chap4 - Boolean Algebra Boolean IP Æ Ÿ ¶ G ª 0 TÆ Ÿ...

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Unformatted text preview: Boolean Algebra Boolean IP Æ Ÿ ¶ G ª 0 TÆ Ÿ ¶ Š ª Ié à2 v F 4 Boolean Algebra Boolean Developed by George Boole in 1847 (o Æ Ÿ I XI ä Æ Š ¶Ÿ ª ¶ ª ) Applied to switching circuits by Claude Applied Shannon in 1939 ( I Æ Ÿ ¶ ª 0 ˜V à2 XI ä Š Æ ¶ Ÿ ª ¶ ª ) We’lll look at the two-valued Boolean l Algebra (˜ I Q Æ Ÿ ¶ G ª 0z + F à 2 v F ä Š ¶ ª 02 Algebra oÆ Ÿ ) I – Two values: 0 and 1 (T and F) – Boolean variables: A, B, C, … Boolean Negation (Ø I ã Æ Ÿ ¶ Š ª ¶ ª 0 Negation 1 ’ = 0 (à 0 + ¶ ª 0 ’ = 1 (à 0 + ¶ ª 0 If X = 1, then X’ = 0. If X = 0, then X’ = 1. á au s +F á au s +F P P ) +F 0 +F 1 X’ = X +F J vF @ And And 0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1 X 0 0 1 1 Y 0 1 0 1 X*Y 0 0 0 1 Or Or 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 X 0 0 1 1 Y 0 1 0 1 X+Y 0 1 1 1 Basic Theorems (È I rÆ Ÿ~ ¶ ª Basic È I rÆ Ÿ~ ¶ ª 0 ) X+0=X X+1=1 X*1=X X*0=0 X+X=X X*X=X (X’)’ = X X + X’ = 1 X * X’ = 0 Commutative Law (˜ I g ª ¶ Ÿ ª ¶ ~ Commutative Æ ˜I g ª¶Ÿ 0 ) Æ ª¶~ 0 Boolean Algebra is Boolean commutative commutative – – XY = YX XY X+Y=Y+X X 0 0 1 1 X 0 0 1 1 Y XY YX 00 0 10 0 00 0 11 1 Y X+Y Y+X 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Associative Law (è I æ Associative I Æ Ÿ¶ª0 à – – (XY)Z = X(YZ) (XY)Z (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (X Æ Š ¶Ÿ ª ¶ ª ) ° Boolean Algebra is associative Distributive Law (X I ä Æ Š ¶ Ÿ ¶ ª ª Distributive XI ä Æ Š ¶Ÿ ¶ ª ª 0 ) 0 Boolean Algebra is distributive over both Boolean both and (*) and or (+) and – – X(Y + Z) = XY + XZ X(Y X + YZ = (X+Y)(X+Z) YZ X + YZ = (X+Y)(X+Z) XYZ 0 00 0 01 0 10 0 11 1 00 1 01 1 10 1 11 YZ 0 0 0 1 0 0 0 1 X+YZ 0 0 0 1 1 1 1 1 X+Y X+Z (X+Y)(X+Z) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 DeMorgan’s Laws ( I Æ Ÿ ¶ ª 0 DeMorgan ) ÆoŸ ¶ ª 0ª 0 ~¶ ) I (X + Y)’ = X’Y’ XY 00 01 10 11 X’ Y’ 11 10 01 00 X+Y 0 1 1 1 (XY)’ = X’ + Y’ (X+Y)’ 1 0 0 0 X ’Y ’ 1 0 0 0 Logic Gates Logic à I0Ÿ ¶+ª ¶0ª 0 à 2 v F u áa s +F Ð ú– v F +F Æ àp 0 + ¶ ª 0 á àa u v F s + F ú Ð – v+F KvF 2 F ˜ p Q K G v F+ F z à 0– v à n ~v F ¶ ª 0 2 Ð+ Gates ˜Q IG Æ Ÿ z +0 n ¶ ª 0 Ðà Gates ¶ ª F à 2vF~ ØnŸ ~ ¶ ¶ Module oŸ Device Ø I Æ Ÿ ~ ¶ ¶ ª ª n IÆ IÆ AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR, AND, XNOR à I Æ Ÿ¶ ª 0 0 à 2vF s + F 0+¶ ª á au +F Ðú – v F R I Æ Ÿ¶ ª 0 à2 Logic Gate Ø IBŸ ¶ ~ ¶ ª 0 Æ ª0 IÆŸ¶ ª0 à2 IC è I g~ ¶ ª 0 ª 0 à è IÆŸ¶ ª0 à 2v F ÆŸ ¶ è I g~ ¶ ¶ Gates IÆ Ÿ P G ¶ ª z 0 F + ÆŸ 2v F ˆ4Ÿ ~ ¶ ª¶ ª 0 IÆ 0 IC o Æ 2 ˆ I4 ~ Ÿ ¶ ª 0 -> TTL, CMOS I Æ -> z+ LAB oÆ Ÿ TTL oÆ Ÿ I Æ Ÿ P G¶ ª 0 F à 2vF I I oÆ 5 oÆ Ÿ 0 V. I I V. ˜ IQ Æ G z Ÿ ¶ +0 àg ª* à Ð – Gates * ªF à 2vF~¶ à0Ÿ +ª 0ª 0 á 7+ P Ð – F Digital IÆ ¶ ¶ à 2vFaus ù v .o . è I g Ÿ ¶ ~ ¶ ª ª 0 0 IÆ Ÿ ¶ ª 0 à IØ Æ àè è g ~¶ ª ...
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This note was uploaded on 01/06/2010 for the course CS it666 taught by Professor Tony during the Spring '06 term at 東京大学.

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