MaPhy1WS09Blatt7 - Achse(Wie ¨ublich fassen wir R als...

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MATHEMATISCHES INSTITUT DER 24. 11. 2009 JUSTUS–LIEBIG–UNIVERSIT ¨ AT GIESSEN Blatt 7 Wintersemester 2009/2010 Bernhard Lani–Wayda Frank Morherr ¨ Ubungen zur Mathematik f¨ur Physiker I 1) Untersuchen Sie in nachstehenden F¨ allen die Folge ( a k ) k N in R jeweils auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert: a k := 1 k , a k := k + 1 - k, a k := ( - 1) k · k, a k := k k. Hinweis zur letzten Folge: k = (( k k - 1) + 1) k und Binomialsatz. 2) (Babylonisches Wurzelziehen) Sei a > 0 , x 0 > 0. Definiere rekursiv x n +1 := 1 2 ( x n + a x n ) f¨ur n N 0 . Zeigen Sie: Die Folge ( x n ) konvergiert gegen a . Hinweis: Monotonie. 3) Zeigen Sie, dass die durch a n := (1+ 1 n ) n ( n N ) definierte Folge gegen einen Grenzwert in (2 , ) konvergiert. (Dieser heisst Eulersche Zahl.) Hinweis: 1) Binomialsatz; zeigen Sie n ( n - 1) · ... · ( n - k + 1) n · ... · n ( n + 1) n · ... · ( n + 1 - k + 1) ( n + 1) · ... · ( n + 1) f¨ur k ∈ { 0 , ..., n } (jeweils k Faktoren im Nenner) und folgern Sie, dass ( a n ) monoton ist. 2) Zeigen Sie a n n X k =0 1 k ! , Quotientenkriterium. 4) Sei q C , | q | < 1. Zeigen Sie: q n 0 ( n → ∞ ). 5) Ein Fahrzeug f¨ ahrt in R 2 = C mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung der x-
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Unformatted text preview: Achse. (Wie ¨ublich fassen wir R als Teilmenge von C = R 2 auf.) Physiker P1 benutzt die kanonischen Einheitsvektoren e 1 = (1 , 0) = 1 und e 2 = (0 , 1) = i als Koordinatensystem; in diesem ist der Ort des Fahrzeugs zur Zeit t gegeben durch r ( t ) = ( t, 0) = t. Physiker P2 benutzt ein sich um 0 drehendes Koordinatensystem, dessen (zeitabh¨angige) Achsen er f¨ur die Richtschn¨ure des Universums h¨alt, und die durch ˜ e 1 ( t ) = (cos( t ) , sin( t )) = cos( t ) + i sin( t ) , ˜ e 2 ( t ) = (-sin( t ) , cos( t )) =-sin( t ) + i cos( t ) gegeben sind. Wie lauten die (reellen) Koeffizienten a ( t ) ,b ( t ) der Darstellung r ( t ) = a ( t )˜ e 1 ( t ) + b ( t )˜ e 2 ( t ) im System von P2 explizit? Sei z ( t ) := a ( t ) + ib ( t ) ∈ C f¨ur t ∈ R . Berechnen Sie, falls Sie dies schon k¨onnen, ˙ z ( t ) und ¨ z ( t )....
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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern