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Blatt06-09.11.09

Blatt06-09.11.09 -  C =   1 3 2 3 2 3-2 5...

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¨ Ubungen zur Mathematische Methoden der Physik Armin Bunde, Wintersemester 2009/2010 Blatt 6 ¨ Ubungsblatt zu den ¨ Ubungen am 23.11.2009 Aufgabe 16: Die Matrix D ( k ) ( φ ) mit den Komponenten d ( k ) ij ( φ ) = δ ij δ ik + δ ij (1 - δ ik ) cos( φ ) + ǫ ijk sin( φ ) stellt eine Drehung um die x k -Achse um den Winkel φ dar. a) Geben Sie die Drehmatrix f¨ur die x 1 - ,x 2 - und x 3 - Achse explizit an. b) Eine Koordinatentransformation m¨ oge aus einer Drehung um 90 um die x 1 - Achse, gefolgt von einer Drehung um 90 um die (neue) x 2 -Achse, gefolgt von einer Drehung um 90 um die (neue) x 3 -Achse bestehen. Geben Sie die zugeh¨ orige Drehmatrix A und die dazu inverse A 1 an. c) Zeigen Sie: F¨ur zwei beliebige quadratische und orthonormale Matrizen A und B ist auch das Produkt A · B orthonormal. (Zur Erinnerung: Matrizen sind orthonormal, wenn ihre Zeilenvektoren orthonormal sind, d. h. k a ik a jk = δ ij ). Aufgabe 17: a) Welche der folgenden Matrizen sind Drehmatrizen? A = 1 2 2 - 1 2 2 0 - 1 2 2 1 2 2 0 0 0 1 B = 1 2 0 - 1 2 3 1 2 3 0 1 2 0 1 0
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Unformatted text preview:   C =    1 3 2 3 2 3-2 5 √ 5 1 5 √ 5 2 15 √ 5-1 3 √ 5 4 15 √ 5    1 b) Eine Drehung um die x 3-Achse wird durch folgende Matrix beschrieben: D (3) ( φ ) =    cos( φ ) sin( φ )-sin( φ ) cos( φ ) 1    VeriFzieren Sie, daß das Ergebnis von zwei Drehungen um die x 3-Achse mit den Winkeln φ 1 und φ 2 einer einzelnen Drehung um den Winkel φ 1 + φ 2 entspricht. c) Geben Sie, soweit vorhanden, die Inversen der Matrizen von 17 a) an. d) Invertieren Sie p 4 3 2 1 P und p 2 4 1 3 P Aufgabe 18 (schriftlich): L¨ osen Sie folgende Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel: a) ( i ) x 1 + 3 x 2 + x 3 = 2 ( ii ) 4 x 1-x 2 + x 3 = 1 ( iii ) 2 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 = 4 b) ( i ) 3 x 1 + 6 x 2-4 x 3 = 1 ( ii )-x 2 + 2 x 2-2 x 3 =-4 ( iii ) x 1-2 x 2 = 6 2...
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