Lande_Marlboro_Plan_Of_Concentration_2008.pdf - A Plan of...

A Plan of Concentration in the Natural Sciences
Crystal Diffraction and Quantum
Wave Packet Scattering
Author:
Joshua Lande
Plan Sponsors:
Dr. Travis Norsen
Dr. James Mahoney
Marlboro College
Marlboro, Vermont
May, 2008

2

Table of Contents
Table of Contents 3
I Introduction 9
II A Discussion of Reflection and Transmission. . . 13
1 A Derivation of the Reflection and Transmission Coefficients 17
1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Normalization of the Energy Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 A Gaussian Wave Packet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 ψ as a Superposition of Energy Eigenstates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 The Time Evolution of ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 The R Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 The T Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Interpretation of Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9 Arbitrary Wave Packets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 A Special Case – The Step Potential 29
3 Another Example: the Finite Potential Barrier 33
3.1 The Eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 A Cute Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
III A Theoretical Discussion of Crystal Diffraction. . . 39
4 Crystal Diffraction 43
4.1 The Bravais Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 The Reciprocal Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Crystal Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Visualization of Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3

5 Powder Diffraction 51
6 Microwave Optics 55
IV Area Diffraction Machine Manual 59
7 Tips and Tricks 61
7.1 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 Masking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3 Caking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4 Integrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.5 Macro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8 An Example 65
9 Viewing Diffraction Data 79
9.1 File Formats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.2 Loading Multiple Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.3 Saving the Diffraction Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10 Detector Geometries 83
10.1 The Three Tilt Angels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2 The β Tilt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.3 The α Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.4 The R Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.5 Relationship to Pixel Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.6 Inverting the Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.7 Q , 2 θ , and χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
11 Calibration 91
11.1 The Calibration Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11.2 The Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.3 Calibrating With the Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.4 The “ Number of Chi? ” and “ Stddev? ” Input . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.5 Work in λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.6 Fixing Calibration Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.7 Displaying Constant Q Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.8 Displaying Constant Δ Q Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.9 Displaying Peaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.10Masking Peaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.11Saving the Peak List . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.12Handling Calibration Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.13Handling Q Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4

11.14The “ Get From Header? ” Input . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12 Pixel Masking 105
12.1 Threshold Masking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12.2 Polygon Masking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
12.3 Masking Caked Plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
13 Caking 113
13.1 The Caking Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
13.2 Caking with the Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
13.3 AutoCake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
13.4 Displaying Q and Δ Q Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
13.5 Displaying Peaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
13.6 Polarization Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
13.7 Working in 2 θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
13.8 Saving Cake Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
13.9 Saving Cake Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14 Intensity Integration 123
14.1 The Integration Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
14.2 Integrating with the Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
14.3 The Integration Window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
14.4 Working in 2 θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
14.5 AutoIntegrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
14.6 Constraining the Inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
14.7 Masking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
14.8 Saving Integrated Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
15 Macros 129
15.1 Record Macros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15.2 Run Macros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15.3 The Macro File Format . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
15.4 Looping Over Diffraction Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
15.5 The PATHNAME and FILENAME Commands . . . . . . . . . . . . . . . . 132
15.6 Loops Over Multiple Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
15.7 The FOLDERPATH and FOLDERNAME commands . . . . . . . . . . . . . 134
15.8 Setting Colors in a Macro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
15.9 Little Tidbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
15.10Macro Commands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
15.11What You Can’t Do With Macros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
16 Software Licensing 145
5

V Plan Exams 147
17 Comprehensive Exam, part1 149
17.1 A solid spherical ball of uniform mass density (e.g., a pool ball) rolls without 149
17.2 A planet orbits the sun under the influence of the gravitational force. Suppose 150
17.3 Alice and Bob are at opposite ends of a spaceship whose rest length L = 20 cs 153
17.4 The point of suspension of a pendulum (mass m , length L ) is allowed to move 156
17.5 A bucket full of water rotates at uniform angular velocity