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convergence test notes

convergence test notes -...

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*__Geometric series test (GST)__* -- This is the first test you should  try, always! The  reason for this is that it is so easy to look and see if your series is geometric. If a_n is  the product of factors all of which are linear powers of constants (like (2^n), or (-1)^n, or  e^(2n+1)), then the series is geometric. If there are any other factors, like (n^2) or (n!),  then the series isn't geometric. Since you can tell at a glance if the series applies, you  might   as   well   do   that   first. _*_Nth-term test (NTT)_*_ -- This should also always be one of the first tests you try.  Again, this is because it is usually very easy to tell at a glance if the sequence of terms,  {a_n}, is approaching zero or not. Remember, there are rules as to which factors tend  to overpower  which other factors -- generally the  order is that logs are the least  powerful, polynomials are more powerful, exponentials are even more powerful, and  factorials and n^n are even more powerful. Of course this list is not rigorous and for  each problem in which you claim to use the nth-term test you will have to show that the  limit of the sequence of individual terms does not approach zero; but, the list can be  used "at a glance" to see if the test will successfully apply. Remember also -- this test  can   only   demonstrate   divergence   --   it   can   never   be   used   to   show   convergence! _*_Alternating series test (AST)_*_ -- This is another test which, if it applies, is usually  fairly easy to spot, since each of the three conditions is usually noticeable. First, the  series has to be truly alternating, which is usually indicated by the terms being (-1)^n  a_n where a_n are all positive; that's pretty easy to tell by a glance. Second, the a_n 
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