir. I. mertebeden diferansiyel denklemlerin genel çözümleri bir keyfi sabit, II. mertebeden denklemlerin genel çözümleri ise iki keyfi sabit içerir. Örnek: -x xy' + y = e-x denklemi verilmiştir. Bu denklemin genel çözümünün y = C - e x olduğunu gösterelim. Çözüm: y =C -e x -x fonksiyonunun türevini kesrin türevi gibi alalım: -x ' -x -x C - e-x ' . x - x' . C - e-x 0 + e-x . x - 1 . C - e-x y' = C - e = = = x . e - C +e . 2 2 2 x x x x y ve y' ifadelerini denklemde yazarsak -x -x -x x . x . e - C + e + C - e = e-x ; 2 x x e-x = e-x özdeşliği elde ediliyor. Buna göre C keyfi sabitine bağlı y =C -e x fonksiyonlar ailesi genel çözümdür. Örnek: y'' + 4y = 0 denkleminin genel çözümünün y = C1 sin 2x + C2 cos2x olduğunu gösterelim. Burada C1 ve C2 keyfi sabitlerdir. Çözüm: y = C1 sin2x + C2 cos2x fonksiyonunun türevlerini alıp denklemde yazalım. y' = 2 C1 cos2x - 2C2 sin2x, y'' = -4C1 sin2x - 4C2 cos2x ; AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ -x 348 DİFERANSİYEL DENKLEMLER y ve y'' değerlerini denklemde yerlerine yazarsak, -4C1 sin2x - 4C2 cos2x + 4(C1 sin2x + C2 cos2x) = 0 ; 0=0 özdeşliği elde edilir . Böylece iki keyfi C1 ve C2 sabitlerine bağlı y = C1 sin2x + C2 cos2x fonksiyonu C1 ve C2 sabitlerinin her bir değerinde deklemi sağlamış olur ve dolayısıyla genel çözümdür. Genel çözümden, keyfi sabite (veya sabitlere) değerler verilmesiyle elde edilen çözümlere denklemin özel çözümleri denir. Örneğin, y = ex , y = - 2 ex , y = 1 ex 2 , .... fonksiyonları y' - y = 0 denkleminin özel çözümleridir. y = sin2x + 2cos2x fonksiyonu da y'' + 4y = 0 denkleminin bir özel çözümüdür. Bu çözüm genel çözümden keyfi sabitlerin C1 = 1, C2 = 2 değerleri için elde edilmiştir. Bunlarla beraber, diferansiyel denklemlerin tekil (singüler) çözümü de mevcut olabilir. Eğer denklemin bir çözümü genel çözümde sabite (veya sabitlere) değerler verilerek elde edilemiyorsa bu çözüme tekil çözüm denir. Örneğin, y'(y - x) + xy - x2 = 0 denkleminin genel çözümü 2 y = - x + C dir. Aynı zamanda 2 bu denklemin, genel çözümünde sabite değer verilerek elde edilemeyen y = x çö- zümü de bulunmaktadır. Buna göre y = x tekil çözümdür. x ile y arasındaki bir G(x,y) = 0 bağıntısı diferansiyel denklemi sağlıyorsa o zaman bu bağıntıya denklemin kapalı çözümü denir. Örneğin, x 2 + y2 = 3 bağıntısı yy' + x = 0 denkleminin kapalı çözümüdür. I. mertebe diferansiyel denklem ve a, b sabit sayıları verilsin. Bu denklemin çözümleri içerisinde y(a) = b koşulunu sağlayan y(x) çözümünün bulunması problemine başlangıç değer problemi (b.d.p) denir. B.d.p. çözümü için önce denklemin genel çözümü bulunur. Sonra x yerine a, y yerine b yazılarak C keyfi sabiti için bir değer bulunur. Bu değer genel çözümde C yerine yazılarak istenen özel çözüm elde edilmiş olur. Örnek: y' - y = 0 denklemi ve y(1) = e2 koşulundan oluşan b.d.p. çözelim. Çözüm: y' - y = 0 denkleminin genel çözümünün y = C ex olduğunu yukarıda ifade etmiştik. Bu çözümde x yerine 1, y yerine e2 yazarsak e2 = C e1 ⇒ C = e = e2-1 = e e1 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ 2 DİFERANSİYEL DENKLEMLER 349 bulunur. C = e değerini genel çözümde yazarsak y = e . ex = ex+1 fonksiyonu b.d.p. nin çözümü olarak bulunur. Örnek: xy' + y = e-x denklemi ve y(-1) = 0 dan oluşan b.d.p. ni çözelim. Çözüm: y =C -e rada x yerine -1, y yerine 0 yazarsak x - -1 Denklemin genel çözümünün -x olduğunu yukarıda göstermiştik. Bu- 0 =C - e ⇒ C - e = 0⇒ C = e -1 bulunur. C = e değerini genel çözümde yazarsak y =e -e x çözümü bulunmuş olur. 1) y = C - x 2x 2 -x in ( x + y) + xy' = 0 denkleminin genel çözümü olduğunu gösteriniz. denkleminin genel çözümü olduğunu gösteriniz. 2) y = C1 x + C2 nin 2x y" + y' = 0 ? Yukarıda ele aldığımız örnek diferansiyel denklemlerin çözümlerini gerekli amaçlar için kullandık. Ancak, bu çözümlerin nasıl bulunduğundan söz etmedik. Aslında diferansiyel denklemler teorisinin esas problemi, denklemlerin çözümlerinin bulunması ve çözümlerin özelliklerinin araştırılmasıdır. Fakat, tüm denklemler için yararlı olan genel çözüm yöntemi yoktur. Ancak bazı özel tip denklemlerin çözüm yöntemleri bilinmektedir. Şimdi bu tip denklemlerden, değişkenlerine ayrılabilir denklemleri ele alacağız. 3. Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler f(x) ve g(y) fonksiyonları x ve y nin birer fonksiyonları olmak üzere, y' = f(x) . g(y) biçiminde yazılabilen denklemlere değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklemler denir. Örneğin y' = x . y , y' = y. cosx , y' = ex . y2 , y' = (x2 + 1) . ey , ... AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 350 DİFERANSİYEL DENKLEMLER gibi denklemler değişkenlere ayrılabilir denklemlerdir. Değişkenlerine ayrılabilir denklemi çözmek için y' yerine dy =f x .gy dx veya dy = f x dx gy elde edilir. Her iki tarafın integralini alırsak, dy = f x dx + C gy yazılabilir. İntegraller hesaplandıktan sonra genel çözüm bulunur. Not: Yukarıda iki tane integralleme sonucunda iki C1 ve C2 keyfi sabitleri yazılmalıdır. Ancak iki keyfi sabitin farkı yine bir keyfi sabit olduğundan sonuçta tek bir C sabiti yazılır. Örnek: y' - y = 0 dekleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: dy =y; dx dy = dx y dy yazılarak dx yazıp her iki tarafın integralini alırsak dy = dx + C y yazılır. dy = ln y , y olduğundan ln|y| = x + C ⇒ |y| = ex+C = eC . ex elde edilir. eC yeniden bir keyfi sabit olduğundan eC yerine yine C yazarsak genel çözümü ANADOLU ÜNİVERSİTESİ dx = x DİFERANSİYEL DENKLEMLER 351 y = C ex olarak buluruz. Örnek: y' = k(y - 30) denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: dy = k y - 30 , dx dy = k dx , y - 30 ln y - 30 = k x + C , y - 30 = ekx + C = eC . ekx dy = k dx + C , y - 30 ve genel çözüm y = 30 + Ce kx olarak bulunur. Örnek: 100° C ye kadar ısıtılmış bir metal cisim 30° lik bir ortamda soğutulmaktadır. 4 dakika sonra cismin sıcaklığı 70° C olmuşsa, 10 dakika sonra cismin sıcaklığı kaç olur? Çözüm: Yukarıda soğumanın diferansiyel denkleminin genel çözümü y = 30 + C ekx olarak bulunmuştu. Başlangıçta cismin sıcaklığı 100° C olduğundan y(0) = 100 olur. Bu koşuldan yararlanarak C sabitini bulalım: 100 = 30 + C ek.0 ⇒ C = 70. Buna göre, y = 30 + 70 ekx olur. k yı bulmak için y(4) = 70 koşulundan yararlanalım. 70 = 30 + 70ek.4 ⇒ e4k = 4 ⇒ 4k = ln 4 ⇒ k = 1 ln 4 , 7 7 47 k ≅ - 0,14 . Bunu yukarıda yazarsak y = 30 +70 e-0,14x bulunur. Burada x = 10 yazarsak 10 dakika sonra cismin sıcaklığı y(10) = 30 + 70 e- 0,14.10 = 30 + 70 e-1,4 ≅ 47°C olur. AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 352 DİFERANSİYEL DENKLEMLER Örnek: y' = 3 (y-2) denkleminin y(0) = 3 koşulunu sağlayan çözümünü bulalım. Çözüm: dy dy dy = 3 (y-2) , = 3 dx , = 3 dx + C , y-2 dx y-2 ln |y-2| = 3x + C . Burada y(0) = 3 koşulunu kullanırsak C sabitini bulabiliriz. x = 0 , y = 3 yazarsak ln |3-2| = 3.0 + C ⇒ C = ln1 = 0 bulunur. C nin bu değerini yukarıda yazarsak ln |y-2| = 3x ⇒ |y-2| = e3x ⇒ y = 2 ± e3x bulunur. Bu çözümlerden y(0) = 3 koşulunu y = 2 + e3x çözümü sağladığından cevap olarak y = 2 + e3x elde edilir. Örnek: y' = y . cosx denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: dy dy = cosx dx = y cosx , y dx dy = cosx dx + C ⇒ ln y = sinx + C y ⇒ y = esinx + C = eC esinx . Burada ec yerine yine C yazarsak genel çözüm olarak y = C esinx bulunur. ? 1) 2) y' = xy + x denkleminin genel çözümünü bulunuz. y' + y tanx = 0 denkleminin y(0) = 1 koşulunu sağlayan çözümünü bulunuz. x2 Cevaplarınız y = C e2 - 1 ve y = cosx olmalıydı. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 353 4. I.Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler I. mertebeden denklemler içerisinde çözüm yolu bulunmuş olan denklem tiplerinden biri de lineer denklemlerdir. P(x) ve Q(x) bilinen fonksiyonlar olmak üzere y' + P(x) . y = Q(x) gibi denklemlere I. mertebeden lineer diferansiyel denklemler denir. Fiziksel anlamlara uygun olarak Q(x) fonksiyonuna "girdi", elde edilen y(x) çözüm fonksiyonuna ise "çıktı" denir. Bu denklemin genel çözüm formülü y = e- ∫ P x dx C + e∫P x dx . Q x dx gibidir. Bunun genel çözüm olduğunu bu ifadeden y' türevini alıp denklemde yazıp özdeşlik elde ederek görmek mümkündür, fakat bunun üzerinde durmayacağız. Formülden görüldüğü gibi genel çözümü bulmak için iki tane belirsiz integrali hesaplamak gerekmektedir. Bu integraller r x = P x dx ve R x = Q x er x dx integralleridir. O zaman genel çözüm y = e-r(x) [ C + R(x) ] dir. Örnek: y' y = x denkleminin genel çözümünü bulalım. x Çözüm: Denklem y ' + - 1 . y = x gibi yazılabildiğinden P(x) = - 1 , Q(x) = x dir x x Buna göre r(x) = - 1 dx = - dx = -ln x , x x R(x)= x . e-ln x dx , e-ln|x| = (eln|x|)-1 = |x|-1 olduğundan AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 354 DİFERANSİYEL DENKLEMLER R(x) = x . x -1 dx = x bulunur. Buna göre genel çözüm y = e- (-ln|x|) ( C + |x| ) = eln|x| ( C + |x| ) = |x| ( C + x ) dir. Örnek: y' + y = e-x denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: P (x) = 1 , Q (x) = e-x olduğundan r x = 1 . dx = x , R x = e- x . ex . dx = 1 . dx = x olur. Buna göre genel çözüm y = e-x ( C + x ) dir. Örnek: denklemi ve y(0) = 0 dan oluşan başlangıç değer problemini y ' - y tanx = 1 cosx çözelim. Çözüm: P(x) = -tanx , Q(x) = 1 olduğundan cosx r(x) = (-tanx) dx = tanx dx = - sinx dx cosx Bu integrali hesaplamak için cosx = u dönüşümünü (değişken değişimini) yaparsak -sinx dx = du olur. Buna göre cosx > 0 varsayımı ile r(x) = - -du = du = lnu = ln (cosx u u R(x) = elde edilir. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ 1 eln (cosx) dx cosx DİFERANSİYEL DENKLEMLER 355 eln (cosx) = cosx olduğundan R(x) = 1 cosx dx = 1 . dx = x cosx ve genel çözüm y = e-ln (cosx) ( C + x ) =( eln (cosx)) ( C + x ) =(cosx)-1 . (C+x) = C + x cosx -1 dır. Böylece, denklemin genel çözümü y = C + x olarak bulunur. cosx Şimdi burada x = 0 , y = 0 yazarsak C yi buluruz: 0 = C + 0 ⇒ 0 =C ⇒ C = 1 . 0 = 0 cos0 1 C = 0 değerini genel çözümde yazmakla y =0 + x = x cosx cosx çözümünü bulmuş oluyoruz. Örnek: xy' + y = x + 1 , y (2) = 3 başlangıç değer problemini çözelim. Çözüm: Bu denklemin her iki tarafını x e bölelim. y' + 1 y = x + 1 x x Buradan P(x) = 1 , Q(x) = x + 1 = 1 + 1 olur x x x Buna göre x > 0 varsayımı ile r(x) = 1 dx = lnx , R(x) = (1 + 1 ) . elnx dx x x 2 = (1 + 1 ) x dx = (x + 1) dx = x + x x 2 bulunur. Genel çözüm AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 356 DİFERANSİYEL DENKLEMLER y = e-lnx ( C + x + x ) = x-1 ( C + x + x ) 2 2 = C +x + 1 x2 dir. Genel çözümün formülünde x = 2 ve y = 3 yazalım: 3 =C +2 + 1 ⇒ C = 1 ⇒ C = 2 22 2 bulunur. C = 2 değerini genel çözüm formülünde yazarsak istenen çözümü buluruz: y = 2 +x + 1 x2 ; C y = +x + 1 x2 2 2 ? y' - 2y + 3 = 0 denkleminin y(0) = 1 koşulunu sağlayan çözümünü bulunuz. 2x Cevabınız y = 3 - e olmalıydı. 2 5. II. Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Homojen Denklemler p ve q sabit sayılar olmak üzere y'' + py' + qy = 0 gibi denklemlere II. mertebeden sabit katsayılı lineer homojen deferansiyel denklem denir. Biz bu denklemin çözüm yöntemini verip, bunların nereden elde edildiğini tartışmayacağız. Bu tür denklemlerin çözümü karakteristik denklem denilen λ2 + p λ + q = 0 ikinci dereceden denklemin çözümüne bağlıdır. ∆ = p2 - 4 q diskriminant olmak üzere, üç durum söz konusudur. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 357 1) ∆ > 0 . İkinci dereceden denklemin λ1 = -p- ∆ , 2 λ2 = -p+ ∆ 2 gibi iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin genel çözüm y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x formülü ile verilir. Burada C1 ve C2 keyfi sabitlerdir. 2) ∆ = 0 . Bu durumda ikinci dereceden denklemin tek kökü var: λ1 = λ2 = p =λ . 2 Diferansiyel denklemin genel çözümü y = (C1 + C2 x) eλ x formülü ile verilir. 3) ∆ < 0 . Bu durumda ikinci dereceden denklemin gerçel köklerinin olmamasına rağmen diferansiyel denklemin genel çözümü y = eax (C1 cosbx + C2 sinbx) formülü ile veriliyor. Burada a = Örnek: y'' - 4y = 0 denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: Karakteristik denklem λ2 - 4 = 0 dir. Buradan λ1 = -2 , λ2 = 2 olur. Genel çözüm y = C1 e-2x + C2 e2x AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ p -∆ , b= 2 2 dir. 358 DİFERANSİYEL DENKLEMLER olarak bulunur. Örnek: y'' + y' - 6y = 0 denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: λ2 + λ - 6 = 0 karakteristik denklemin kökleri lunur. Buna göre genel çözüm y = C1 e-3x + C2 e2x olur. Örnek: y'' + 6y' + 9y = 0 denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: λ2 + 6 λ +9 = 0 karakteristik denklemin tek kökü var: λ1 = λ2 = -3. re genel çözüm y = C1 e-3x + C2 x e-3x = (C1 + C2 x) e-3x olur. Örnek: y'' - 6y' + 13y = 0 denkleminin genel çözümünü bulalım. Çözüm: Κarakteristik denklem λ2 - 6 λ + 13 = 0 dır. Diskirminant ∆ = 36 - 52 = -16 < 0 olur. a=p = - -6 = 3 , b = 2 2 -∆ - (-16) = = 16 = 4 = 2 2 2 2 2 Buna göλ1 = -3 , λ2 = 2 olarak bu- olduğundan genel çözüm aşağıdaki gibi olur: y = e3x ( C1 cos2x + C2 sin 2x ) Örnek: y'' + 9y = 0 denkleminin genel çözümünü bulalım. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 359 Çözüm: λ2 + 9 = 0 karakteristik denklemin gerçek kökleri yoktur: ∆ = 0 - 4.9 = -36 < 0 . a=p -∆ = -0 = 0 , b = = 36 = 6 = 3 2 2 2 2 2 olduğundan genel çözüm y = e0.x ( C1 cos 3x + C2 sin 3x ) dir. e0.x = e0 = 1 olduğundan genel çözüm, y = C1 cos 3x + C2 sin 3x olarak bulunur. 1) y'' + 4y' + 3y = 0 2) y'' + 2y' + y = 0 denklemlerinin genel çözümünü bulunuz. 3) y'' + 2y' + 2y = 0 ? Cevaplarınız y = C1 e-3x + C2 e-x , y = C1 e-x + C2 x e-x ve y = e -x (C1 cosx + C2 sinx) olmalıydı. Değerlendirme Soruları 1. (y'')3 + (y' )5 + xy = 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 denkleminin mertebesi aşağıdakilerden hangisidir? 2. 200°C ye kadar ısıtılmış bir metal cisim 20°C lik bir ortamda soğutulmaktadır. Eğer 5 dakika sonra cismin sıcaklığı 100°C olursa, 15 dakika sonra cismin sıcaklığı yaklaşık olarak kaç olur? A. 35,8°C B. 36,8°C C. 37,8°C D. 38,8°C E. 39,8°C AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 360 DİFERANSİYEL DENKLEMLER y' = 3. y x3 denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? -1 x2 -1 2x 2 2 A. y = Cex B. y = Ce C. y = Ce D. y = Ce - x E. y = Ce-x 4. y' - y cotx = y denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = Cexcosx B. y = Cexsinx C. y = Cextanx D. y = Cexcotx E. y = C sinx 5. y' = xe- y , y(0) = -1 başlangıç değer probleminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = ln x +1 e B. y = x - 1 ex 2 C. y = ln x + 1 2e D. y = ln x2 + 1 e E. y = x - 1 e- x 2y = x3 x 3 denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? y = C +x 6 x2 C + x4 y= 6 x2 C + x2 y= 6 x2 2 y = C +x x 6 4 y = C +x x 6 y' + 6. A. B. C. D. E. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER 361 7. y' - y = ex cos2x , y(0) = lerden hangisidir? A. y = B. C. D. E. ex 1 + sin2x 2 e- x 1 + sin2x y= 2 ex 1 + cos2x y= 2 e- x 1 + cos2x y= 2 ex sin2x + cos2x y= 2 1 2 başlangıç değer probleminin çözümü aşağıdaki- 8. 2y'' + 5y' - 3y = 0 denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = C1 e- 2x + C2 e 2 B. y = C1 e2x + C2 e C. y = C1 e3x + C2 e 1x -1 x 2 -1 x 2 1x D. y = C1 e- 3x + C2 e 2 E. y = C1 e- 3x + C2 e x 9. 4y'' + 12y' + 9y = 0 dir? -3 x A. y = Ce 2 B. y = C1 + C2 x e2 C. y = C1 + C2 x e 3x D. y = C1 + C2 x e -3x E. y = C1 + C2 x e -3 x 2 3x denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisi- 10. y'' + 2y' + 5y = 0 denkleminin genel çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A. y = e-x (C1 cos2x + C2 sin2x) B. y = e x (C1 cos2x + C2 sin2x) C. y = e-2x (C1 cosx + C2 sinx) D. y = e-3x (C1 cosx + C2 sinx) E. y = e-x (C1 cosx + C2 sin2x) Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. B 2. A 3. C 4. B AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ 5. C 6. B 7. A 8. D 9. E 10. A 362 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar Çoker D., Özer O., Taş K., Küçük Y., Genel Matematik, Cilt 1, 2, Bilim Yayınları, Ankara, 1996. Demana F., Waits B. K., Precalculus, Addison- Wesley Publishing Com., New York, 1990. Gaughan E. D., Hall C. E., College Algebra and Trigonometry, Brooks/Cole Publishing Com., Monterey, 1984. Göğüş M., Koçak Ş, Tayfur C., Üreyen M., Matematik I (Diferansiyel Hesap), Bizim Büro Basımevi, Ankara, 1984. Göğüş M., Koçak Ş, Üreyen M., Matematik I (İktisadi Uygulamalı), Bizim Büro Basımevi, Ankara, 1986. Göğüş M., Koçak Ş., Tayfur C., Üreyen M., Matematik II (İntegral Hesap), Bizim Büro Basımevi, Ankara 1985. Göğüş M., Koçak Ş., Üreyen M., Matematik Fasikül 1, Açıköğretim Fakültesi Yayınları No: 58, Eskişehir, 1986. Koçak Ş., Üreyen M., Göğüş M., Olgun Ş., Görgülü A., Genel Matematik Fasikül 1, Açıköğretim Fakültesi Yayınları No: 115, Eskişehir, 1990. Larson R. E., Hostetler R. P., Edwards B. H., Brief Calculus, D.C. Heath and Com., Lexington, 1995. Musser G.L., Burger W. F., Mathematics for Elementary Theachers, Prentice Hall, New Jersey, 1994. Saban G., Analize Giriş, İ. Ü. Fen Fakültesi Basımevi, İstanbul, 1989. Shepley L. Ross, Differential Equations, John Wiley and Sons, New York, 1984. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/23/2009 for the course MAK mak411 taught by Professor Erinceren during the Spring '09 term at University of Economics and Technology.

Ask a homework question - tutors are online