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MaPhy1WS09Blatt9 - MATHEMATISCHES INSTITUT DER GIESSEN...

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MATHEMATISCHES INSTITUT DER 15. 12. 2009 JUSTUS–LIEBIG–UNIVERSIT ¨ AT GIESSEN Blatt 9 Wintersemester 2009/2010 Bernhard Lani–Wayda Frank Morherr ¨ Ubungen zur Mathematik f¨ur Physiker I 1) Zeigen Sie, daß die Funktion f : R \ { 1 , 2 } → R , f ( x ) = 1 x - 1 + 1 x - 2 genau eine Nullstelle hat, und jede reelle Zahl c 6 = 0 genau zweimal annimmt. Hinweis: Verhalten bei 1 und 2 sowie f¨ur x → ±∞ , Zwischenwertsatz. 2) Sei λ > 0. Zeigen Sie, dass die Gleichung x = exp( - λx ) genau eine L¨ osung in [0,1] hat. Hinweis: Betrachten Sie x - exp( - λx ) an den Intervallr¨ andern. 3) Entscheiden Sie (mit Beweis), ob folgende Funktionen stetig sind, und ob sie gleich- assig stetig sind: a) f : [0 , 1] R , f ( x ) := x b) f : [0 , ) R , f ( x ) := x c) f : [ - 1 , 1] R , f ( x ) := x 2 sin(1 /x ) falls x 6 = 0 , f (0) := 0 . 4) Sei A := 1 0 - 1 2 1 3 - 4 0 1 R 3 × 3 . a) Berechnen Sie det( A ). b) Gibt es stetige Funktionen m ij : [0 , 1] R , i, j = 1 , ..., 3, so dass mit M ( t ) := ( m ij ( t )) R 3 × 3 f¨ur t [0 , 1] folgende beiden Bedingungen erf¨ullt sind: (i) M ( t ) ist invertierbar f¨ur alle t [0 , 1]; (ii)
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