MaPhy-Ü9

MaPhy-Ãœ9 - Aufgabe 1 f : R \{ 1 , 2 } → R :...

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Unformatted text preview: Aufgabe 1 f : R \{ 1 , 2 } → R : f ( x ) = 1 x- 1 + 1 x- 2 ist streng monoton fallend auf zusam- menh¨ angenden Mengen. f ( x ) = 1 x- 1 + 1 x- 2 = 2 x- 3 ( x- 1)( x- 2) ⇒ f hat NST bei x = 3 2 Betrachte lim x →-∞ f ( x ) : (i) f ( x ) x →-∞----→ (ii) f ( x ) x → 1-----→ -∞ (iii) f ( x ) x → 1+----→ + ∞ (iv) f ( x ) x → 2-----→ -∞ (v) f ( x ) x → 2+----→ + ∞ (vi) f ( x ) x → + ∞----→ ⇒ f nimmt nach dem Zwischenwertsatz jedes y ∈ (-∞ , 0) in (-∞ , 1) an. ∀ y ∈ (-∞ , 0) ∃ x ∈ (-∞ , 1) | f ( x ) = y Da f | (-∞ , 1) streng monoton fallend ⇒ x ist eindeutig. Nach (iii),(iv) Zwischenwertsatz ⇒ ∀ y ∈ R ∃ x ∈ (1 , 2) | f ( x ) = y , wobei x durch die strenge Monotonie eindeutig ist. Nach (v),(vi) Zwischenwertsatz ⇒ ∀ y > ∃ x > 2 | f ( x ) = y , wobei x eindeutig ist, wegen der strengen Monotonie. ⇒ f ( x ) hat genau eine Nullstelle und nimmt jede reelle Zahl c 6 = 0 genau zweimal an....
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This note was uploaded on 01/18/2010 for the course FB07 BP-03 taught by Professor Lani-wayda during the Winter '09 term at Uni Giessen.

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