aula6-LGR - Lugar Geomtrico das Razes Construdo diretamente...

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Lugar Geométrico das Raízes • Construído diretamente a partir dos pólos e zeros da função de transferência de malha aberta G ( s ) H ( s ). • Os pólos de malha fechada são solução da equação 1 + G(s)H(s) = 0, ou: arg( G ( s ) H ( s ) ) = ± 180 o (2 k +1), k = 0, 1, 2, . .. | G ( s ) H ( s ) | = 1 u Para cada ponto s o (do plano complexo s ) que satisfaz a condição de ângulo, arg( G ( s o )H( s o ) ), há um ganho K correspondente que satisfaz a condição de módulo. Lugar Geométrico das Raízes • LGR: Gráfico dos pólos de malha fechada para todos os valores do ganho K de 0 a . • Para traçarmos o gráfico, vimos que precisamos apenas achar os pontos que satisfazem a condição angular (a aplicação da condição do módulo dirá que valor de K corresponde a uma dada localização no LGR). • Primeiro passo : localizar os pólos (pontos de partida do LGR) e zeros (pontos de chegada do LGR) de malha aberta (ou seja, da função de transferência G ( s ) H ( s ) ). • A seguir : determinar que porções do eixo real pertencem ao LGR (ponto de teste s o ). Lugar Geométrico das Raízes Regra geral 1 : Os pontos no eixo real que encontram- se à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros são parte do LGR. (por que?) • Próximo passo :determinar o número de ramos do LGR. Regra geral 2 : Um ramo do LGR parte de cada pólo de malha aberta do sistema (correspondente a K = 0). Para K → ∞ , cada ramo irá terminar em um zero de malha aberta. Se o sistema tiver n pólos e m zeros finitos, com n m , m ramos irão terminar nos m zeros finitos, e os n m ramos restantes irão terminar nos n m zeros no infinito. ( Mas onde estão estes zeros no infinito?)
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Lugar Geométrico das Raízes Zeros no infinito e assíntotas – Regra geral 3 : Vimos que as assíntotas originam-se no eixo real no ponto: e partem ao longo dos ângulos: m n zeros pólos - - = σ ( 29 ... 2 , 1 , 0 , 1 2 180 = - + = θ k m n k o Lugar Geométrico das Raízes Exemplo: Passo 1 : Determinar os pólos e zeros de malha aberta • não há zeros de malha aberta; • pólos de malha aberta: Passo 2 : Determinar o LGR no eixo real o eixo real negativo (por que?) Passo 3 : Zeros no infinito 3 zeros no infinito e, portanto, 3 assíntotas (por que?) ( 29 1 ) ( , 2 2 1 ) ( 2 = + + = s H s s s s G j s s ± - = = 1 e 0 Lugar Geométrico das Raízes • Assíntotas : • ponto de partida: • ângulos: Passo 4 : Cada ramo do LGR parte de um pólo de malha aberta e termina em um zero finito (nenhum, neste caso) ou em um zero no infinito. • Um ramo inicia-se em
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