MATH111-200630-PS08-Solutions

it follows that the arc length is e2x 2u 2 therefore

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Unformatted text preview: is required; what do you think that might be?). It follows that the arc length is e2x 2u 2 Therefore the arc length is a 0 0 You can calculate the value using a calculator or you can use a 30-60-90 degree right triangle to find the exact value. 2. The arc length function is 1 (Strictly speaking, we should use a dummy variable inside the integral so that the two different meanings of the letter x don’t get confused.) Filling in the details, £ £ 1 y 2 1 x2 1 x4 x4 x2 2 ¨ ¡ ¨ ¨ ¡ ¨ ¨ ¡ 1 4x2 ¤ sx 1 ¦ ¥ ¨ x y 2 dx 2 1 2 1 16x4 1 2 1 16x4 1 4x2 2 ¤   £ L 1 tanx 2 dx sec x dx ln sec x tanx ln sec π 3 tan π 3 ¦ "¦ ¥ ¨ ¦ ¥ ¥ ! ¡  ¨ ¡  © ¡ ¦ ¥ ¨ π 3 £ £  (d) We have y 1 cos x sin x tan x, so π 3 π 3 0 ¤  £ ¡ ¦ ¥¦ £ L ln ex e x ln £ b a eb ea e e b ¤ £ £ £  du ln u C ln e2x 1 ln ex ¨ ¦ ¥ ¦ ¥ ¡ ¨ ¨ ¡ ¨ £  © ¡ ¨ ¡ ¦  © ¡ ¨ ¥ ¡  ¥ © ¡ ¡ # ¥ ¨ ¦ ¡ £ e2x e2x 1 dx 1 u 2 du u 2u 2 1 u 1  £ To do the indefinite integral, let u e2x 1, du 2e2x dx, du 2u 2 1 ln 2u 2 2 ¡ ¦ ¨ ¥ ¡ ¡ ¨ £ a ¤ L b e2x 1 dx 1 dx, C £ £ £ £ e4x ¦ ¥ ¨ ¨ y 2 2 ¡ ¡ ¡ £ e4x 2e2x 1 4e2x 2e2x 1 e4x e4x 2e2x 2e2x 1 1 e2x e2x 1 1 2 e2x e2x ¨ ¦ ¨ ¥ ¨ ¨  ¨ ¨ £ e4x ¨ ¦  £ ¨ ¡ ¦ ¥ ¨ ¥ y 2 ¡ 4e2x 1 4e2x 2e2x 1 1 1 ¤ £ £ ¨ ¥ £ £ ¨ £ £ y 1 1 £ ¡ ¦ £ ¤ 1 dy 1 ¥¦ £ £ © ¡ ¡ ¡ ¦ ¨ ¥ © ¡ dx dy 2 1 tan2 θ sec2 θ dθ 2   Making the substitution y 1 2 tan θ, dy 1 2 sec2 θ dθ we...
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