MaPhy-Ü6

MaPhy-Ü6 - Aufgabe 1 n a)Beh.: k=1 k= n(n+1) 2...

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Aufgabe 1 a)Beh.: n k =1 k = n ( n +1) 2 Bew.: durch Induktion nach n: Anfang n = 1: 1 k =1 K = 1 = 1(1+1) 2 Schritt n 7→ n + 1 : n +1 k =1 k = n k =1 k + ( n + 1) = Ind.-Vor. n ( n +1) 2 + ( n + 1) = ( n 2 + 1 ) ( n + 1) = n +2 2 ( n + 1) q.e.d. b)Beh.: n k =1 k 3 = ± n k =1 k ² 2 = nach Teil a) ³ n ( n +1) 2 ´ 2 Vor¨uberlegung: ³ ( n +1)( n +2) 2 ´ 2 - ³ n +( n +1) 2 ´ 2 = ( n +1) 2 4 µ ( n + 2) 2 - n 2 = ( n +1) 2 4 (4 n + 4) = ( n + 1) 3 Bew.: Anfang n=1: 1 k =1 k 3 = 1 = ³ 1(1+1) 2 ´ 2 Schritt n 7→ n +1 : n +1 k =1 k 3 = n X k =1 k 3 | {z } = Ind.Vor. ± n ( n +1) 2 ² 2 +( n +1) 3 = Vor¨uberlegung ³ ( n +1)( n +2) 2 ´ 2 q.e.d. Aufgabe 2 Beh.: a n 7→ a Jede Teilfolge a nk 7→ a Bew.: “ gilt, da ( a n ) n N Teilfolge vpn sich selbst ist. “ Sei ( a n k ) k =1 bel. Teilfolge a n 7→ a Sei ε > 0 bel. Aufgabe 3 a k · b k x ( k → ∞ ) , x R Sei a k = x l , b k = k a k b k = x -→ k →∞ x 1
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Aufgabe 4 M beschr. M 6
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