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L ʼ optimisation sous contrainte: Le problème de Lagrange ECN-11487 - Théorie macroéconomique I Note complémentaire Benoît Carmichael Professeur Département d’économique Université Laval 31 juillet 2008 Introduction L'optimisation sous contrainte occupe une place importante en science économique. La macroéconomie n'y fait pas exception. Les décisions économiques impliquent la plupart du temps l'optimisation (maximisation ou minimisation) d'un objectif sujet à la satisfaction d'un certain nombre de contraintes. Le problème du consommateur cherchant à maximiser son utilité tout en respectant une contrainte budgétaire est probablement le premier problème de maximisation sous contrainte que vous avez rencontré en économique. Cette note de cours expose les rudiments de l'optimisation sous contrainte qui vous permettront de mieux comprendre la matière du cours. La discussion s'articule autour de l'exemple classique du consommateur qui maximise son utilité en ayant l'obligation de respecter une contrainte budgétaire. L'objectif n'est pas d'être général et rigoureux. Les cours Méthodes quantitatives pour économistes et Éléments d'optimisation en théorie économique ont ces objectifs. Plutôt, nous allons travailler à partir de l'exemple du consommateur et tenter de démontrer les résultats importants de manière assez intuitive. L'objectif ultime est de donner certains fondements théoriques au problème de Lagrange qui sera utilisé cette session. L'analyse s'attarde uniquement au développement des conditions (nécessaires) du premier ordre. En général, il faut aussi vérifier les conditions du second ordre. Toutefois, pour les problèmes développés en classe, les conditions du premier ordre seront nécessaires et suffisantes. Ce qui revient à dire que les conditions du second ordre sont toujours vérifiées. Par ailleurs, la discussion ignore les problèmes ayant plusieurs contraintes et traite uniquement le cas d'une contrainte à l'égalité. Le problème du consommateur Imaginez le choix entre la consommation des biens x et y d'un agent économique qui cherche à maximiser sa fonction d'utilité u H x , y L tout en respectant sa contrainte de budget m = p x ÿ x + p y ÿ y . Où, m , p x , et p y représentent le budget du consommateur, le prix du bien x et le prix du bien y . Mathématiquement, ce problème s'exprime de la façon suivante: (1) Choisir x et y pour maximiser u H x , y L sous la contrainte m = p x ÿ x + p y ÿ y
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Représentation graphique du problème Vos études de la science économique vous ont certainement appris à résoudre ce genre de problème graphiquement. Il est utile de commencer par un bref résumé des éléments clés de la résolution graphique du problème de consommation. Ces éléments nous aiderons par la suite à mieux comprendre et apprécier la portée de la solution mathématique du problème.
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