PsykensTopologi.pdf - PSYKENS TOPOLOGI Det matematiske grundlag for teorien om sanse og udvalgskategorier Breve til Selskabet for Teoretisk Psykologi

PsykensTopologi.pdf - PSYKENS TOPOLOGI Det matematiske...

This preview shows page 1 out of 376 pages.

Unformatted text preview: PSYKENS TOPOLOGI Det matematiske grundlag for teorien om sanse- og udvalgskategorier Breve til Selskabet for Teoretisk Psykologi Jens Mammen, Niels Engelsted Preben Bertelsen, Tia Hansen, Benny Karpatschof Erik Schultz, Jens Kvorning, Jan Riis Flor Med et bilag af Jørgen Hoffmann-Jørgensen Psykologisk Institut – Aarhus Universitet oktober 2000 i Redaktionsgruppen består af: Lars Hem (ansvarshavende redaktør), Mogens Agervold, Birgitte Diderichsen, Jens Mammen og Thomas Nielsen. Sekretariat: Ingrid Graversen, email: [email protected] Psykologisk Skriftserie kan bestilles skriftligt eller pr. telefon (8942 4900). © Jens Mammen, Niels Engelsted, m.fl. UDGIVET PÅ PSYKOLOGISK INSTITUT AARHUS UNIVERSITET, ASYLVEJ 4, 8240 RISSKOV RISSKOV, 2000 Tryk: Institut for Statskundskab ii INDHOLDSFORTEGNELSE Forord (Jens Mammen) ................................................................................. ix I Indledning (Studiebrev 1. Jens Mammen, 12.12.94) ............................ 1 Ia. Om studiebrevene ...................................................................... 1 Ib. Foreløbig emneliste .................................................................... 3 Ic. Litteratur .................................................................................... 4 Om mængder og mængdealgebra (Studiebrev 2. Jens Mammen, 12.12.94) ............................................... 6 IIa. Hvad er en mængde? ................................................................. 6 Spørgsmål om Zermelos axiom (Niels Engelsted, 14.12.94) ...... 11 Svar til Niels Engelsted (Jens Mammen, 16.12.94) ..................... 12 Kommentar (Jan Riis Flor, 16.12.94) ......................................... 16 Diskussion om matematisk konstruktivisme m.m. (Tia Hansen og Jens Mammen, 19.12.94) ........................................................ 17 Kommentar om Gödel og Gentzen (Benny Karpatschof, 22.12.94) ...................................................................................... 23 Svar til Benny Karpatschof (Jens Kvorning, 22.12.94) ............... 24 Mængdealgebra (Studiebrev 3. Jens Mammen, 03.01.95) ......... 25 Spørgsmål angående udvalgsaxiomet (Preben Bertelsen, 05.01.95) ...................................................................................... 34 Svar til Preben Bertelsen (Jens Mammen, 06.01.95) ................... 36 Nye spørgsmål angående udvalgsaxiomet (Preben Bertelsen, 09.01.95) ...................................................................................... 39 Personlig introduktion (Benny Karpatschof, 09.01.95) ............... 40 Status vedrørende studiebrevene med svar til flere (Jens Mammen, 11.01.95) ............................................................ 42 Om mængders størrelse. Endelige og uendelige mængder (Studiebrev 4. Jens Mammen, 16.01.95) ..................................... 44 IIc.1. Endelige mængder ............................................................ 44 II IIb. IIc. iii IIc.2. Uendelige mængder ......................................................... 48 Tilføjelse til Studiebrev 4 (Jens Mammen, 17.01.95) ................. 57 III Axiomatiske systemer (Studiebrev 5. Jens Mammen, 30.01.95) ........ 58 IIIa. Indledning .................................................................................. 58 IIIb. Fra Euklid og indtil Gödel. Fra naiv realisme til formalisme 58 Svar til Jan Riis Flor (Jens Mammen, 31.01.95) ........................ 66 Spørgsmål til Studiebrev 5. Hvad er ”en geometri”? (Tia Hansen, 03.02.95) ............................................................... 67 Svar til Tia Hansen (Jens Mammen, 06.02.95) ........................... 68 IIIc. Fra og med Gödel. Fra formalisme tilbage til realismen (Studiebrev 6. Jens Mammen, 27.03.95)....................................... 72 IIId. Modelteori .................................................................................. 81 Om Roger Penrose (Jens Mammen, 28.03.95) ........................... 85 IV Generel topologi (Studiebrev 7. Jens Mammen, 30.04.95) ................. 87 IVa. Indledning .................................................................................. 87 IVb. Topologiske rum ....................................................................... 89 IVc. Standardtopologien på den reelle talakse ............................... 96 Tilføjelse til Studiebrev 7. Eksempler på topologiske rum (Jens Mammen, 25.01.96.) .......................................................... 99 IVd. En basis i et topologisk rum (Studiebrev 8. Jens Mammen, 09.05.95) ..................................... 101 IVe. Standardtopologien på underrummet af rationelle tal ......... 102 IVf. Standardtopologien på det reelle plan R2 .............................. 105 IVg. Nogle topologiske grundbegreber ........................................... 107 IVh. Afbildninger (funktioner) (Studiebrev 9. Jens Mammen, 15.05.95) ............................................................ 112 IVi. Kontinuitet ................................................................................. 115 IVj. Homeomorfi og homotypi ........................................................ 119 Kommentarer til Studiebrev 9 (Benny Karpatschof, 31.05.95) .. 121 Svar til Benny Karpatschof (Jens Mammen, 01.06.95) .............. 123 iv V En interpretation af åbne mængder som afgørbare mængder (Studiebrev 10. Jens Mammen, 06.06.95) ............................................... 125 Va. Om afgørbarhed i matematikken ............................................. 125 Vb. Mandelbrots mængde som et eksempel på forbindelsen mellem åbenhed og afgørbarhed .............................................. 128 Vc. Sammenhængen mellem åbenhed i et ikke-algebraisk topologisk rum, asymmetrisk afgørbarhed, rekursivt numerable mængder og Turing’s halting problem ................ 133 Vd. Sammenhængen mellem åbenhed og afgørbarhed illustreret med måling og anden fysisk og psykofysisk interaktion som eksempel ...................................................................................... 135 Kommentarer til Benny Karpatschof og til Studiebrev 10 (Jens Mammen, 20.06.95) ............................................................ 139 VI Hausdorff-rum og perfekte topologiske rum (Studiebrev 11. Jens Mammen, 28.01.96) ............................................................................... 141 VII Sanse- og udvalgskategorier (Studiebrev 12. Jens Mammen, 12.02.96) 147 VIIa. Sansekategorier .......................................................................... 147 VIIb. Udvalgskategorier (Studiebrev 13. Jens Mammen, 25.02.96) ... 156 VIIc. Afgørbare kategorier, udvalgsaxiomet og ”maksimale perfekte topologier” (Studiebrev 14. Jens Mammen, 02.04.96) 165 VIId. Mere om maksimale perfekte topologier og ”Hoffmann’s Conjecture” (Studiebrev 15. Jens Mammen, 21.09.96) ............. 170 VIIe. Om maksimale og ikke-maksimale SU-rum (Studiebrev 16. Jens Mammen, 26.11.96) ............................................................. 181 Spørgsmål og svar om komplementaritet og/eller negation (Tia Hansen og Jens Mammen, 23.01.97) ........................................... 191 VIII Diskussion og interpretationer. Sanse- og udvalgskategoriernes semantik og syntaks (Studiebrev 17. Jens Mammen, 25.01.97) .......... 194 Kommentarer til Studiebrev 17 (Jens Mammen, 03.02.97) .................. 207 IX Om metoden i studiebrevene og i Den menneskelige sans, kap. 5. Hvorfor er matematikken nødvendig? (Studiebrev 18. Jens Mammen, 09.02.97) ....................................................................... 208 v Kommentarer til Studiebrev 18, specielt vedr. Axiom 4 (Hausdorff) (Jens Mammen, 13.-14.02.97) .............................................................. 219 X Interpretation af sansekategorierne (Studiebrev 19. Jens Mammen, 11.02.97) ............................................................................................... 221 XI Om sanse- og udvalgskategorier i fysisk rum og tid (Studiebrev 20. Jens Mammen, 25.08.97) ............................................ 224 XIa. Om tings tidslige, rumslige, numeriske og kvalitative identitet og ikke-identitet ......................................................... 224 XIb. Om tingenes kontinuerte bevægelse i det fysiske rum. Udvalgskategorierne i det diakrone univers af genstande (Studiebrev 21. Jens Mammen, 09.09.97) ................................... 232 XIc. Om den kontinuerte ændring af tingenes egenskaber. Indledende definition af t0-diakrone sansekategorier i det diakrone univers af genstande ................................................. 237 XId. Om korrespondensforholdet mellem de t0-synkrone og de t0diakrone sanse- og udvalgskategorier ..................................... 242 XIe. Generelle diakrone sanse- og udvalgskategorier. En nødvendig udvidelse af begrebet om tings eksistens. Den kompakt-åbne topologi for funktionsrum ...................... 246 Kommentarer til Studiebrev 21 m.m. (Jens Mammen, 15.09.97) 251 XII Afslutning og invitation (Studiebrev 22. Jens Mammen, 17.11.97) ... 252 XIIa. Mere om den synkrone og diakrone interpretation af sanse- og udvalgskategorierne ................................................. 252 XIIb. Om afgørelse og udvalg i matematikken. Udvalgsaxiomet ... 254 XIIc. Om mennesker og dyr .............................................................. 257 XIId. En invitation til fortsættelse ..................................................... 258 XIIe. Liste over axiomerne ................................................................ 259 Appendix. Om Axiom 8 (Jens Mammen, 27.11.97) ............................. 260 Indledende kommentarer (Efter Studiebrevene 1 (af 5). Niels Engelsted, 10.03.98) ............................................................................................... 262 Stykke i tre akter (Efter Studiebrevene 2 (af 5). Niels Engelsted, vi 11.03.98) ................................................................................................ 265 Hvorfor Jens’ matematiske teori er … god … og … svær … (Efter Studiebrevene 3 (af 5). Niels Engelsted, 12.03.98) ..................... 267 MAXI … En simpel fremstilling af det væsentlige (Efter Studiebrevene 4 (af 5). Niels Engelsted, 13.03.98) ..................... 275 Den fælles baggrund for MAXI og EPSY … (Efter Studiebrevene 4¼ (af 5). Niels Engelsted, 16.03.98) .................. 283 Hvor EPSY er uenig med MAPSY (Efter Studiebrevene 4½ (af 5). Niels Engelsted, 17.03.98) .................. 287 3M taxonomien kort fortalt (Efter Studiebrevene 4¾ (af 5). Niels Engelsted, 18.03.98) .................. 292 EPSY – det grundlæggende psykiske og dets struktur, 1. del. Liv, næring og den psyko-logiske verden (Efter Studiebrevene 5 (af 5), 1. del. Niels Engelsted, 23.03.98) .......... 297 EPSY – det grundlæggende psykiske og dets struktur, 2. del. Det psyko-logiskes episke struktur (Efter Studiebrevene 5 (af 5), 2. del. Niels Engelsted, 23.03.98) .......... 307 Kommentarer om dyrerækken og udvalgskategorisering (Preben Bertelsen, 18.03.98.) ................................................................ 317 Spørgsmål (Erik Schultz, 19.03.98.) ...................................................... 320 Svar til Erik Schultz (Jens Mammen, 19.04.98) .................................... 322 Svar til Preben Bertelsen (Jens Mammen, 27.04.98) ............................. 324 Uddybet svar til Preben Bertelsen (Jens Mammen, 06.05.98) .............. 326 The full MONTI. Foreløbigt svar til Niels Engelsted (Jens Mammen, 12.05.98) ...................................................................... 327 Litteraturliste ............................................................................................... 333 Liste over anvendte matematiske begreber m.v. ...................................... 339 Liste over anvendte symboler og tegn ........................................................ 350 BILAG Liste pr. 01.05.98 over STP-medlemmer Maximal Perfect Topologies (Jørgen Hoffmann-Jørgensen, 28.09.00) vii Forord. Jens Mammen FORORD I november 1994 fik Niels Engelsted fra Psykologisk Laboratorium, Københavns Universitet, ideen til - sammen med mig - at starte et "elektronisk kollokvium" med navnet Selskabet for Teoretisk Psykologi (STP). Kollokviet skulle være bygget op omkring en mailing-liste med deltagelse af kolleger fra de psykologiske institutter i Danmark og andre interesserede, efter invitation fra initiativtagerne. Som navnet antydede, skulle listen være et forum for diskussion af emner og problemer inden for teoretisk psykologi, hvilket i vores forståelse var teoretisk almen psykologi. Vi havde også allerede det første emne parat, nemlig Det matematiske grundlag for teorien om sanse- og udvalgskategorier, som jeg skulle fremstille i en række breve (der kom til at hedde "Studiebreve"), som de øvrige deltagere så skulle kommentere og stille spørgsmål til, som jeg så igen skulle forsøge at besvare. Den konkrete anledning til initiativet var, at jeg kort forinden over for Niels havde berettet om en videreudvikling af den matematik, som jeg havde benyttet mig af i kapitel 5 "En infinit logik" i min bog Den menneskelige sans til beskrivelse af et "strukturelt træk ved selve den praktisk-sanselige virksomhed, der forbinder menneske og omverden" (Mammen, 1983, bagsideteksten). Den 8. december 1994 startede så STP med et introduktionsbrev fra Niels Engelsted til de på det tidspunkt 22 deltagere. Siden er flere kommet til (se bilag bag i bogen "Liste pr. 01.05.98 over STP-medlemmer"). Introduktionsbrevet opregnede en række "spilleregler" for deltagelse i STP, bl.a. at alle breve blev skrevet som rent uformateret 7-bit DOS-tekst, altså uden de danske bogstaver æ, ø og å og alle andre tegn med ASCII-værdi over 127. Brevene skulle adresseres til forskellige "sektioner", f.eks. en "Bulletin-sektion" for diverse fri diskussion og en "Studie-sektion" reserveret til et bestemt emne, i første omgang det allerede omtalte. Selv om deltagerkredsen var lukket, blev det i reglerne præciseret, at bidrag var offentlige i den forstand, at "Studiesektionens input er til rimelig fri afbenyttelse mod behørig henvisning". Nærværende bog er min redigerede udgave af den korrespondance, som i perioden fra den 12. december 1994 til den 12. maj 1998, blev ført i "Studie-sektionen". Kun et enkelt brev er medtaget fra "Bulletin-sektionen", nemlig Benny Karpatschofs brev fra den 9. januar 1995. Brevene er stort set bragt i kronologisk rækkefølge. Dette er gjort for at bevare den dialogiske form, men svarer også til fremstillingens systematik, der kun i enkelte tilfælde har medført et brud på kronologien, som det også fremgår af indholdsfortegnelsen. viii Min redigering af brevene har hovedsagelig bestået i at konvertere dem fra 7-bit DOS-tekst til almindeligt tekst-format, at genskabe diverse omskrevne matematiske symboler, at lave kursiverede fremhævninger (oprindeligt angivet med versaler) og andre layoutmæssige forbedringer og at rette oplagte skrivefejl, også i andre forfatteres bidrag. Rettelser, som senere er blevet rundsendt, har jeg indarbejdet. Derudover har jeg udeladt en række bemærkninger, der enten var af mere privat karakter, vedrørte selve mediet eller omhandlede en "julekonkurrence", som jeg vil skåne læserne for. Alle udeladelser er markeret med [...]. Enkelte steder har jeg indsat forklarende bemærkninger eller henvisninger eller har - i mine egne bidrag - foretaget omformuleringer. De er overalt indsat i skarpe parenteser . På grund af teksternes særlige oprindelse kan det ikke undgås, at de i deres form afviger fra sædvanlige videnskabelige tekster, f.eks. ved anvendelse af direkte tiltale og benyttelse af fornavne. De medlemmer af STP, der omtales eller tiltales, kan dog i alle tilfælde identificeres af læseren ved hjælp af ovennævnte bilagte medlemsliste. Der forekommer også en række personlige kommentarer, som jeg har valgt at lade stå, fordi de er med til at bevare lidt af kollokviets stemning. En omskrivning til en traditionel tekst ville i alle tilfælde være en uoverkommelig opgave. Læseren vil også bemærke, at der ikke er litteraturhenvisninger i samme omfang som i sædvanlige videnskabelige tekster. Det gælder især den anvendte matematiske litteratur, som i stedet omtales mere summarisk i afsnit Ic "Litteratur". Når jeg overhovedet har valgt at udgive denne korrespondance fra STP, hænger det sammen med, at den trods ovenstående forbehold forekommer mig at rumme en systematisk og sammenhængende fremstilling og diskussion af nogle ideer, som jeg finder vigtige, og som jeg gerne vil have kommunikeret til en større kreds. Der er også en del af STP's andre medlemmer, som har udtrykt et lignende ønske. I december 1996 lavede STP-medlem Ole Elstrup Rasmussen en smukt redigeret tekst-udgave af hele korrespondancen i "Studie-sektionen" indtil da, som blev distribueret blandt medlemmerne og til enkelte andre. Det var med til at give mig lyst til senere at redigere og udgive den samlede korrespondance. Jeg takker Ole for initiativet og den store indsats! Siden maj 1996 har der under (kæle)navnene "Bennys hjælpeklasse" og "MAD" (Mammens Algebraiske Demonstrationer) været etableret en studiekreds på Psykologisk Laboratorium i København, som har diskuteret studiebrevene og den øvrige korrespondance. Den centrale person har her været Benny Karpatschof, der både er psykolog og matematiker. En stor tak til Benny og hjælpeklassen for at holde mig til ilden! ix Forord. Jens Mammen Jeg skylder også professor Ib Madsen og docent Jørgen Hoffmann-Jørgensen, Matematisk Institut, Aarhus Universitet stor tak. Ib Madsen for mangeårig interesse og hjælp og Jørgen Hoffmann-Jørgensen for sit bidrag til løsning af et matematisk problem, uden hvilket studiebrevene havde savnet en helt central pointe og i øvrigt slet ikke var kommet i gang (se bilag med Hoffmann-Jørgensens notat). Også tak til Jørgen Hoffmann-Jørgensen for inspirerende og lærerige samtaler om matematik! Tak til Anne Bjerg for at have læst kladderne til studiebrevene igennem, have diskuteret dem med mig og være kommet med mange forslag til forbedringer, både med hensyn til indhold og formuleringer. Tak til alle deltagerne i STP for gennem deres interesse og tålmodighed at have hjulpet mig, så studiebrevene faktisk har været noget af det mest lystbetonede arbejde, jeg har lavet, når bortses fra frustrationerne over hele tiden at blive afbrudt af andre opgaver. Det kom til at tage meget længere tid end planlagt. Mange af deltagerne i STP har mere uformelt og mundtligt diskuteret studiebrevene med mig. Men først og fremmest skylder jeg de medlemmer tak, som har vovet sig frem på listen med spørgsmål og kommentarer. Tak til Niels Engelsted, Preben Bertelsen, Tia Hansen, Benny Karpatschof, Erik Schultz, Jens Kvorning og Jan Riis Flor for, at de har givet mig tilladelse til at trykke deres redigerede indlæg. Specielt tak til Jørgen Hoffmann-Jørgensen for, at jeg som bilag måtte gengive hans notat fra september 2000. Jeg skylder også ingeniør Lejf Rasmussen, Institut for Psykologi, Københavns Universitet, tak for at have været en meget hjælpsom teknisk administrator af STP's mailing-liste. Desuden en meget varm tak til sekretær Lone Hansen, Psykologisk Institut, Aarhus Universitet, for med gode ideer og stor omhu at have lavet hele tekstbehandlingsarbejdet og layouten til denne udgivelse. Sidst og frem for alle takker jeg Niels Engelsted for at have taget initiativet til STP, for mange helt uundværlige diskussioner og for hans omfattende og perspektivrige kommentarer "Efter studiebrevene". Niels Engelsted og jeg har sammen et forskningsprojekt med overskriften Psykens topologi, hvortil denne udgivelse er et bidrag. Projektet indgår i vore institutters forskningsprogrammer og i Emotion, hukommelse og erkendelse. Et rammeprojekt om kognition og bevidsthed, også kaldet ROCOCO (Research On COgnition and COnsciousness), støttet af Statens Humanistiske Forskningsråd. Jeg takker i den forbinde...
View Full Document

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture