hw21_Solutions

# Deflection is ei yy w x f o l4 1 x 1 x 1 25 x x 1 5 x

This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 2 3 3L Ë ¯ Ë4¯ Ë¯ Ë ¯ Solving for the constant of integration, EAu ¢( L) = - Lp o + po L po L 5 kL2 11 LÊ 5 + kL 11 ˆ Á ˜ L+ 4 EA 24 = Ë 4 EA 24 ¯ C1 = kL kL 1+ 1+ EA EA Therefore, the u displacement is Ê 5 kL 11 ˆ LÁ + ˜ EAu ( x) x x 1Ê Lˆ Lˆ 3L ˆ Ê 3L ˆ Ê Ê Ë 4 EA 24 ¯ x =+ xÁ x - ˜ stpÁ x - ˜ - LÁ x ˜ stpÁ x ˜+ kL po 2 3L 3L Ë 2¯ 2¯ 4¯ Ë 4¯ Ë Ë 1+ EA kL Dividing both sides by L2 and letting a = , EA 2 3 3 Ê 5 kL 11 ˆ Á+ ˜ EAu ( x) 1Ê xˆ 1Ê x ˆ 1Ê x 1ˆ Ê x 1ˆ Ê x 3 ˆ Ê x 3 ˆ Ë 4 EA 24 ¯ Ê x ˆ = - Á ˜ + Á ˜ - Á - ˜ stpÁ - ˜ - LÁ - ˜ stpÁ - ˜ + Á˜ kL 2Ë L¯ 3Ë L¯ 3Ë L 2¯ po L2 Ë L 2¯ Ë L 4¯ Ë L 4¯ ËL¯ 1+ EA 2 3 3 9. The governing differential equation for this problem is ÊL ˆ EI yy w¢¢¢¢ = f z ( x) = - f o stpÁ - x ˜ Ë3 ¯ with the boundary conditions w(0) = w( L) = 0 EIw¢¢(0) = EIw¢¢( L) = 0 Solve by successively integrating the GDE Ê L ˆˆ ÊL ˆ Ê EI yy w¢¢¢¢ = f z ( x) = - f o stpÁ - x ˜ = - f z Á1 - stpÁ x - ˜ ˜ Á 3 ¯˜ Ë3 ¯ Ë Ë ¯ Ê Lˆ Ê L ˆˆ Ê EI yy w¢¢¢ = - f o Á x - Á x - ˜ stpÁ x - ˜ ˜ + C1 Á 3¯ Ë 3 ¯˜ Ë Ë ¯ 2 Ê x2 1 Ê Lˆ L ˆˆ Ê EI yy w¢¢ = - f o Á - Á x - ˜ stpÁ x - ˜ ˜ + C1 x + C 2 Á 2 2Ë 3¯ 3 ¯˜ Ë Ë ¯ Applying the second set of boundary conditions on w’’, EIw¢¢(0) = C 2 = 0 EIw¢¢( L) = 0 ﬁ C1 = fo L Ê L2 1 4 L2 ÁÁ2 2 9 Ë ˆ 5 ˜ = fo L ˜ 18 ¯ Returning to the GDE, 3 Ê x3 1 Ê Lˆ L ˆˆ x2 Ê EI yy w¢ = - fo Á - Á x - ˜ stpÁ x - ˜ ˜ + C1 + C3 Á 6 6Ë 3¯ 3 ¯˜ 2 Ë Ë ¯ 4 3 Ê x4 1 Ê ˆ Á - Á x - L ˆ stpÊ x - L ˆ ˜ + C1 x + C3 x + C4 EI yy w = - fo ˜ Á ˜˜ Á 24 24 Ë 3¯ 3 ¯¯ 6 Ë Ë From the first set of boundary equations, w(0) = 0 ﬁ C 4 = 0 w( L) = 0 ﬁ fo L Ê L4 1 Ê 2 L ˆ 4 ˆ C1 L3 25 Á - Á ˜ ˜=f o L3 Á 24 24 Ë 3 ¯ ˜ 6 L 1944 Ë ¯ Therefore, the non-dimensional deflection is EI yy w( x) f o L4 1 Êxˆ 1 Ê x 1ˆ 25 Ê x ˆ Ê x 1ˆ 5 Ê x ˆ = - Á ˜ + Á - ˜ stpÁ - ˜ + Á ˜Á˜ 24 Ë L ¯ 24 Ë L 3 ¯ Ë L 3 ¯ 108 Ë L ¯ 1944 Ë L ¯ 4 4 3 The non-dimensional bending moment EI yy w¢¢( x) f o L2 5 Ê x ˆ 1 Ê x 1ˆ Ê x 1ˆ 1 Ê x ˆ = Á ˜ + Á - ˜ stpÁ - ˜ + Á ˜ 18 Ë L ¯ 2 Ë L 3 ¯ Ë L 3¯ 2 Ë L ¯ 2 2 10. (a) deflection: Lˆ 3L ˆ Ê Ê EI yy w¢¢¢¢ = - Fod Á x - ˜ - M od Á x ˜ 4¯ 4¯ Ë Ë The boundary conditions are w(0) = w¢(0) = 0 EIw¢¢¢( L) - kw( L) = 0 EIw¢¢( L) - kq w¢( L) = 0 Integrating four times, Fo Ê Lˆ L ˆ M o Ê 3L ˆ x3 x2 Ê Ê 3L ˆ EIw( x) = - Á x - ˜ stpÁ x - ˜ Á x - ˜ stpÁ x - ˜ + C1 + C 2...
View Full Document

## This note was uploaded on 01/18/2010 for the course AE 322 taught by Professor Lambros during the Spring '04 term at University of Illinois at Urbana–Champaign.

Ask a homework question - tutors are online