MaPhy1WS09Blatt6

MaPhy1WS09Blatt6 - x := (0 , 2 , , ,-1) ,y := (3 , 4 , 1 ,...

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MATHEMATISCHES INSTITUT DER 17. 11. 2009 JUSTUS–LIEBIG–UNIVERSIT ¨ AT GIESSEN Blatt 6 Wintersemester 2009/2010 Bernhard Lani–Wayda Frank Morherr ¨ Ubungen zur Mathematik f¨ur Physiker I 1) Beweisen Sie mit Induktion, dass f¨ur alle n N gilt: a) n X k =1 k = n ( n + 1) 2 , b) n X k =1 k 3 = ( n X k =1 k ) 2 . 2) Zeigen Sie: a n a genau dann, wenn jede Teilfolge von ( a n ) gegen a konvergiert. 3) Sei x R . Geben Sie eine Nullfolge ( a k ) R und eine divergente Folge ( b k ) R an, so dass a k · b k -→ x ( k -→ ∞ ). 4) Sei M R nichtleer und nach oben beschr¨ankt. Zeigen Sie: Es gibt eine Folge ( x n ) M mit x n -→ sup M . 5) L¨osen Sie das Gleichungssystem ix - 4 y = 1 3 x + iy = 2 + i und geben Sie Real- und Imagin¨arteil der L¨osungen an. 6) F¨ur i ∈ { 1 ,..., 5 } sei e i der i - te Einheitsvektor im R - Vektorraum R 5 , d.h. also e 1 = (1 , 0 , 0 , 0 , 0) ,...,e 5 = (0 , 0 , 0 , 0 , 1). (Dann ist ( e 1 ,...,e 5 ) Basis von R 5 , das brauchen Sie nicht zu zeigen.) Weiter sei
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Unformatted text preview: x := (0 , 2 , , ,-1) ,y := (3 , 4 , 1 , ,-2). a) Zeigen Sie: ( x,y ) ist linear unabh¨ angig. b) Bestimmen Sie zwei Indices i,j ∈ { 1 ,..., 5 } , i 6 = j , so dass man wieder eine Basis erh¨alt, wenn man e i durch x und e j durch y ersetzt. 7) Die Menge der Polynome a 2 x 2 + a 1 x + a mit reellen Koeffizienten a ,a 1 ,a 2 bildet einen R-Vektorraum V , und eine Basis ist z.B. B := (1 ,x,x 2 ) . (Das brauchen Sie nicht zu zeigen.) a) Zeigen Sie: Auch B := (1 ,x-1 ,x 2-x-1) ist eine Basis von V . b) Bestimmen Sie M B B ( id V ). c) Der Ableitungsoperator auf V ist durch D : a 2 x 2 + a 1 x + a 7→ 2 a 2 x + a 1 definiert. Bestimmen Sie M B B ( D )....
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