ProblemasMate2 - Ejercicios adicionales: ´ Algebra lineal...

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Unformatted text preview: Ejercicios adicionales: ´ Algebra lineal en la f´ ısica elemental 1. Movimiento del cuerpo r´ ıgido Consid´ erese la siguiente situaci´ on: Juego 1.0.1. Sobre la arena de una playa se encuentran dos jugadores y dos pelotas id´ enticas ubicadas en distintos lugares pero con la misma orientaci´ on. El primer jugador elige un eje que pasa por el centro de su pelota, y la rota alrededor de ese eje un cierto ´ angulo. A continuaci´ on, elige otro eje y otro ´ angulo, y rota de nuevo la pelota, llev´ andola a su orientaci´ on final. Es entonces el turno del segundo jugador. Tiene que elegir un s´ olo eje de rotaci´ on que pase por el centro de la segunda pelota y un ´ angulo, y rotarla. El segundo jugador gana si logra llevar su pelota a la orientaci´ on final de la pelota del primer jugador. En caso contrario, gana el primero. Definici´on 1.0.2. Un cuerpo r´ ıgido es un conjunto de puntos que se mueven continua- mente en el espacio eucl´ ıdeo tridimensional conservando las distancias entre ellos. A esta restricci´ on en el movimiento de los puntos se la denomina condici´ on de rigidez. Para denotar al cuerpo r´ ıgido K , lo consideraremos compuesto por varios puntos p α indicados con α ∈ Γ. As´ ı, K = { p α } α ∈ Γ . 1.1. Movimientos finitos del cuerpo r´ ıgido En nuestro primer problema, consideraremos que los puntos p α del cuerpo r´ ıgido est´ an en el instante inicial t = 0 en las posiciones x α , y que luego de moverse manteniendo la condici´ on de rigidez se encuentran en el instante t = 1 en posiciones x α . Puede pensarse que existe una funci´ on T que le asigna a cada posici´ on inicial x i de un punto del cuerpo r´ ıgido la posici´ on final x i del mismo punto. Nuestro objetivo es caracterizar esta funci´ on T . Si bien no es necesario, supondremos para facilitar algunos razonamientos que el cuerpo se extiende a todo el espacio. As´ ı, nuestro objeto de estudio es la funci´ on T : R 3 → R 3 , a la que llamaremos movimiento r´ ıgido del espacio. Dos ejemplos de las posibles T son la traslaci´ on a lo largo de un vector y la rotaci´ on alrededor de un eje con un cierto ´ angulo de rotaci´ on. Nuevamente, para facilitar razonamientos y notaciones, eliminaremos la primera posibilidad restrigiendo nuestro estudio al caso en el que T (0) = 0. Para contestar a la pregunta de qui´ en ganar´ a el juego, probaremos el siguiente resultado: Teorema 1.1.1 (Euler) . Si T es un movimiento r´ ıgido finito de todo el espacio y cumple que T (0) = 0 , entonces T es una rotaci´on alrededor de un eje. La demostraci´ on rigurosa de este hecho, para muchos evidente de por s´ ı, no es tan sencilla como parece, y para lograrla proponemos el siguiente plan: 1. Probar que T es lineal, completando los pasos que siguen: 2 a ) Una isometr´ ıa de R 3 es una transformaci´ on que preserva las distancias entre los puntos, es decir, una S : R 3 → R 3 tal que ∀ x,y ∈ R 3 , k S ( y )- S ( x ) k = k...
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