Pertemuan 7 Integral

Pertemuan 7 Integral - INTEGRAL Materi • • • • •...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: INTEGRAL Materi • • • • • • Konsep Integral Integral Tak Tentu Rumus Dasar Integral Integrasi Tertentu Integrasi Parsial Berbagai Metoda Integrasi – Integration by part – Metoda substitusi – Integrasi pecahan rasional Materi • Penggunaan Integral – Luas Daerah Bidang Rata – Volume Benda dalam Ruang Lempengan, Cakram, Cincin – Volume Benda Putar – Panjang Kurva pada Bidang – Kerja Konsep Integral Integral adalah kebalikan dari diferensial d3 2 ( x + 5) = 3 x dx ∫ 3 x dx = x 2 3 +C Konstanta integral (C) harus selalu dicantumkan dalam suatu hasil integrasi suatu fungsi ∫ 3 x dx = x 2 3 +C Integral Tak Tentu Misal suatu fungsi dinyatakan: dF ( x) f ( x) = dx Maka fungsi F(x) dapat diperoleh kembali dengan integrasi: F ( x ) = ∫ f ( x ) dx + C Karena nilai C dapat sembarang, maka F(x) disebut integral tak tentu dari f(x). Integral Tertentu Jika fungsi f(x) adalah suatu fungsi kontinyu dalam interval x=a dan x=b, maka x =b x =a ∫ f ( x) dx = F (b) − F (a ) x=a x=b batas bawah integrasi batas atas integrasi Integrasi dari suatu fungsi linier Sering dijumpai integrasi suatu fungsi yang bentuknya mirip dengan rumus dasar tetapi variable bebas (x) diganti oleh suatu fungsi linear (dalam x). ∫ (5 x − 4) dx 6 mirip Penyelesaian, dimisalkan (5x-4) = z ∫x 6 dx dx ∫ z dx = ∫ z dz dz dimana: dx 1 1 = = dz dz dx 5 Sehingga, 16 117 ∫ z dx = 5 ∫ z dz = 5 ⋅ 7 z + C 1 6 7 ∫ (5 x − 4) dx = 35 (5 x − 4) + C 6 Coba selesaikan integrasi berikut ini: ∫ cos(7 x + 2) dx = ∫e 5 x+4 dx = Integrasi dalam bentuk dan ∫ f '( x) f ( x)dx ∫ f '( x) dx f ( x) Bentuk integrasi dapat dibawa ke bentuk rumus dasar integral ∫ f '( x) 1 dx = ∫ d [ f ( x)] f ( x) f ( x) ∫ f '( x) f ( x)dx = ∫ f ( x) d [ f ( x)] Contoh: 2x + 3 2 ∫ x 2 + 3x − 5 dx = ln( x + 3x − 5) + C 1 2 2 ∫ tan x ⋅ sec x dx = 2 tan x + C Coba selesaikan integrasi berikut ini: x−3 ∫ x 2 − 6 x + 2 dx = cos x ∫ 1 + sin x dx = Integrasi per bagian / parsial (integration by parts) Bila fungsi yang diintegralkan berupa perkalian fungsifungsi, di mana masing-masing bukan merupakan koefisien diferensial fungsi lainnya. Contoh: Jika u dan v adalah fungsi x d dv du (u ⋅ v) = u + v dx dx dx d dv du (u ⋅ v) dx = ∫ u dx + ∫ v dx ∫ dx dx dx dv du u ⋅v = ∫u dx + ∫ v dx dx dx dv du ∫ u dx dx = u ⋅ v − ∫ v dx dx Contoh: x 1 31 x 13 ∫ x ⋅ ln x dx = ln x ⋅ 3 − 3 ∫ x ⋅ x dx = 3 ln x − 9 x + C 2 3 3 e3 x 2 3 x e3 x 2 ⎡ e3 x 1 3 x ⎤ 2 3x 2 2 ∫ x e dx = x 3 − 3 ∫ e x dx = x 3 − 3 ⎢ x 3 − 3 ∫ e dx ⎥ ⎣ ⎦ 2 3x e3 x 2 2 3x =x − x⋅e + e + C 39 27 Coba selesaikan integrasi berikut ini: 1. 2. 3. ∫ x . sin x dx = e sin x dx = ∫ x ln x dx = ∫ 2 2x 3 4. ∫ 1+ x ln dx = 2 1− x 1− x x Jawaban: 1.∫ x 2 . sin x dx = − ∫ x 2 cos x = − x 2 cos x + 2 ∫ x cos x dx x 2 cos x + 2 ∫ x d sin x =− = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C 2. 1 2x ∫ e sin x dx = 5 e (2 sin x − cos x ) + C 2x Pemisalan: U = e2x dV =sin x dx = - dcosx dU = 2 e2x dx V = -cos x 13 13 3.∫ x . ln x dx = x ln x − x + C 3 9 2 METODE INTEGRASI Integral dari Bentuk Fungsi Goniometri Pembuktian Rumus-Rumus sin x + cos x = 1 2 2 Pitagoras = ; a +b = c 2 2 2 a sin x = c b cos x = c a2 b2 a2 + b2 c2 = 2 =1 sin 2 x + cos 2 x = 2 + 2 = 2 c c c c ; Pembuktian Rumus-Rumus 1 sin x = (1 − cos 2 x ) 2 2 Bukti : cos 2 x = cos x − sin x → bukti cari diinternet 2 2 cos 2 x = 1 − sin x − sin x = 1 − 2 sin x 2 2 2 ( ) 1 sin x = (1 − cos 2 x ) 2 2 Integral dari Bentuk : ∫ sin x cos x dx m n dimana m dan n bulat a) m bulat positif dan ganjil → misal : m = 2k + 1 sin m x cos n x = sin 2 k +1 x cos n x = sin 2 k − x cos n x sin x Jadi sin m x cos n xdx = sin 2 k x cos n x sin xdx = 1 − cos x cos n x[− d (cos x )] 2 k [ = − 1 − cos x cos n x d (cos x ) 2 k [ Jika n bulat positif dan ganjil → misal : n = 2k + 1 sin m x cos n x = sin m x cos (2 k +1) x = sin m x cos 2 k x cos x = sin x cos x cos x = sin x 1 − sin x cos x m 2 m 2 ( ) k [ k Jadi : m n m sin x cos x dx = sin x 1 − sin x cos x dx 2 [ k = sin x 1 − sin x d (sin x ) m 2 k [ Contoh soal ∫ sin ∫ 2 x cos x dx = ... 3 Cos x mempunyai pangkat ganjil → yaitu : n = 3 → jadi : sin 2 x cos 3 x dx = sin 2 x cos 2 x d (sin x ) = sin 2 x 1 − sin 2 x d (sin x ) ∫ ∫ ( ) = ∫( 15 13 sin x − sin x d (sin x ) = sin x − sin x + c 5 3 2 4 ) Contoh soal ∫ cos ∫ 4 2 x sin 2 x dx = ... 3 Sin 2x mempunyai pangkat ganjil → yaitu : m = 3 → jadi : ⎤ ⎡1 cos 2 x sin 2 x dx = cos 2 x sin 2 x sin 2 x ⎢ d (2 x )⎥ ⎦ ⎣2 4 3 ∫ 4 2 1 =− cos 4 2 x sin 2 2 x d (cos 2 x ) 2 1 =− cos 4 2 x (1 − cos 2 2 x )d (cos 2 x ) 2 ∫ ∫ 1 =− cos 4 2 x − cos 6 2 x d (cos 2 x ) 2 1 1 7 cos 2 x − cos 5 2 x + c = 14 10 ∫[ Coba Coba selesaikan integrasi berikut ini: 1. ∫ sin 3 3 x cos 3 x dx = ... 5 2. sin x dx = .... ∫ 5 1 1 cos 8 3 x − cos 6 3 x + c 24 18 1 2 cos 3 x − cos 5 x + c 5 3 Jawabannya adalah: 1. 2. = = − cos x + Jika m dan n bulat positif dan genap sin x cos x 2 m n diubah memakai rumus : 1 sin x = (1 − cos 2 x ) 2 1 2 cos x = (1 + cos 2 x ) 2 1 sin x cos x = sin 2 x 2 Contoh soal ∫ cos 3 x sin 3 x dx = 2 4 ⎡1 ⎤1 = ⎢ sin 6 x ⎥ [1 − cos 6 x ]dx ⎣2 ⎦2 1 = sin 2 6 x − sin 2 6 x cos 6 x dx 8 1 ⎧1 (1 − cos 12 x ) − sin 2 6 x cos 6 x ⎫dx = ⎨ ⎬ 8 ⎩2 ⎭ 1 1 1⎡ 1 ⎤ 2 sin 6 x d (sin 6 x )⎥ = ⎢ dx − cos 12 x d (12 x ) − 6 24 8⎣ 2 ⎦ 1 ⎡x 1 1 ⎤ sin 12 x − sin 3 6 x ⎥ + c =⎢− 8 ⎣ 2 24 18 ⎦ ∫ [cos 3 x sin 3 x] ∫ 2 2 sin 2 3 x dx ∫[ ∫ ∫ ∫ ∫ Coba selesaikan integrasi berikut ini: ∫ cos ∫ 4 x dx = ....... Jawabannya: 1 ⎡1 ⎤ cos 4 x dx = ⎢ (1 + cos 2 x )⎥ dx = 4 ⎣2 ⎦ ∫ 2 ∫ [1 + 2 cos 2 x + cos 2 2 x dx 1 1 ⎡3 ⎤ = ⎢ x + sin 2 x + sin 4 x ⎥ + c 8 4 ⎣2 ⎦ Jika m dan n bulat negatif, misal : m = -k, n = -h ∫ sin m x cos x dx = n ∫ = ∫ cos ec dx = cos ec k x sec h x dx sin k x cos h x ∫ k x sec h − 2 x sec 2 x dx Ingat… 1 ⎡ sin x ⎤ ⎛1⎞ d (tgx ) = d ⎢ d (sin x ) + sin x d ⎜ = ⎟ cos x ⎥ cos x cos x ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ cos x 1⎞ ⎛ = dx + sin x⎜ − ⎟(− sin x )dx 2 cos x ⎝ cos x ⎠ ⎡ sin 2 x ⎤ ⎡1⎤ dx = ⎢ dx = sec 2 x dx = ⎢1 + ⎥ 2 cos 2 x ⎦ ⎣ cos x ⎥ ⎦ ⎣ = cos ec k x sec h − 2 x sec 2 x dx k ∫ = ∫ cos ec ( x sec h − 2 x d (tgx ) ⎡ 1 ⎤ 2 ⎡ cos 2 cos ec x = cos ec x = ⎢ 2 ⎥ = ⎢1 + sin 2 ⎣ sin x ⎦ ⎣ k k ⎡ 1 ⎤ 2 ⎡ 1 + tg 2 x ⎤ 2 = ⎢1 + 2 ⎥ = ⎢ ⎥ 2 ⎣ tg x ⎦ ⎣ tg x ⎦ k 2 ) k k 2 x⎤ ⎥ x⎦ k 2 cos ec x = cos ec x k 2 ( ) k 2 ⎡1⎤ =⎢ 2 ⎥ ⎣ sin x ⎦ 2 k 2 ⎡ cos = ⎢1 + sin 2 ⎣ k 2 2 x⎤ ⎥ x⎦ k 2 ⎡ 1⎤ = ⎢1 + 2 ⎥ ⎣ tg x ⎦ k ⎡ 1 + tg x ⎤ =⎢ ⎥ tg 2 x ⎦ ⎣ 2 sec h−2 x = sec x 2 ( ) 2 (h − 2 ) 2 = 1 + tg x 2 ( ) (h − 2 ) 2 Jadi ⎡ 1 + tg x ⎤ =⎢ ⎥ tg 2 x ⎦ ⎣ ∫ 2 k (1 + tg x ) 2 (h − 2 ) 2 d (tgx ) = ∫ (1 + tg x ) 2 kh + −1 22 tg x k d (tgx ) = ∫ (1 + tg x ) 2 k ( k + h ) −1 2 tg x d (tgx ) Contoh soal ∫ dx = cos ec 2 2 x sec 4 2 x dx = cos ec 2 2 x sec 2 2 x sec 2 2 x dx sin 2 2 x cos 4 2 x ∫ ∫ = ∫ [1 + cot g ∫ 2 2 x 1 + tg 2 2 x d (tg 2 x ) [ ⎡ 1⎤ = ⎢1 + 2 ⎥ 1 + tg 2 2 x d (tg 2 x ) ⎣ tg 2 x ⎦ ⎤ ⎡ 1 2 = ⎢2 + 2 + tg 2 x ⎥ d (tg 2 x ) tg 2 x ⎦ ⎣ [ ∫ 1 13 = 2tg 2 x − + tg 2 x + c tg 2 x 3 ...
View Full Document

This note was uploaded on 02/18/2010 for the course CHEMENG pap taught by Professor Sumardi during the Spring '10 term at Imperial College.

Ask a homework question - tutors are online