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MaPhy1WS09Blatt9 - MATHEMATISCHES INSTITUT DER 15. 12. 2009

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Unformatted text preview: MATHEMATISCHES INSTITUT DER 15. 12. 2009 JUSTUS–LIEBIG–UNIVERSIT ¨ AT GIESSEN Blatt 9 Wintersemester 2009/2010 Bernhard Lani–Wayda Frank Morherr ¨ Ubungen zur Mathematik f¨ur Physiker I 1) Zeigen Sie, daß die Funktion f : R \ { 1 , 2 } → R , f ( x ) = 1 x- 1 + 1 x- 2 genau eine Nullstelle hat, und jede reelle Zahl c 6 = 0 genau zweimal annimmt. Hinweis: Verhalten bei 1 und 2 sowie f¨ur x → ±∞ , Zwischenwertsatz. 2) Sei λ > 0. Zeigen Sie, dass die Gleichung x = exp(- λx ) genau eine L¨ osung in [0,1] hat. Hinweis: Betrachten Sie x- exp(- λx ) an den Intervallr¨ andern. 3) Entscheiden Sie (mit Beweis), ob folgende Funktionen stetig sind, und ob sie gleich- m¨assig stetig sind: a) f : [0 , 1] → R , f ( x ) := √ x b) f : [0 , ∞ ) → R , f ( x ) := √ x c) f : [- 1 , 1] → R , f ( x ) := x 2 sin(1 /x ) falls x 6 = 0 , f (0) := 0 . 4) Sei A := 1- 1 2 1 3- 4 0 1 ∈ R 3 × 3 ....
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