Lectures14and15 - ÈÓÛ Ö Ë Ö × Ï ÒÓÛ Ö ØÙÖÒ...

Info icon This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ÈÓÛ Ö Ë Ö × Ï ÒÓÛ Ö ØÙÖÒ ØÓ ÓÙÖ × Ù×× ÓÒ Ó Ì ÝÐÓÖ × Ö ×Ó Ø ÓÖÑ ×º ÅÓÖ Ò Ö ÐÐݸ ÔÓÛ Ö × Ö × ÒØ Ö Ø x0 × ÒÝ × Ö ∞ k=0 ´Ø Ø Ð Ö ³× Ö ØÓ Ï ÐÐÝ ÒÓ ck (x − x0 )k = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + · · · ÖÒ × Ù×Ø ØÛ ÒØ Ø ÖÑ× Ì ÝÓÖ × Ö ÒÓÛÐ × Û ÐÐ ××Ö ÓÒÚ Ö × Ò ÔÓÛ Ö × Ö × Ø ÖÑ ÔÓÛ Ö × Ö ÒÓÛ ÓÖ Û Ú Ó ×Ò³Ø ÑÔÐÝ Ó Ì ÝÐÓÖ³× ÓÖÑÙÐ µº Ï ³ º ËÓººº Û ÔÔÐÝ Ø Ú ÐÙ × Ó x Ø Ê Ø Ó Ì ×Ø k→∞ lim ak+1 ak = lim ck+1 (x − x0 )k+1 k→∞ ck (x − x0 )k ck+1 |x − x0 | = lim k→∞ ck ck+1 . = |x − x0 | lim k→∞ ck Ì Ö ÓÖ Ø ×Ö × ÓÒÚ Ö × ×ÓÐÙØ ÐÝ |x − x0 | lim ºº k→∞ ck+1 < 1, ck ck . ck+1 Ø Ò ×Ø ÌÓ Ð× ÑÓÖ Ø ÔÖ ØØ ×¸ |x − x0 | < ÐÐ Ø ×Ö Û × × ÐÑØ ∞ 1 limk→∞ ck+1 ck Ø × Ø Ø Ü ×Ø×µº = lim Ï ³Ú k→∞ R ´ ××ÙÑ Ò ÓÒÚ Ö k=0 Ò ×Ø Ø ck (x − x0 )k Ø Ø Ø ÒØ ÒØ ×ÓÐÙØ ÐÝ |x − x0 | < R. Ø ÓÐÐÓÛ Ò ×Ö ×Ö ÒØ × × ×Ö ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö × × ÓÒÐÝ × ÓÖ × • • • Á Á Á Ø R = 0, x = x0 . x. ØØ ØÛÓ ÔÓ ÒØ× R = ∞, Ò ÚÖ ÐÐ 0 < R < ∞, Ø Ø ×Ø ÓÒ ÓÒÚ Ö Ø ×Ö ×ÓÐÙØ ÐÝ ÓÖ ÓÒÚ Ö × ÓÖ Ú × ÒÓ Ø ÒÙÑ x < x0 − R, x > x0 + R. ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ÓØ ×Ø ØÓ Ö Ò ÚÖ × µº ÒØ Ö Ö ×Ö ×ÑÝ x (x0 − R, x0 + R) x = x0 ± R, ×ÓÐÙØ Ðݸ ØÑÝ Ò Û ÝÛ Ú ÓÒÚ Ö ÐÐ Ò Ï Ø Ø Û Ö ×Ö Ø ÓÒ ÐÐݸ ÓÖ Ø Ñ Ý ´ÒÓÛ ÝÓÙ × x0 Ö ØÓ Ø × ØØ ÐÐÝ Ò R Ö Ø Ù× Ó ×Û Ò Ò ÓÒÚ Ö Ì Ò ºÏ Ø Û ÐÐ Ø Ð×Ó ×Ô ÒÛ Ó ÒØ ÖÚ Ð Ó Û ÐÐ Ö ÓÒÚ Ö ØÛÓ Ò ØÓ ÒÚ ×Ø × ×Ø Ú ÓÙÖ Ó Ò ÔÓ ÒØ× ÓÙÖ ÓØ ÓÒÚ Ö x = x0 ± Rº ÓÒÐÝ Ò×Ø Ò Ø ×Ø× ½ ÆÓØ ÁÒ×Ø Ó Ð ÖÒ Ò Ö Ö Ò Ø ÓÛ Û ÓÚ Ö¸ Ö ×ÙÐØ Ò × ÓÖÑÙÐ ÔÔÐ ÐÔ ÝÓÙ ÓÖ Ø R¸ ØÑÝ Ò ÓÙÒØ Ö ÓÓ Ì ×Ö × × ÔÔ Ù×Ø ØÓ Ö Ñ Ñ Ú × ÝÓÙ ÓÒ ÖÒ Ð ×× Ø Ò ÒÓÒ¹×Ø Ò ÓØ Ø Û × ÑÔÐÝ ØÑ Ý Ê Ø Ó Ì ×Ø ÝÓÙ ØÓ Ö Ñ Ñ ÓÖÑ׺ Ü ÑÔÐ × ∞ µ ÓÒ× ÌÓ Ò ÖØ ×Ö × ÓÙظ Û k=0 ÔÔÐÝ Ø xk º k! ÓÖ Û Ø Ú ÐÙ × Ó x Ó ×Ø × ÓÒÚ Ö Ê Ø Ó Ì ×Ø k→∞ Ì ÆÓØ lim ak+1 1 xk+1 k! = |x| lim = lim · . k→∞ k + 1 k→∞ (k + 1)! xk ak ÐÐ × Ð Ñ Ø × Þ ÖÓ ÓÖ ØÖ ÐÐ Ø × x, Ð ×Ó Ø Ñ ÒÝ Ø ×Ö ÖÐ × ÖØ ÓÒÚ Ö ØØ Ú Ò ×¸ ÓÖ × ÕÙ Ò ÐÐ x xk k! Ø × Ø ÓÙ Ñ ØÛ Ð Ñ Ø Ó Þ ÖÓ Ö ×ÙÐØ ×Ö × ´ ÓÖ Ó ÝÓÙ ÙÒ k → ∞¸ ∞ ÓÖ x. Ï Ø Ù×Ø ÔÖÓÚ × ÒØ × Ô ÖØ Ö×Ø Ò Ó ÒÞ ÓÛ µ Ð×Ó¸ Û ³Ú ÙÐ Ö Ó ÝÓÙ Ö µ ÓÒ× ÖØ ×Ö × k !xk . k=0 Ì ×ØÑ Ø Ê Ø Ó Ì ×Ø Ú × Ù× k→∞ Ì Ù× × ÐÑØ Ò Ø ÙÐ µº lim (k + 1)!xk+1 ak+1 = lim k |x|. = lim k→∞ k→∞ ak k !xk Ü ×Ø ´Ø Ø ×Ö × × ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö ÔÔÖÓ × ÓÒÐÝ × Ø Ø× Ò Ò Øݵ ÙÒÐ ×× ÒØ Ö ´ÒÓØ Ú ÖÝ ÓÖ Ð× ØÓ Ö x = 0, ∞ µ ÓÒ× ÖØ ×Ö × k=1 (x − 3)k . k 4k ÓÖ Ø × ÓÒ Û Ò k→∞ lim (x − 3)k+1 k k 4k |x − 3| ak+1 = lim = lim · |x − 3| = . k+1 (x − 3)k k→∞ 4(k + 1) k→∞ (k + 1)4 ak 4 Ò ÓÒ ÐÙ Ø Ì ØØ Ö ×Ö ÓÖ Ò Ø Û Ò × ÓÒÚ Ö Ö Ù× Ó ´Ø × ×ÓÐÙØ ÐÝ ÓÒÚ Ö Ø ×¸ ÒÛ Ò Ï ºº Ø ÒØ ÖÚ Ð Ó ∞ |x − 3| < 4. Ü × |x − 3| < 1, 4 º ÌÓ Ø Ò Ö Ò ÓÙÖ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ×Ø Ø Ó× ØÛÓ ÔÓ ÒØ× Û |x − 3| = 4 ×Ö ×× ØÐݺ Ï Ðи Û k=1 ´Ø Ø ×¸ 1 ,Û k x−3 = 4 ÒÓÛ ØÓ ÚÖ x = 7µ¸ и ºÅ x − 3 = −4 ÓÒÚ Ö ×´ Ý ∞ ÒØ ×Ö ×× x = −1), Ø k=1 (−1)k , k Û ¾ Ø ÓÖ Ø ÆÓØ Ì Ö ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ò ×× Ö ËÖ × Ì ×صº Ì ÒØ ÖÚ Ð Ö ÓÖ Ø ÒØ ÖÚ Ð Ó ÓÒÚ Ö Ò × ×Ø [−1, 7). ÑØ Ð ÒØ Ö ×ظ ÒÛ Ò ÙØ Ø Û ÐÐ Ø ×¹ ܹ Ò Ø ÓÒ׺ Ò ÔÓ Òظ ÓÚ ÙÖ Ýµº ÚÒÛ Ü ÑÔÐ ×Ø ØÙ× Ó Ø × ØÓ ÓÒÚ Ö ÙØ Ò ÔÓ ÒØ× × Ó Ñ Ø Ò Ø ÔÔÐ Ò Ø ÙÐ × ÒØ ÒØ ×Ö Ø ÛÓÙÐ ÒÝ Ù× Ö Ö ÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Û ÐÐ Ù×Ù ÐÐÝ Ø ÖÑ× ØÓ ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö ÝÓÙ Ú ØÖ Ñ ÐÝ ×ÐÓÛÐÝ ´Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÔÔ Ò× ØÓ − ln(2)¸ Ø ÓÙ× Ò × Ó Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ó ÈÓÛ Ö Ë Ö × ÓÙ³Ú Ñ Ù× Ø Ø Ö × ÐÖ ×Ñ Ù× Ó Ý× ØÖ Ò ×ÓÑ ÚÒ ÓÒÚ Ö ØÓ Ò × ØÓ ÓØ Ð ÙÐ Ø ØÖ ×Û ÑÙÐØ ÔÐ Ì ÝÐÓÖ × Ö Ò ÑÔÐÓÝ ØÓ ÖÚ ØÚ ×Ó ×¸ Ò Û Ð ÙÐ Ø Ì ÝÐÓÖ ÔÓÐÝÒÓ¹ Ò Ð ÙÐ Ø Ð× Û Ø ÓÙØ Ð ÙÐ Ø f. ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ Û Ú ØÓ Ö ¹ ÓÒ³Ø Ì ÓÖ Ñ Á Ø ×Ö × Ò ck (x − x0 )k ×Ö Ù× Ó ÓÒÚ Ö Ò R, Ø ÒÛ • • • • Ò Ø ÒØ Ö ÒØ ÖØ Ø Ø ´Ø Öѹ Ý¹Ø Öѵ Ø ´Ø Öѹ Ý¹Ø Öѵ Ý ÓÒ×Ø ÒØ ´Ø Öѹ Ý¹Ø Öѵ ÒÓØ Ö Ö× Ö ×Ó Ö ÓÒÚ Ö Ò Ø Ò Ù× Ó ÓÒÚ Ö ÙÖØ × ÓÖ Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐÝ Ø ÖÓÙ Ø ´Ø Öѹ Ý¹Ø Öѵ ØÓ Ö ×ÙÐØ Û ÐÐ × Ö Ð×Ó ×Ø ÓÖ Ñ ÓÑÔÐ Ò× Ø Ú ÓÖ ≥R × ÓÔ Ö ¹ Ö ÒØ ¹ Ù× Ó Rº Û ÖÑÓÖ ¸ × Ò Ì ÝÐÓÖ × Ö Ø ×Ö » ÒØ ÁÒ Ø ×¸ ÙÒ ÕÙ f , x0 , n, Ô Ö ÓÖÑ Ø Ø ÓÒ× ÓÒ Ì ÝÐÓÖ × Ö ÖØ ÓÖÝ Ø ÙØ Ø Ø Ö Ì ×Ø × Ö ×ÙÐØ× Û ÐÐ »×ÙÑÑ Ò Ø ÓÒ ÜØ Ò Ö Ò ÒØ Ì ÝÐÓÖ × Ö ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ »ÑÙÐØ ÔÐ ÙÒ Ø ÓÒ× Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ø Ù× Ò Ú × ÓÒ Ó ØÛÓ ÖÖ Û ÓÙØ Ò ×º ÀÓÛ¹ Ó ×ÓÑ Ø Ó× ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ð ÓÙØ Ø × Û Ý ØÓ ØÓ ÒÓØ ÙÐÐ × Ö Ø Öѹ Ý¹Ø ÖÑ Ú Ö¸ Ø ÜÔ ×Ñ Ø Û ³ÐÐ Ö Ö ÐÝ Ò ÓÖ Ñ ×Ø ÐÐ Ø ÐÐ× Ù× ×ÓÑ Ø Ð× Ó Ø × ×ÓÖØ× Ó ÒØ ÖÚ Ð ÓÚ Ö Û ÙÐ ´Û ³ÐÐ Ø Ì ÝÐÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ü ÑÔÐ × Ó Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ× ×ÓÓÒµº Ü ÑÔÐ ∞ À Ö ³× Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø ×ÓÖØ× Ó Ø Ò ×Û Ò Ó ×Ö ÓÒ× ×ÛØ ÖØ Óѹ ×Ö × k=0 ÑÓÒ Ö Ø Ó ×¸ Ø× Ö xk = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · . Ì x, ×Ó Û ÒÓÛ Ø× ×ÙÑ Ò × ½µº Ø³× ×× ÓÑ ØÖ Ù× Ó ÓÒÚ Ö 1 ¸ 1−x Ò Ø ÓÒÚ Ö × ÓÖ |x| < 1 ´Ø Ø ¿ ÆÓÛ¸ Û ÓÙÐ Ö ÒØ Ø Ø ×¸ Ò Ø Ù× Ø ÖÑ Ò Ø Ø 1 = (1 − x)2 Ì × × Ø Ö ÒØ ÑÙ ×Ø Ò Ø Ø Ö Ö × Ù× Ò ∞ k=1 kxk−1 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · . Ø ÖÑ Ò Ò Û Ò Û Ø Å ÚÒ ÒÓÛ Ø Ð ÙÖ Ò × Ö Ú ØÓ Ò³Ø Ú × ÓÖ Ò Ö Û Ý ØÓ ÓÖÑÙÐ ¸ ÓÒÚ Ö ÓÒ³Ø ÔÔÐÝ Ø 1 Ò (1−x)2 Ø Ö Ø Ó Ø ×Ø ØÓ Û ÒÛ Ø ÖÑ Ò Ù× Ó ¸ ×Ó Ø³× ½ ÓÑÑ ÒØ ÆÓØ Ú Ò Ø ÓÙ ÔÔ Ò¸ Ò ÛØ Ò Ø Ø Ø Ø Û ³Ú ÓÖ Ù× ØÒ Ø Ø ÛÖ ØØ Ò Ø Ò Ð×Ö × ÔÔ Ö Ò Û× Ö Ø Û ×ÛØ Ø Ì Ö ÒØ Ò ×× Ø Ü ×Ø Öع Ù× ºÌ Ì Ø Ö ×º Á × Ò Ø Ø k = 1¸ ÐÛ Ý× ØÛ × ×Ø ÖØ k = 0. Ö×Ø Ø ÖÑ Û × Ó ×Ò³Ø ÓÒ×Ø Òظ ×Ó Ö ÒØ ÓÙÖ Ø ÒÛ ÐÛ Ý× ÐÛ Ý× × Ö×Ø Ø ÖÑ ÛÓÒ³Ø ×Ö ×¸ ÝÓÙ × ÓÙÐ ÓÙÐ Ð×Ó ÒØ ÓÒ×Ø ÒØ ÝÓÙÖ× Ð ÓÖ Ò Ð× Ö ÔÓ ÒØ × Ø Ö Û ÒÝ ÓØ ÓÒ×Ø ÒØ Ø ÖÑ׺ Ü ÑÔÐ ¸ Û ÓÒØ ÒÙ Ò ×¸ Û ÖØ Ø ∞ − ln(1 − x) = C + Ï Û Û Ø Ò ÑÑ ÓÛ ÓÛØ Ø Ø ÐÝ × Ø ×Ö Ø Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ó × ÒØ Ö k=0 xk+1 , k+1 Ï Ðи Ø ÈÐÙ Ò Ö ³× ÓÒ Ú ÐÙ Ø × ÒØÓ Ø ÖÓÙ ØÛ ´½µ Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø × Ðݸ Ò Ñ ÐÝ Ì x = 0. ÕÙ Ø ÓÒ ´½µ¸ Ý ¹½¸ Û Ú C = 0. ∞ ÓÖ ¸ ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò ln(1 − x) = − Ì × ×Ø Ï ÓÙÐ Å Ð ÙÖ Ò × Ö Ð×Ó Ø k=0 xk+1 x2 x3 x4 = −x − − − ··· . k+1 2 3 4 ln(1 − x), ∞ Ò Ò Ø × × ÓÖ × Ð×Ó × R = 1. ØÛÓ Ö ×ÙÐØ× 1 + ln(1 − x) = (1 − x)2 = ∞ k=1 ∞ n=0 kxk−1 − k=0 xk+1 k+1 ∞ n=1 (n + 1)x − ∞ n=1 ∞ n xn n xn n n=1 ∞ ∗ ∗∗ =1+ =1+ (n + 1)xn − n+1− 1n x n n=1 5 11 19 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · 2 3 4 ÓÖ Ø ×× Ö × × Û Ðк Ò Ò¸ Û ÒÓÛ Ø Ø R=1 ¶ ÀÖ Ò Ö × Û ³Ú Ö ¹Ò ÒØ Ø ×Ñ Ü × Ø ÓÒ ×Ö ×Ö ×¸ Ù× Ò ×º Ï n = k +1 × ØÓ ØÓ Ø ÓØ n=k−1 × ×Ó Ø ÓÖ Ø ÒØ ØÛ ×Û Ö×Ø × Ö Ò ÑÙ×Ø Ø Ú ×¸ ØÛÓ × Ö Ö Ò ×ÙÑÑ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÓÛ Ö Ò Ø ×Ñ Ø ÓØ º ØÛÓ × Ö ×Ø ÖØ Ò × ØÓ Ú ÐÙ Ø x ¶¶ Ë Ñ Ð ÖÐݸ Ò ÓÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÑÙ×Ø ×¸ Û ³Ú Ö ØÓ Ú Ø Ö Ò ×ÙÑÑ Ø ÓÒ ÒÓØ ¹ Ò Üº ÌÓ Ò Ú ÛÖ ØØ Ò Ö×Ø ×ÙÑ ÓÖ Ø Ö ÑÓÚ n=0 Ø ÖÑ ÖÓÑ Ø × Ø× ÓÛÒ Ø ÖѺ ÆÓØ ÇÙÖ Ø Ø ÒÛ Ø ×Ö ØØ ÒØ ÓÖ Ñ ÒÛ Ø ÓÒ ÖÒ× Ø ÙÒ Ø¸ Ò Ð´ ØÙ ÐÐÝ Ö Ò Ò Ù× Ó º ÁÒ Û ÑÝ ÓÒÚ Ö Ø¸ Û Ò × Ò ÓÒÐÝ Ò Ø Ø Ø Ó × ÒÓØ Ò Ò¹ Ø³× Ò Ò ØØ ½ Ù Ö ÒØ Ø Ü ¹½¸ Ò ÔÓ ÒØ Û ØÐÝ Û ÙØ Ø ÒØ ÖÚ Ð Û ÐÐ Ö ÒØ ÓÖ Ñ Ý ÐÓ× ÓÒÚ Ö ÚÖ × ÓÒÚ Ö Ò ÔÓ ÒØ Û Ö Ø º Á ÝÓÙ ÐÓÓ Ø ÓÙÖ Ö ×ÙÐØ× ÓÑ ØÖ ÓÒÚ Ö µ×Ö × ÓÚ ¸ ÝÓÙ³ÐÐ × Ø Ø ¹½º ÔÔ Ò × ÓÖ ÓØ ln(1 − x) ×Ö Ü ÑÔÐ Ì ÓÑ ØÖ Ò Ø × × Ò ÐÓ ÜØÖ Ñ ÐÝ Ù× ÖØÑ ÙÐ ÓÒ º Ï Ù×Ø Ò Ù× µ¸ Ø Ò Ø ØÓ Ó Ø ÖØÒ Û ×Ö Ò Ì ÝÐÓÖ ÒØ ´ Ý Ñ ÜÔ Ò× ÓÒ× ÓÖ Ø ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ ÓÖ Ò Ø ÚÖ × ÓÖ ØÝ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ׺ f (x) = x . 3 + 2x Ü ÑÔÐ ¸ ×ÙÔÔÓ× × × ÓÐÐÓÛ× x→ ÙÒ Ø ÓÒ ´ × Û −t2 Ò Ø Ò ÒØ Û Ö Ø Ò µ¸ Å Û ÒØ Ø Ð ÙÖ Ò Ï Ò x 3 + 2x =x x 3 x = 3 x = 3 = = 1 3 + 2x 1 · 1 + 2x 3 1 · 2 1 − (− 3 x) ∞ k 2 · −x 3 k=0 † ∞ k=0 Ï ×Ö Û ÓÖ Ø × ÓÒ ÓÒ ÒØ Ø × ×Ø ÓÒÚ Ö Ø Ö × Ù× Ó ÓÒÚ Ö Ò ºº (−1)k 2k xk+1 3k+1 Ï Ðи ØØ ØØ ØØ × Ò Ø Ö †† ×Ø Ô Ñ Ö ÓÐÐÓÛ Ò Ù× Ó † Û ÒÓÛ Ø 2 − x < 1, 3 ØÓÖ Ò ØÓÖ Ó ÒØ Û 3 |x| < º 2 Ó ×Ò³Ø ÛØ Ú ÓÒÚ Ö ÓÑÔÙØ ×Ñ ÐÐ Ö Ö × ×Ø Ô¸ Ñ Ö ÓÒÚ Ö Ò º †† , ÒÓÛ Ø ÜØÖ ×Ö ×Ö x, ×Ö 1 3 ÒÚ × ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ × Ö Ù× Ò Ø ×Ø × ×º Ì ØÙ ÐÐÝ Ù×Ø Ø × × ÑÔÐÝ ×µ¸ ×Ó Ø Ö Ò ÓÖ Ò Û ÔÔ Ò× ØÓ Ù× Ó Ð ÒÓÛ Ø × ÓÖ ØÓ Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ø ÖÑ ´ Ø³× ÒØ Ö ×Ö × Ö ×ÙÐØ Ò Ø ÖÑ Û Ø ÓÒ¸ Ö R = ∞º Ù× Ó ×Ö ÖÓÑ Ø ÓÒ Ø Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ñ ØØ Ö׺ Ì ÓÙÖ × Ö x f (x) = 3 + 2x ÓÒÚ Ö Ù× 3 R= . 2 Ì × ÙÐ Ò ÐÓ × ÏØ Ó ËÔ Ø ØÖ ×Ð Ø Ó× Ò Û ³Ú Ø Ù× Ù×Ø × Ù×× ÖÓÑ ¸Û Ù×Ø ÖØ Ò Ò Ò Å Ð ÙÖ Ò × Ö × ÙÐ × ÓÖ ÑÓ×Ø Ò ÐÓ ×º ÙÒ Ø ÓÒ× Û ³ÐÐ ÐÐݸ ÝÓÙ³ÐÐ Ò ÓÙÒØ Ö ÙÐ Ó ÓÐÐÓÛ Ò ÙÐ ØÓ Ö Ñ Ñ 1 1−x ex sin x cos x ÁÒ Å ÒÓÑ ÒÓÑ Ø Ñ ÛÖ Ø Ø Ø ÓÒ¸ Ø Ð ÙÖ Ò × Ö ÐÌ ÐÌ × ∞ = k=0 ∞ xk , xk , k! (−1)k (−1)k ÓÖ |x| < 1 ÐÐ = k=0 ∞ ÓÖ x ÓÖ ÐÐ = k=0 ∞ x2k+1 , (2k + 1)! x2k , (2k )! × Ð ÕÙ ÖÒ Ø Ò ÓÖ x = k=0 ÐÐ x ÛÖ Ø Ò ÓÓÐ Ò ÒØ ÐÐݸ Ø Û ÓÛÒ Ø Ö ×Ø × Ðݸ ÒÓÑ ÐËÖ × ÔÖÓÚ ÖØ Ú ÜÔ Ò Ö ×ØÖ ÛÝÓ ×× × × ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó ÓÖ Ñ¸ Û ÝÓÙ Ñ Ý ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ÛØ Ò ØÝÔ º Ì Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ ÓÖ Ñ ÐËÖ Ö ØÓ Ù× ÜÔÖ ×× ÓÒ× Ó Ø Ø ÓÒ Ø ×Ø (a + b)n ÒÓÑ × Ö ÑÓÚ × Ø ÙÒ Ø ÓÒ׸ Û nÒ a = 1µº ËÔ Ö ´ Ò ¸ ØÓ ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ (1+x)k = 1+kx+k (k −1) ÙØ ÖÑÓÖ ¸ Ø ×Ö x2 x3 xn +k (k −1)(k −2) +...+k (k −1) · · · (k −n+1) +.... 2! 3! n! ÓÒÚ Ö Ò ½º Ù× Ó 1 √ , 2−x Ü ÑÔÐ ÌÓ Û Ò Ø Ö×Ø Û Ø ÖÑ× Ó Ø Å Ð ÙÖ Ò × Ö × ÓÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÛÖ Ø 1 √ 2−x x 1 1 + − 2 2! 2 1 3 1 − − + 3! 2 2 1 32 53 1 x + ... = √ 1+ x+ x + 4 32 128 2 − Ò Û ÒÓÛ Ø ØØ ×× Ö × ÓÒÚ Ö × ÓÖ 1 1 =√ 1− x 2 2 x −1 1 2 = √ 1− 2 2 1 1 = √ 1+ − 2 2 − 3 2 5 − 2 − x 2 x − 2 2 3 + + ... − x < 1, 2 ºº ÓÖ |x| < 2. ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern