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Unformatted text preview: 第 3 次讨论课 April 15, 2005 ¶内容 1. 幂零变换; 2. 极小多项式; 3. Jordan 标准形. ¶教学要求 1. 掌握幂零变换和幂零矩阵的性质; 2. 会求极小多项式,并通过极小多项式确定 Jordan 标准形; 3. 给定矩阵 A, 会求 A 的 Jordan 标准形及可逆矩阵 P ,使得 P −1 AP = J . ¶练习题 Exercise 1 设 σ 是实数域上 3 维线性空间 V 的一个线性变换,它关于 V 的 某个基的矩阵是 6 −3 −2 4 −1 −2 10 −5 −3 (1) 求 σ 的极小多项式 m(x),并将 m(x) 在 R[x] 内分解为两个首项系数为 1 的不可约多项式的乘积:m(x) = m1 (x)m2 (x); (2) 令 Wi = {ξ ∈ V | mi (σ )ξ = 0},i = 1, 2,证明:Wi 是 σ 的不变子空间, 并且 V = W1 ⊕ W2 ; (3) 在每一个子空间 Wi 中选取一个基,凑成 V 的基,使得 σ 关于这个基的矩 阵里只出现 3 个非零元素. Exercise 2 设 σ 是 n 维复线性空间 V 上的线性变换,试证明存在可对角化 的线性变换 τ 和幂零变换 υ ,使得 σ = τ + υ, 且满足 τ υ = υτ . 如果已知 σ 在 V 的某个基下的矩阵是 31 2 2 22 试求出 τ 和 υ ,使得 σ = τ + υ . 1 −1 −1 0 Exercise 3 设 σ 是 n 维复线性空间 V 上的线性变换,举一个 5 阶矩阵为 例,说明求 σ 的 r(≤ n) 维不变子空间的一般方法. Exercise 4 试证明满足 Am = I 的 n 阶矩阵 A(其中 m 是某个正整数)相 似于对角矩阵. Exercise 5 设 σ 是 n 维复线性空间 V 上的线性变换,σ 在基 α1 , α2 , · · · , αn 下的矩阵是 A. (1) 怎样求包含 α1 的最小不变子空间? (2) ∀α ∈ V ,α = 0,怎样求包含 α 的最小不变子空间? 举一个 4 阶矩阵的例子,算一下. Exercise 6 设 N1 和 N2 都是 3 阶幂零矩阵. 证明 N1 与 N2 相似当且仅当它 们有相同的极小多项式. 如果 N1 和 N2 都是 4 阶幂零矩阵,上述论断是否还成立?为什么?举出两 个 4 阶幂零矩阵说明之. Exercise 7 设 6 阶复方阵 A 的特征多项式为 f (x) = (x − 2)2 (x + 3)4 ,极小 多项式为 m(x) = (x − 2)(x + 3)3 ,试写出 A 的 Jordan 标准形. 如果极小多项式为 m(x) = (x − 2)(x + 3)2 ,A 的 Jordan 标准形有几种可能的 形式? Exercise 8 设 20 0 0 6 −1 −1 0 A= 0 0 −1 0 , 00 0 −1 求可逆矩阵 P 和 Jordan 标准形 J ,使得 P −1 AP = J . 2 ...
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This note was uploaded on 03/25/2010 for the course MATH 40 taught by Professor F.yu during the Spring '05 term at Tsinghua University.

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