Lectures14and15

# Lectures14and15 - ÈÓÛ Ö Ë Ö × Ï ÒÓÛ Ö ØÙÖÒ...

This preview shows page 1. Sign up to view the full content.

This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ÈÓÛ Ö Ë Ö × Ï ÒÓÛ Ö ØÙÖÒ ØÓ ÓÙÖ × Ù×× ÓÒ Ó Ì ÝÐÓÖ × Ö ×Ó Ø ÓÖÑ ×º ÅÓÖ Ò Ö ÐÐÝ¸ ÔÓÛ Ö × Ö × ÒØ Ö Ø x0 × ÒÝ × Ö ∞ k=0 ´Ø Ø Ð Ö ³× Ö ØÓ Ï ÐÐÝ ÒÓ ck (x − x0 )k = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + · · · ÖÒ × Ù×Ø ØÛ ÒØ Ø ÖÑ× Ì ÝÓÖ × Ö ÒÓÛÐ × Û ÐÐ ××Ö ÓÒÚ Ö × Ò ÔÓÛ Ö × Ö × Ø ÖÑ ÔÓÛ Ö × Ö ÒÓÛ ÓÖ Û Ú Ó ×Ò³Ø ÑÔÐÝ Ó Ì ÝÐÓÖ³× ÓÖÑÙÐ µº Ï ³ º ËÓººº Û ÔÔÐÝ Ø Ú ÐÙ × Ó x Ø Ê Ø Ó Ì ×Ø k→∞ lim ak+1 ak = lim ck+1 (x − x0 )k+1 k→∞ ck (x − x0 )k ck+1 |x − x0 | = lim k→∞ ck ck+1 . = |x − x0 | lim k→∞ ck Ì Ö ÓÖ Ø ×Ö × ÓÒÚ Ö × ×ÓÐÙØ ÐÝ |x − x0 | lim ºº k→∞ ck+1 < 1, ck ck . ck+1 Ø Ò ×Ø ÌÓ Ð× ÑÓÖ Ø ÔÖ ØØ ×¸ |x − x0 | < ÐÐ Ø ×Ö Û × × ÐÑØ ∞ 1 limk→∞ ck+1 ck Ø × Ø Ø Ü ×Ø×µº = lim Ï ³Ú k→∞ R ´ ××ÙÑ Ò ÓÒÚ Ö k=0 Ò ×Ø Ø ck (x − x0 )k Ø Ø Ø ÒØ ÒØ ×ÓÐÙØ ÐÝ |x − x0 | < R. Ø ÓÐÐÓÛ Ò ×Ö ×Ö ÒØ × × ×Ö ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö × × ÓÒÐÝ × ÓÖ × • • • Á Á Á Ø R = 0, x = x0 . x. ØØ ØÛÓ ÔÓ ÒØ× R = ∞, Ò ÚÖ ÐÐ 0 < R < ∞, Ø Ø ×Ø ÓÒ ÓÒÚ Ö Ø ×Ö ×ÓÐÙØ ÐÝ ÓÖ ÓÒÚ Ö × ÓÖ Ú × ÒÓ Ø ÒÙÑ x < x0 − R, x > x0 + R. ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ÓØ ×Ø ØÓ Ö Ò ÚÖ × µº ÒØ Ö Ö ×Ö ×ÑÝ x (x0 − R, x0 + R) x = x0 ± R, ×ÓÐÙØ ÐÝ¸ ØÑÝ Ò Û ÝÛ Ú ÓÒÚ Ö ÐÐ Ò Ï Ø Ø Û Ö ×Ö Ø ÓÒ ÐÐÝ¸ ÓÖ Ø Ñ Ý ´ÒÓÛ ÝÓÙ × x0 Ö ØÓ Ø × ØØ ÐÐÝ Ò R Ö Ø Ù× Ó ×Û Ò Ò ÓÒÚ Ö Ì Ò ºÏ Ø Û ÐÐ Ø Ð×Ó ×Ô ÒÛ Ó ÒØ ÖÚ Ð Ó Û ÐÐ Ö ÓÒÚ Ö ØÛÓ Ò ØÓ ÒÚ ×Ø × ×Ø Ú ÓÙÖ Ó Ò ÔÓ ÒØ× ÓÙÖ ÓØ ÓÒÚ Ö x = x0 ± Rº ÓÒÐÝ Ò×Ø Ò Ø ×Ø× ½ ÆÓØ ÁÒ×Ø Ó Ð ÖÒ Ò Ö Ö Ò Ø ÓÛ Û ÓÚ Ö¸ Ö ×ÙÐØ Ò × ÓÖÑÙÐ ÔÔÐ ÐÔ ÝÓÙ ÓÖ Ø R¸ ØÑÝ Ò ÓÙÒØ Ö ÓÓ Ì ×Ö × × ÔÔ Ù×Ø ØÓ Ö Ñ Ñ Ú × ÝÓÙ ÓÒ ÖÒ Ð ×× Ø Ò ÒÓÒ¹×Ø Ò ÓØ Ø Û × ÑÔÐÝ ØÑ Ý Ê Ø Ó Ì ×Ø ÝÓÙ ØÓ Ö Ñ Ñ ÓÖÑ×º Ü ÑÔÐ × ∞ µ ÓÒ× ÌÓ Ò ÖØ ×Ö × ÓÙØ¸ Û k=0 ÔÔÐÝ Ø xk º k! ÓÖ Û Ø Ú ÐÙ × Ó x Ó ×Ø × ÓÒÚ Ö Ê Ø Ó Ì ×Ø k→∞ Ì ÆÓØ lim ak+1 1 xk+1 k! = |x| lim = lim · . k→∞ k + 1 k→∞ (k + 1)! xk ak ÐÐ × Ð Ñ Ø × Þ ÖÓ ÓÖ ØÖ ÐÐ Ø × x, Ð ×Ó Ø Ñ ÒÝ Ø ×Ö ÖÐ × ÖØ ÓÒÚ Ö ØØ Ú Ò ×¸ ÓÖ × ÕÙ Ò ÐÐ x xk k! Ø × Ø ÓÙ Ñ ØÛ Ð Ñ Ø Ó Þ ÖÓ Ö ×ÙÐØ ×Ö × ´ ÓÖ Ó ÝÓÙ ÙÒ k → ∞¸ ∞ ÓÖ x. Ï Ø Ù×Ø ÔÖÓÚ × ÒØ × Ô ÖØ Ö×Ø Ò Ó ÒÞ ÓÛ µ Ð×Ó¸ Û ³Ú ÙÐ Ö Ó ÝÓÙ Ö µ ÓÒ× ÖØ ×Ö × k !xk . k=0 Ì ×ØÑ Ø Ê Ø Ó Ì ×Ø Ú × Ù× k→∞ Ì Ù× × ÐÑØ Ò Ø ÙÐ µº lim (k + 1)!xk+1 ak+1 = lim k |x|. = lim k→∞ k→∞ ak k !xk Ü ×Ø ´Ø Ø ×Ö × × ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö ÔÔÖÓ × ÓÒÐÝ × Ø Ø× Ò Ò ØÝµ ÙÒÐ ×× ÒØ Ö ´ÒÓØ Ú ÖÝ ÓÖ Ð× ØÓ Ö x = 0, ∞ µ ÓÒ× ÖØ ×Ö × k=1 (x − 3)k . k 4k ÓÖ Ø × ÓÒ Û Ò k→∞ lim (x − 3)k+1 k k 4k |x − 3| ak+1 = lim = lim · |x − 3| = . k+1 (x − 3)k k→∞ 4(k + 1) k→∞ (k + 1)4 ak 4 Ò ÓÒ ÐÙ Ø Ì ØØ Ö ×Ö ÓÖ Ò Ø Û Ò × ÓÒÚ Ö Ö Ù× Ó ´Ø × ×ÓÐÙØ ÐÝ ÓÒÚ Ö Ø ×¸ ÒÛ Ò Ï ºº Ø ÒØ ÖÚ Ð Ó ∞ |x − 3| < 4. Ü × |x − 3| < 1, 4 º ÌÓ Ø Ò Ö Ò ÓÙÖ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ×Ø Ø Ó× ØÛÓ ÔÓ ÒØ× Û |x − 3| = 4 ×Ö ×× ØÐÝº Ï ÐÐ¸ Û k=1 ´Ø Ø ×¸ 1 ,Û k x−3 = 4 ÒÓÛ ØÓ ÚÖ x = 7µ¸ Ð¸ ºÅ x − 3 = −4 ÓÒÚ Ö ×´ Ý ∞ ÒØ ×Ö ×× x = −1), Ø k=1 (−1)k , k Û ¾ Ø ÓÖ Ø ÆÓØ Ì Ö ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ò ×× Ö ËÖ × Ì ×Øµº Ì ÒØ ÖÚ Ð Ö ÓÖ Ø ÒØ ÖÚ Ð Ó ÓÒÚ Ö Ò × ×Ø [−1, 7). ÑØ Ð ÒØ Ö ×Ø¸ ÒÛ Ò ÙØ Ø Û ÐÐ Ø ×¹ Ü¹ Ò Ø ÓÒ×º Ò ÔÓ ÒØ¸ ÓÚ ÙÖ Ýµº ÚÒÛ Ü ÑÔÐ ×Ø ØÙ× Ó Ø × ØÓ ÓÒÚ Ö ÙØ Ò ÔÓ ÒØ× × Ó Ñ Ø Ò Ø ÔÔÐ Ò Ø ÙÐ × ÒØ ÒØ ×Ö Ø ÛÓÙÐ ÒÝ Ù× Ö Ö ÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Û ÐÐ Ù×Ù ÐÐÝ Ø ÖÑ× ØÓ ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö ÝÓÙ Ú ØÖ Ñ ÐÝ ×ÐÓÛÐÝ ´Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÔÔ Ò× ØÓ − ln(2)¸ Ø ÓÙ× Ò × Ó Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ó ÈÓÛ Ö Ë Ö × ÓÙ³Ú Ñ Ù× Ø Ø Ö × ÐÖ ×Ñ Ù× Ó Ý× ØÖ Ò ×ÓÑ ÚÒ ÓÒÚ Ö ØÓ Ò × ØÓ ÓØ Ð ÙÐ Ø ØÖ ×Û ÑÙÐØ ÔÐ Ì ÝÐÓÖ × Ö Ò ÑÔÐÓÝ ØÓ ÖÚ ØÚ ×Ó ×¸ Ò Û Ð ÙÐ Ø Ì ÝÐÓÖ ÔÓÐÝÒÓ¹ Ò Ð ÙÐ Ø Ð× Û Ø ÓÙØ Ð ÙÐ Ø f. ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ¸ Û Ú ØÓ Ö ¹ ÓÒ³Ø Ì ÓÖ Ñ Á Ø ×Ö × Ò ck (x − x0 )k ×Ö Ù× Ó ÓÒÚ Ö Ò R, Ø ÒÛ • • • • Ò Ø ÒØ Ö ÒØ ÖØ Ø Ø ´Ø ÖÑ¹ Ý¹Ø ÖÑµ Ø ´Ø ÖÑ¹ Ý¹Ø ÖÑµ Ý ÓÒ×Ø ÒØ ´Ø ÖÑ¹ Ý¹Ø ÖÑµ ÒÓØ Ö Ö× Ö ×Ó Ö ÓÒÚ Ö Ò Ø Ò Ù× Ó ÓÒÚ Ö ÙÖØ × ÓÖ Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐÝ Ø ÖÓÙ Ø ´Ø ÖÑ¹ Ý¹Ø ÖÑµ ØÓ Ö ×ÙÐØ Û ÐÐ × Ö Ð×Ó ×Ø ÓÖ Ñ ÓÑÔÐ Ò× Ø Ú ÓÖ ≥R × ÓÔ Ö ¹ Ö ÒØ ¹ Ù× Ó Rº Û ÖÑÓÖ ¸ × Ò Ì ÝÐÓÖ × Ö Ø ×Ö » ÒØ ÁÒ Ø ×¸ ÙÒ ÕÙ f , x0 , n, Ô Ö ÓÖÑ Ø Ø ÓÒ× ÓÒ Ì ÝÐÓÖ × Ö ÖØ ÓÖÝ Ø ÙØ Ø Ø Ö Ì ×Ø × Ö ×ÙÐØ× Û ÐÐ »×ÙÑÑ Ò Ø ÓÒ ÜØ Ò Ö Ò ÒØ Ì ÝÐÓÖ × Ö ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ »ÑÙÐØ ÔÐ ÙÒ Ø ÓÒ× Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ø Ù× Ò Ú × ÓÒ Ó ØÛÓ ÖÖ Û ÓÙØ Ò ×º ÀÓÛ¹ Ó ×ÓÑ Ø Ó× ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ð ÓÙØ Ø × Û Ý ØÓ ØÓ ÒÓØ ÙÐÐ × Ö Ø ÖÑ¹ Ý¹Ø ÖÑ Ú Ö¸ Ø ÜÔ ×Ñ Ø Û ³ÐÐ Ö Ö ÐÝ Ò ÓÖ Ñ ×Ø ÐÐ Ø ÐÐ× Ù× ×ÓÑ Ø Ð× Ó Ø × ×ÓÖØ× Ó ÒØ ÖÚ Ð ÓÚ Ö Û ÙÐ ´Û ³ÐÐ Ø Ì ÝÐÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ü ÑÔÐ × Ó Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ× ×ÓÓÒµº Ü ÑÔÐ ∞ À Ö ³× Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø ×ÓÖØ× Ó Ø Ò ×Û Ò Ó ×Ö ÓÒ× ×ÛØ ÖØ ÓÑ¹ ×Ö × k=0 ÑÓÒ Ö Ø Ó ×¸ Ø× Ö xk = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · . Ì x, ×Ó Û ÒÓÛ Ø× ×ÙÑ Ò × ½µº Ø³× ×× ÓÑ ØÖ Ù× Ó ÓÒÚ Ö 1 ¸ 1−x Ò Ø ÓÒÚ Ö × ÓÖ |x| < 1 ´Ø Ø ¿ ÆÓÛ¸ Û ÓÙÐ Ö ÒØ Ø Ø ×¸ Ò Ø Ù× Ø ÖÑ Ò Ø Ø 1 = (1 − x)2 Ì × × Ø Ö ÒØ ÑÙ ×Ø Ò Ø Ø Ö Ö × Ù× Ò ∞ k=1 kxk−1 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · . Ø ÖÑ Ò Ò Û Ò Û Ø Å ÚÒ ÒÓÛ Ø Ð ÙÖ Ò × Ö Ú ØÓ Ò³Ø Ú × ÓÖ Ò Ö Û Ý ØÓ ÓÖÑÙÐ ¸ ÓÒÚ Ö ÓÒ³Ø ÔÔÐÝ Ø 1 Ò (1−x)2 Ø Ö Ø Ó Ø ×Ø ØÓ Û ÒÛ Ø ÖÑ Ò Ù× Ó ¸ ×Ó Ø³× ½ ÓÑÑ ÒØ ÆÓØ Ú Ò Ø ÓÙ ÔÔ Ò¸ Ò ÛØ Ò Ø Ø Ø Ø Û ³Ú ÓÖ Ù× ØÒ Ø Ø ÛÖ ØØ Ò Ø Ò Ð×Ö × ÔÔ Ö Ò Û× Ö Ø Û ×ÛØ Ø Ì Ö ÒØ Ò ×× Ø Ü ×Ø ÖØ¹ Ù× ºÌ Ì Ø Ö ×º Á × Ò Ø Ø k = 1¸ ÐÛ Ý× ØÛ × ×Ø ÖØ k = 0. Ö×Ø Ø ÖÑ Û × Ó ×Ò³Ø ÓÒ×Ø ÒØ¸ ×Ó Ö ÒØ ÓÙÖ Ø ÒÛ ÐÛ Ý× ÐÛ Ý× × Ö×Ø Ø ÖÑ ÛÓÒ³Ø ×Ö ×¸ ÝÓÙ × ÓÙÐ ÓÙÐ Ð×Ó ÒØ ÓÒ×Ø ÒØ ÝÓÙÖ× Ð ÓÖ Ò Ð× Ö ÔÓ ÒØ × Ø Ö Û ÒÝ ÓØ ÓÒ×Ø ÒØ Ø ÖÑ×º Ü ÑÔÐ ¸ Û ÓÒØ ÒÙ Ò ×¸ Û ÖØ Ø ∞ − ln(1 − x) = C + Ï Û Û Ø Ò ÑÑ ÓÛ ÓÛØ Ø Ø ÐÝ × Ø ×Ö Ø Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ó × ÒØ Ö k=0 xk+1 , k+1 Ï ÐÐ¸ Ø ÈÐÙ Ò Ö ³× ÓÒ Ú ÐÙ Ø × ÒØÓ Ø ÖÓÙ ØÛ ´½µ Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø × ÐÝ¸ Ò Ñ ÐÝ Ì x = 0. ÕÙ Ø ÓÒ ´½µ¸ Ý ¹½¸ Û Ú C = 0. ∞ ÓÖ ¸ ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò ln(1 − x) = − Ì × ×Ø Ï ÓÙÐ Å Ð ÙÖ Ò × Ö Ð×Ó Ø k=0 xk+1 x2 x3 x4 = −x − − − ··· . k+1 2 3 4 ln(1 − x), ∞ Ò Ò Ø × × ÓÖ × Ð×Ó × R = 1. ØÛÓ Ö ×ÙÐØ× 1 + ln(1 − x) = (1 − x)2 = ∞ k=1 ∞ n=0 kxk−1 − k=0 xk+1 k+1 ∞ n=1 (n + 1)x − ∞ n=1 ∞ n xn n xn n n=1 ∞ ∗ ∗∗ =1+ =1+ (n + 1)xn − n+1− 1n x n n=1 5 11 19 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · 2 3 4 ÓÖ Ø ×× Ö × × Û ÐÐº Ò Ò¸ Û ÒÓÛ Ø Ø R=1 ¶ ÀÖ Ò Ö × Û ³Ú Ö ¹Ò ÒØ Ø ×Ñ Ü × Ø ÓÒ ×Ö ×Ö ×¸ Ù× Ò ×º Ï n = k +1 × ØÓ ØÓ Ø ÓØ n=k−1 × ×Ó Ø ÓÖ Ø ÒØ ØÛ ×Û Ö×Ø × Ö Ò ÑÙ×Ø Ø Ú ×¸ ØÛÓ × Ö Ö Ò ×ÙÑÑ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÓÛ Ö Ò Ø ×Ñ Ø ÓØ º ØÛÓ × Ö ×Ø ÖØ Ò × ØÓ Ú ÐÙ Ø x ¶¶ Ë Ñ Ð ÖÐÝ¸ Ò ÓÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÑÙ×Ø ×¸ Û ³Ú Ö ØÓ Ú Ø Ö Ò ×ÙÑÑ Ø ÓÒ ÒÓØ ¹ Ò Üº ÌÓ Ò Ú ÛÖ ØØ Ò Ö×Ø ×ÙÑ ÓÖ Ø Ö ÑÓÚ n=0 Ø ÖÑ ÖÓÑ Ø × Ø× ÓÛÒ Ø ÖÑº ÆÓØ ÇÙÖ Ø Ø ÒÛ Ø ×Ö ØØ ÒØ ÓÖ Ñ ÒÛ Ø ÓÒ ÖÒ× Ø ÙÒ Ø¸ Ò Ð´ ØÙ ÐÐÝ Ö Ò Ò Ù× Ó º ÁÒ Û ÑÝ ÓÒÚ Ö Ø¸ Û Ò × Ò ÓÒÐÝ Ò Ø Ø Ø Ó × ÒÓØ Ò Ò¹ Ø³× Ò Ò ØØ ½ Ù Ö ÒØ Ø Ü ¹½¸ Ò ÔÓ ÒØ Û ØÐÝ Û ÙØ Ø ÒØ ÖÚ Ð Û ÐÐ Ö ÒØ ÓÖ Ñ Ý ÐÓ× ÓÒÚ Ö ÚÖ × ÓÒÚ Ö Ò ÔÓ ÒØ Û Ö Ø º Á ÝÓÙ ÐÓÓ Ø ÓÙÖ Ö ×ÙÐØ× ÓÑ ØÖ ÓÒÚ Ö µ×Ö × ÓÚ ¸ ÝÓÙ³ÐÐ × Ø Ø ¹½º ÔÔ Ò × ÓÖ ÓØ ln(1 − x) ×Ö Ü ÑÔÐ Ì ÓÑ ØÖ Ò Ø × × Ò ÐÓ ÜØÖ Ñ ÐÝ Ù× ÖØÑ ÙÐ ÓÒ º Ï Ù×Ø Ò Ù× µ¸ Ø Ò Ø ØÓ Ó Ø ÖØÒ Û ×Ö Ò Ì ÝÐÓÖ ÒØ ´ Ý Ñ ÜÔ Ò× ÓÒ× ÓÖ Ø ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ ÓÖ Ò Ø ÚÖ × ÓÖ ØÝ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ×º f (x) = x . 3 + 2x Ü ÑÔÐ ¸ ×ÙÔÔÓ× × × ÓÐÐÓÛ× x→ ÙÒ Ø ÓÒ ´ × Û −t2 Ò Ø Ò ÒØ Û Ö Ø Ò µ¸ Å Û ÒØ Ø Ð ÙÖ Ò Ï Ò x 3 + 2x =x x 3 x = 3 x = 3 = = 1 3 + 2x 1 · 1 + 2x 3 1 · 2 1 − (− 3 x) ∞ k 2 · −x 3 k=0 † ∞ k=0 Ï ×Ö Û ÓÖ Ø × ÓÒ ÓÒ ÒØ Ø × ×Ø ÓÒÚ Ö Ø Ö × Ù× Ó ÓÒÚ Ö Ò ºº (−1)k 2k xk+1 3k+1 Ï ÐÐ¸ ØØ ØØ ØØ × Ò Ø Ö †† ×Ø Ô Ñ Ö ÓÐÐÓÛ Ò Ù× Ó † Û ÒÓÛ Ø 2 − x < 1, 3 ØÓÖ Ò ØÓÖ Ó ÒØ Û 3 |x| < º 2 Ó ×Ò³Ø ÛØ Ú ÓÒÚ Ö ÓÑÔÙØ ×Ñ ÐÐ Ö Ö × ×Ø Ô¸ Ñ Ö ÓÒÚ Ö Ò º †† , ÒÓÛ Ø ÜØÖ ×Ö ×Ö x, ×Ö 1 3 ÒÚ × ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ × Ö Ù× Ò Ø ×Ø × ×º Ì ØÙ ÐÐÝ Ù×Ø Ø × × ÑÔÐÝ ×µ¸ ×Ó Ø Ö Ò ÓÖ Ò Û ÔÔ Ò× ØÓ Ù× Ó Ð ÒÓÛ Ø × ÓÖ ØÓ Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ø ÖÑ ´ Ø³× ÒØ Ö ×Ö × Ö ×ÙÐØ Ò Ø ÖÑ Û Ø ÓÒ¸ Ö R = ∞º Ù× Ó ×Ö ÖÓÑ Ø ÓÒ Ø Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ñ ØØ Ö×º Ì ÓÙÖ × Ö x f (x) = 3 + 2x ÓÒÚ Ö Ù× 3 R= . 2 Ì × ÙÐ Ò ÐÓ × ÏØ Ó ËÔ Ø ØÖ ×Ð Ø Ó× Ò Û ³Ú Ø Ù× Ù×Ø × Ù×× ÖÓÑ ¸Û Ù×Ø ÖØ Ò Ò Ò Å Ð ÙÖ Ò × Ö × ÙÐ × ÓÖ ÑÓ×Ø Ò ÐÓ ×º ÙÒ Ø ÓÒ× Û ³ÐÐ ÐÐÝ¸ ÝÓÙ³ÐÐ Ò ÓÙÒØ Ö ÙÐ Ó ÓÐÐÓÛ Ò ÙÐ ØÓ Ö Ñ Ñ 1 1−x ex sin x cos x ÁÒ Å ÒÓÑ ÒÓÑ Ø Ñ ÛÖ Ø Ø Ø ÓÒ¸ Ø Ð ÙÖ Ò × Ö ÐÌ ÐÌ × ∞ = k=0 ∞ xk , xk , k! (−1)k (−1)k ÓÖ |x| < 1 ÐÐ = k=0 ∞ ÓÖ x ÓÖ ÐÐ = k=0 ∞ x2k+1 , (2k + 1)! x2k , (2k )! × Ð ÕÙ ÖÒ Ø Ò ÓÖ x = k=0 ÐÐ x ÛÖ Ø Ò ÓÓÐ Ò ÒØ ÐÐÝ¸ Ø Û ÓÛÒ Ø Ö ×Ø × ÐÝ¸ ÒÓÑ ÐËÖ × ÔÖÓÚ ÖØ Ú ÜÔ Ò Ö ×ØÖ ÛÝÓ ×× × × ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó ÓÖ Ñ¸ Û ÝÓÙ Ñ Ý ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ÛØ Ò ØÝÔ º Ì Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ ÓÖ Ñ ÐËÖ Ö ØÓ Ù× ÜÔÖ ×× ÓÒ× Ó Ø Ø ÓÒ Ø ×Ø (a + b)n ÒÓÑ × Ö ÑÓÚ × Ø ÙÒ Ø ÓÒ×¸ Û nÒ a = 1µº ËÔ Ö ´ Ò ¸ ØÓ ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ (1+x)k = 1+kx+k (k −1) ÙØ ÖÑÓÖ ¸ Ø ×Ö x2 x3 xn +k (k −1)(k −2) +...+k (k −1) · · · (k −n+1) +.... 2! 3! n! ÓÒÚ Ö Ò ½º Ù× Ó 1 √ , 2−x Ü ÑÔÐ ÌÓ Û Ò Ø Ö×Ø Û Ø ÖÑ× Ó Ø Å Ð ÙÖ Ò × Ö × ÓÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÛÖ Ø 1 √ 2−x x 1 1 + − 2 2! 2 1 3 1 − − + 3! 2 2 1 32 53 1 x + ... = √ 1+ x+ x + 4 32 128 2 − Ò Û ÒÓÛ Ø ØØ ×× Ö × ÓÒÚ Ö × ÓÖ 1 1 =√ 1− x 2 2 x −1 1 2 = √ 1− 2 2 1 1 = √ 1+ − 2 2 − 3 2 5 − 2 − x 2 x − 2 2 3 + + ... − x < 1, 2 ºº ÓÖ |x| < 2. ...
View Full Document

{[ snackBarMessage ]}

### What students are saying

• As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

• I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

• The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern