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MaPhy-Ü5 - Aufgabe 1 Beh(1 x)n 1 nx x > 1 n N0...

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Aufgabe 1 Beh.: (1 + x ) n 1 + nx x > - 1 , n N 0 Bew.: durch vollst¨ andige Induktion nach n N 0 Anfang: n = 0 . (1 + x ) 0 = 1 = 1 + 0 x (1 + x ) 0 1 + 0 x Schritt: n n + 1 : (1 + x ) n +1 = (1 + x ) | {z } > 0 x> - 1 · (1 + x ) n (1 + x ) · (1 + nx ) = 1 + nx + x + nx 2 |{z} nx 2 0 1 + ( n + 1) x d.h. (1 + x ) n 1 + nx (1 + x ) n +1 1 + ( n + 1) x d.h. Induktion abgeschlossen. q.e.d. Aufgabe 2 G := m n 2 , m, n N dicht in [0 , ) Sei x 0, zu zeigen: Folge x k m n 2 | m, n N | x k x wir wissen: Q liegt dicht in R , x 0 ⇒ ∃ Folge ( x k ) k =1 Q | x k ---→ k →∞ x 2 R x k hat Darstellung x k = m k n k | m k Z , n k N y k := m k n k · 2 = x k · 2 = x Ist x = 0, w¨ ahle m k = 1 , n k = k m k n k 2 = 1 k 2 0 Ist x > 0 y k x ⇒ ∃ k 0 N | | y k - x | < x 2 y k > x 2 > 0 m k = y k n k 2 > 0 m k N k k 0 f¨ur k < k 0 ahle z.B. m k = 1 m k n k 2 Q m k n k 2 x Q liegt dicht in [0 , ) Sei x [0 , ) , ε > 0 Ist x = 0,zu zeigen: m, n N | m n 2 - 0 < ε Nach Archimedes n N | n >
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