Lectures14and15

Lectures14and15 - ÈÓÛ Ö Ë Ö × Ï ÒÓÛ Ö ØÙÖÒ...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: ÈÓÛ Ö Ë Ö × Ï ÒÓÛ Ö ØÙÖÒ ØÓ ÓÙÖ × Ù×× ÓÒ Ó Ì ÝÐÓÖ × Ö ×Ó Ø ÓÖÑ ×º ÅÓÖ Ò Ö ÐÐݸ ÔÓÛ Ö × Ö × ÒØ Ö Ø x0 × ÒÝ × Ö ∞ k=0 ´Ø Ø Ð Ö ³× Ö ØÓ Ï ÐÐÝ ÒÓ ck (x − x0 )k = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + · · · ÖÒ × Ù×Ø ØÛ ÒØ Ø ÖÑ× Ì ÝÓÖ × Ö ÒÓÛÐ × Û ÐÐ ××Ö ÓÒÚ Ö × Ò ÔÓÛ Ö × Ö × Ø ÖÑ ÔÓÛ Ö × Ö ÒÓÛ ÓÖ Û Ú Ó ×Ò³Ø ÑÔÐÝ Ó Ì ÝÐÓÖ³× ÓÖÑÙÐ µº Ï ³ º ËÓººº Û ÔÔÐÝ Ø Ú ÐÙ × Ó x Ø Ê Ø Ó Ì ×Ø k→∞ lim ak+1 ak = lim ck+1 (x − x0 )k+1 k→∞ ck (x − x0 )k ck+1 |x − x0 | = lim k→∞ ck ck+1 . = |x − x0 | lim k→∞ ck Ì Ö ÓÖ Ø ×Ö × ÓÒÚ Ö × ×ÓÐÙØ ÐÝ |x − x0 | lim ºº k→∞ ck+1 < 1, ck ck . ck+1 Ø Ò ×Ø ÌÓ Ð× ÑÓÖ Ø ÔÖ ØØ ×¸ |x − x0 | < ÐÐ Ø ×Ö Û × × ÐÑØ ∞ 1 limk→∞ ck+1 ck Ø × Ø Ø Ü ×Ø×µº = lim Ï ³Ú k→∞ R ´ ××ÙÑ Ò ÓÒÚ Ö k=0 Ò ×Ø Ø ck (x − x0 )k Ø Ø Ø ÒØ ÒØ ×ÓÐÙØ ÐÝ |x − x0 | < R. Ø ÓÐÐÓÛ Ò ×Ö ×Ö ÒØ × × ×Ö ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö × × ÓÒÐÝ × ÓÖ × • • • Á Á Á Ø R = 0, x = x0 . x. ØØ ØÛÓ ÔÓ ÒØ× R = ∞, Ò ÚÖ ÐÐ 0 < R < ∞, Ø Ø ×Ø ÓÒ ÓÒÚ Ö Ø ×Ö ×ÓÐÙØ ÐÝ ÓÖ ÓÒÚ Ö × ÓÖ Ú × ÒÓ Ø ÒÙÑ x < x0 − R, x > x0 + R. ÓÒ ÐÙ× ÓÒ ÓØ ×Ø ØÓ Ö Ò ÚÖ × µº ÒØ Ö Ö ×Ö ×ÑÝ x (x0 − R, x0 + R) x = x0 ± R, ×ÓÐÙØ Ðݸ ØÑÝ Ò Û ÝÛ Ú ÓÒÚ Ö ÐÐ Ò Ï Ø Ø Û Ö ×Ö Ø ÓÒ ÐÐݸ ÓÖ Ø Ñ Ý ´ÒÓÛ ÝÓÙ × x0 Ö ØÓ Ø × ØØ ÐÐÝ Ò R Ö Ø Ù× Ó ×Û Ò Ò ÓÒÚ Ö Ì Ò ºÏ Ø Û ÐÐ Ø Ð×Ó ×Ô ÒÛ Ó ÒØ ÖÚ Ð Ó Û ÐÐ Ö ÓÒÚ Ö ØÛÓ Ò ØÓ ÒÚ ×Ø × ×Ø Ú ÓÙÖ Ó Ò ÔÓ ÒØ× ÓÙÖ ÓØ ÓÒÚ Ö x = x0 ± Rº ÓÒÐÝ Ò×Ø Ò Ø ×Ø× ½ ÆÓØ ÁÒ×Ø Ó Ð ÖÒ Ò Ö Ö Ò Ø ÓÛ Û ÓÚ Ö¸ Ö ×ÙÐØ Ò × ÓÖÑÙÐ ÔÔÐ ÐÔ ÝÓÙ ÓÖ Ø R¸ ØÑÝ Ò ÓÙÒØ Ö ÓÓ Ì ×Ö × × ÔÔ Ù×Ø ØÓ Ö Ñ Ñ Ú × ÝÓÙ ÓÒ ÖÒ Ð ×× Ø Ò ÒÓÒ¹×Ø Ò ÓØ Ø Û × ÑÔÐÝ ØÑ Ý Ê Ø Ó Ì ×Ø ÝÓÙ ØÓ Ö Ñ Ñ ÓÖÑ׺ Ü ÑÔÐ × ∞ µ ÓÒ× ÌÓ Ò ÖØ ×Ö × ÓÙظ Û k=0 ÔÔÐÝ Ø xk º k! ÓÖ Û Ø Ú ÐÙ × Ó x Ó ×Ø × ÓÒÚ Ö Ê Ø Ó Ì ×Ø k→∞ Ì ÆÓØ lim ak+1 1 xk+1 k! = |x| lim = lim · . k→∞ k + 1 k→∞ (k + 1)! xk ak ÐÐ × Ð Ñ Ø × Þ ÖÓ ÓÖ ØÖ ÐÐ Ø × x, Ð ×Ó Ø Ñ ÒÝ Ø ×Ö ÖÐ × ÖØ ÓÒÚ Ö ØØ Ú Ò ×¸ ÓÖ × ÕÙ Ò ÐÐ x xk k! Ø × Ø ÓÙ Ñ ØÛ Ð Ñ Ø Ó Þ ÖÓ Ö ×ÙÐØ ×Ö × ´ ÓÖ Ó ÝÓÙ ÙÒ k → ∞¸ ∞ ÓÖ x. Ï Ø Ù×Ø ÔÖÓÚ × ÒØ × Ô ÖØ Ö×Ø Ò Ó ÒÞ ÓÛ µ Ð×Ó¸ Û ³Ú ÙÐ Ö Ó ÝÓÙ Ö µ ÓÒ× ÖØ ×Ö × k !xk . k=0 Ì ×ØÑ Ø Ê Ø Ó Ì ×Ø Ú × Ù× k→∞ Ì Ù× × ÐÑØ Ò Ø ÙÐ µº lim (k + 1)!xk+1 ak+1 = lim k |x|. = lim k→∞ k→∞ ak k !xk Ü ×Ø ´Ø Ø ×Ö × × ÕÙ Ò ÓÒÚ Ö ÔÔÖÓ × ÓÒÐÝ × Ø Ø× Ò Ò Øݵ ÙÒÐ ×× ÒØ Ö ´ÒÓØ Ú ÖÝ ÓÖ Ð× ØÓ Ö x = 0, ∞ µ ÓÒ× ÖØ ×Ö × k=1 (x − 3)k . k 4k ÓÖ Ø × ÓÒ Û Ò k→∞ lim (x − 3)k+1 k k 4k |x − 3| ak+1 = lim = lim · |x − 3| = . k+1 (x − 3)k k→∞ 4(k + 1) k→∞ (k + 1)4 ak 4 Ò ÓÒ ÐÙ Ø Ì ØØ Ö ×Ö ÓÖ Ò Ø Û Ò × ÓÒÚ Ö Ö Ù× Ó ´Ø × ×ÓÐÙØ ÐÝ ÓÒÚ Ö Ø ×¸ ÒÛ Ò Ï ºº Ø ÒØ ÖÚ Ð Ó ∞ |x − 3| < 4. Ü × |x − 3| < 1, 4 º ÌÓ Ø Ò Ö Ò ÓÙÖ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø ×Ø Ø Ó× ØÛÓ ÔÓ ÒØ× Û |x − 3| = 4 ×Ö ×× ØÐݺ Ï Ðи Û k=1 ´Ø Ø ×¸ 1 ,Û k x−3 = 4 ÒÓÛ ØÓ ÚÖ x = 7µ¸ и ºÅ x − 3 = −4 ÓÒÚ Ö ×´ Ý ∞ ÒØ ×Ö ×× x = −1), Ø k=1 (−1)k , k Û ¾ Ø ÓÖ Ø ÆÓØ Ì Ö ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ò ×× Ö ËÖ × Ì ×صº Ì ÒØ ÖÚ Ð Ö ÓÖ Ø ÒØ ÖÚ Ð Ó ÓÒÚ Ö Ò × ×Ø [−1, 7). ÑØ Ð ÒØ Ö ×ظ ÒÛ Ò ÙØ Ø Û ÐÐ Ø ×¹ ܹ Ò Ø ÓÒ׺ Ò ÔÓ Òظ ÓÚ ÙÖ Ýµº ÚÒÛ Ü ÑÔÐ ×Ø ØÙ× Ó Ø × ØÓ ÓÒÚ Ö ÙØ Ò ÔÓ ÒØ× × Ó Ñ Ø Ò Ø ÔÔÐ Ò Ø ÙÐ × ÒØ ÒØ ×Ö Ø ÛÓÙÐ ÒÝ Ù× Ö Ö ÐÝ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Û ÐÐ Ù×Ù ÐÐÝ Ø ÖÑ× ØÓ ÓÒÚ Ö ÓÒÚ Ö ÝÓÙ Ú ØÖ Ñ ÐÝ ×ÐÓÛÐÝ ´Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó ÔÔ Ò× ØÓ − ln(2)¸ Ø ÓÙ× Ò × Ó Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ó ÈÓÛ Ö Ë Ö × ÓÙ³Ú Ñ Ù× Ø Ø Ö × ÐÖ ×Ñ Ù× Ó Ý× ØÖ Ò ×ÓÑ ÚÒ ÓÒÚ Ö ØÓ Ò × ØÓ ÓØ Ð ÙÐ Ø ØÖ ×Û ÑÙÐØ ÔÐ Ì ÝÐÓÖ × Ö Ò ÑÔÐÓÝ ØÓ ÖÚ ØÚ ×Ó ×¸ Ò Û Ð ÙÐ Ø Ì ÝÐÓÖ ÔÓÐÝÒÓ¹ Ò Ð ÙÐ Ø Ð× Û Ø ÓÙØ Ð ÙÐ Ø f. ÓÖØÙÒ Ø Ðݸ Û Ú ØÓ Ö ¹ ÓÒ³Ø Ì ÓÖ Ñ Á Ø ×Ö × Ò ck (x − x0 )k ×Ö Ù× Ó ÓÒÚ Ö Ò R, Ø ÒÛ • • • • Ò Ø ÒØ Ö ÒØ ÖØ Ø Ø ´Ø Öѹ Ý¹Ø Öѵ Ø ´Ø Öѹ Ý¹Ø Öѵ Ý ÓÒ×Ø ÒØ ´Ø Öѹ Ý¹Ø Öѵ ÒÓØ Ö Ö× Ö ×Ó Ö ÓÒÚ Ö Ò Ø Ò Ù× Ó ÓÒÚ Ö ÙÖØ × ÓÖ Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐÝ Ø ÖÓÙ Ø ´Ø Öѹ Ý¹Ø Öѵ ØÓ Ö ×ÙÐØ Û ÐÐ × Ö Ð×Ó ×Ø ÓÖ Ñ ÓÑÔÐ Ò× Ø Ú ÓÖ ≥R × ÓÔ Ö ¹ Ö ÒØ ¹ Ù× Ó Rº Û ÖÑÓÖ ¸ × Ò Ì ÝÐÓÖ × Ö Ø ×Ö » ÒØ ÁÒ Ø ×¸ ÙÒ ÕÙ f , x0 , n, Ô Ö ÓÖÑ Ø Ø ÓÒ× ÓÒ Ì ÝÐÓÖ × Ö ÖØ ÓÖÝ Ø ÙØ Ø Ø Ö Ì ×Ø × Ö ×ÙÐØ× Û ÐÐ »×ÙÑÑ Ò Ø ÓÒ ÜØ Ò Ö Ò ÒØ Ì ÝÐÓÖ × Ö ØÓ ÑÙÐØ ÔÐ »ÑÙÐØ ÔÐ ÙÒ Ø ÓÒ× Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ø Ù× Ò Ú × ÓÒ Ó ØÛÓ ÖÖ Û ÓÙØ Ò ×º ÀÓÛ¹ Ó ×ÓÑ Ø Ó× ÓÔ Ö Ø ÓÒ× Ð ÓÙØ Ø × Û Ý ØÓ ØÓ ÒÓØ ÙÐÐ × Ö Ø Öѹ Ý¹Ø ÖÑ Ú Ö¸ Ø ÜÔ ×Ñ Ø Û ³ÐÐ Ö Ö ÐÝ Ò ÓÖ Ñ ×Ø ÐÐ Ø ÐÐ× Ù× ×ÓÑ Ø Ð× Ó Ø × ×ÓÖØ× Ó ÒØ ÖÚ Ð ÓÚ Ö Û ÙÐ ´Û ³ÐÐ Ø Ì ÝÐÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ü ÑÔÐ × Ó Ø Ð ÙÐ Ø ÓÒ× ×ÓÓÒµº Ü ÑÔÐ ∞ À Ö ³× Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø ×ÓÖØ× Ó Ø Ò ×Û Ò Ó ×Ö ÓÒ× ×ÛØ ÖØ Óѹ ×Ö × k=0 ÑÓÒ Ö Ø Ó ×¸ Ø× Ö xk = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · . Ì x, ×Ó Û ÒÓÛ Ø× ×ÙÑ Ò × ½µº Ø³× ×× ÓÑ ØÖ Ù× Ó ÓÒÚ Ö 1 ¸ 1−x Ò Ø ÓÒÚ Ö × ÓÖ |x| < 1 ´Ø Ø ¿ ÆÓÛ¸ Û ÓÙÐ Ö ÒØ Ø Ø ×¸ Ò Ø Ù× Ø ÖÑ Ò Ø Ø 1 = (1 − x)2 Ì × × Ø Ö ÒØ ÑÙ ×Ø Ò Ø Ø Ö Ö × Ù× Ò ∞ k=1 kxk−1 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · . Ø ÖÑ Ò Ò Û Ò Û Ø Å ÚÒ ÒÓÛ Ø Ð ÙÖ Ò × Ö Ú ØÓ Ò³Ø Ú × ÓÖ Ò Ö Û Ý ØÓ ÓÖÑÙÐ ¸ ÓÒÚ Ö ÓÒ³Ø ÔÔÐÝ Ø 1 Ò (1−x)2 Ø Ö Ø Ó Ø ×Ø ØÓ Û ÒÛ Ø ÖÑ Ò Ù× Ó ¸ ×Ó Ø³× ½ ÓÑÑ ÒØ ÆÓØ Ú Ò Ø ÓÙ ÔÔ Ò¸ Ò ÛØ Ò Ø Ø Ø Ø Û ³Ú ÓÖ Ù× ØÒ Ø Ø ÛÖ ØØ Ò Ø Ò Ð×Ö × ÔÔ Ö Ò Û× Ö Ø Û ×ÛØ Ø Ì Ö ÒØ Ò ×× Ø Ü ×Ø Öع Ù× ºÌ Ì Ø Ö ×º Á × Ò Ø Ø k = 1¸ ÐÛ Ý× ØÛ × ×Ø ÖØ k = 0. Ö×Ø Ø ÖÑ Û × Ó ×Ò³Ø ÓÒ×Ø Òظ ×Ó Ö ÒØ ÓÙÖ Ø ÒÛ ÐÛ Ý× ÐÛ Ý× × Ö×Ø Ø ÖÑ ÛÓÒ³Ø ×Ö ×¸ ÝÓÙ × ÓÙÐ ÓÙÐ Ð×Ó ÒØ ÓÒ×Ø ÒØ ÝÓÙÖ× Ð ÓÖ Ò Ð× Ö ÔÓ ÒØ × Ø Ö Û ÒÝ ÓØ ÓÒ×Ø ÒØ Ø ÖÑ׺ Ü ÑÔÐ ¸ Û ÓÒØ ÒÙ Ò ×¸ Û ÖØ Ø ∞ − ln(1 − x) = C + Ï Û Û Ø Ò ÑÑ ÓÛ ÓÛØ Ø Ø ÐÝ × Ø ×Ö Ø Ø ÓÒ×Ø ÒØ Ó × ÒØ Ö k=0 xk+1 , k+1 Ï Ðи Ø ÈÐÙ Ò Ö ³× ÓÒ Ú ÐÙ Ø × ÒØÓ Ø ÖÓÙ ØÛ ´½µ Ö Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ø × Ðݸ Ò Ñ ÐÝ Ì x = 0. ÕÙ Ø ÓÒ ´½µ¸ Ý ¹½¸ Û Ú C = 0. ∞ ÓÖ ¸ ÑÙÐØ ÔÐÝ Ò ln(1 − x) = − Ì × ×Ø Ï ÓÙÐ Å Ð ÙÖ Ò × Ö Ð×Ó Ø k=0 xk+1 x2 x3 x4 = −x − − − ··· . k+1 2 3 4 ln(1 − x), ∞ Ò Ò Ø × × ÓÖ × Ð×Ó × R = 1. ØÛÓ Ö ×ÙÐØ× 1 + ln(1 − x) = (1 − x)2 = ∞ k=1 ∞ n=0 kxk−1 − k=0 xk+1 k+1 ∞ n=1 (n + 1)x − ∞ n=1 ∞ n xn n xn n n=1 ∞ ∗ ∗∗ =1+ =1+ (n + 1)xn − n+1− 1n x n n=1 5 11 19 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · 2 3 4 ÓÖ Ø ×× Ö × × Û Ðк Ò Ò¸ Û ÒÓÛ Ø Ø R=1 ¶ ÀÖ Ò Ö × Û ³Ú Ö ¹Ò ÒØ Ø ×Ñ Ü × Ø ÓÒ ×Ö ×Ö ×¸ Ù× Ò ×º Ï n = k +1 × ØÓ ØÓ Ø ÓØ n=k−1 × ×Ó Ø ÓÖ Ø ÒØ ØÛ ×Û Ö×Ø × Ö Ò ÑÙ×Ø Ø Ú ×¸ ØÛÓ × Ö Ö Ò ×ÙÑÑ Ø ÓÒ ÒÓØ Ø ÓÒ ÔÓÛ Ö Ò Ø ×Ñ Ø ÓØ º ØÛÓ × Ö ×Ø ÖØ Ò × ØÓ Ú ÐÙ Ø x ¶¶ Ë Ñ Ð ÖÐݸ Ò ÓÖ Ø ÓÒ Û Ø Ø ÑÙ×Ø ×¸ Û ³Ú Ö ØÓ Ú Ø Ö Ò ×ÙÑÑ Ø ÓÒ ÒÓØ ¹ Ò Üº ÌÓ Ò Ú ÛÖ ØØ Ò Ö×Ø ×ÙÑ ÓÖ Ø Ö ÑÓÚ n=0 Ø ÖÑ ÖÓÑ Ø × Ø× ÓÛÒ Ø ÖѺ ÆÓØ ÇÙÖ Ø Ø ÒÛ Ø ×Ö ØØ ÒØ ÓÖ Ñ ÒÛ Ø ÓÒ ÖÒ× Ø ÙÒ Ø¸ Ò Ð´ ØÙ ÐÐÝ Ö Ò Ò Ù× Ó º ÁÒ Û ÑÝ ÓÒÚ Ö Ø¸ Û Ò × Ò ÓÒÐÝ Ò Ø Ø Ø Ó × ÒÓØ Ò Ò¹ Ø³× Ò Ò ØØ ½ Ù Ö ÒØ Ø Ü ¹½¸ Ò ÔÓ ÒØ Û ØÐÝ Û ÙØ Ø ÒØ ÖÚ Ð Û ÐÐ Ö ÒØ ÓÖ Ñ Ý ÐÓ× ÓÒÚ Ö ÚÖ × ÓÒÚ Ö Ò ÔÓ ÒØ Û Ö Ø º Á ÝÓÙ ÐÓÓ Ø ÓÙÖ Ö ×ÙÐØ× ÓÑ ØÖ ÓÒÚ Ö µ×Ö × ÓÚ ¸ ÝÓÙ³ÐÐ × Ø Ø ¹½º ÔÔ Ò × ÓÖ ÓØ ln(1 − x) ×Ö Ü ÑÔÐ Ì ÓÑ ØÖ Ò Ø × × Ò ÐÓ ÜØÖ Ñ ÐÝ Ù× ÖØÑ ÙÐ ÓÒ º Ï Ù×Ø Ò Ù× µ¸ Ø Ò Ø ØÓ Ó Ø ÖØÒ Û ×Ö Ò Ì ÝÐÓÖ ÒØ ´ Ý Ñ ÜÔ Ò× ÓÒ× ÓÖ Ø ×Ù ×Ø ØÙØ ÓÒ ÓÖ Ò Ø ÚÖ × ÓÖ ØÝ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒ Ø ÓÒ׺ f (x) = x . 3 + 2x Ü ÑÔÐ ¸ ×ÙÔÔÓ× × × ÓÐÐÓÛ× x→ ÙÒ Ø ÓÒ ´ × Û −t2 Ò Ø Ò ÒØ Û Ö Ø Ò µ¸ Å Û ÒØ Ø Ð ÙÖ Ò Ï Ò x 3 + 2x =x x 3 x = 3 x = 3 = = 1 3 + 2x 1 · 1 + 2x 3 1 · 2 1 − (− 3 x) ∞ k 2 · −x 3 k=0 † ∞ k=0 Ï ×Ö Û ÓÖ Ø × ÓÒ ÓÒ ÒØ Ø × ×Ø ÓÒÚ Ö Ø Ö × Ù× Ó ÓÒÚ Ö Ò ºº (−1)k 2k xk+1 3k+1 Ï Ðи ØØ ØØ ØØ × Ò Ø Ö †† ×Ø Ô Ñ Ö ÓÐÐÓÛ Ò Ù× Ó † Û ÒÓÛ Ø 2 − x < 1, 3 ØÓÖ Ò ØÓÖ Ó ÒØ Û 3 |x| < º 2 Ó ×Ò³Ø ÛØ Ú ÓÒÚ Ö ÓÑÔÙØ ×Ñ ÐÐ Ö Ö × ×Ø Ô¸ Ñ Ö ÓÒÚ Ö Ò º †† , ÒÓÛ Ø ÜØÖ ×Ö ×Ö x, ×Ö 1 3 ÒÚ × ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ × Ö Ù× Ò Ø ×Ø × ×º Ì ØÙ ÐÐÝ Ù×Ø Ø × × ÑÔÐÝ ×µ¸ ×Ó Ø Ö Ò ÓÖ Ò Û ÔÔ Ò× ØÓ Ù× Ó Ð ÒÓÛ Ø × ÓÖ ØÓ Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ÒÓÒ¹Þ ÖÓ Ø ÖÑ ´ Ø³× ÒØ Ö ×Ö × Ö ×ÙÐØ Ò Ø ÖÑ Û Ø ÓÒ¸ Ö R = ∞º Ù× Ó ×Ö ÖÓÑ Ø ÓÒ Ø Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ñ ØØ Ö׺ Ì ÓÙÖ × Ö x f (x) = 3 + 2x ÓÒÚ Ö Ù× 3 R= . 2 Ì × ÙÐ Ò ÐÓ × ÏØ Ó ËÔ Ø ØÖ ×Ð Ø Ó× Ò Û ³Ú Ø Ù× Ù×Ø × Ù×× ÖÓÑ ¸Û Ù×Ø ÖØ Ò Ò Ò Å Ð ÙÖ Ò × Ö × ÙÐ × ÓÖ ÑÓ×Ø Ò ÐÓ ×º ÙÒ Ø ÓÒ× Û ³ÐÐ ÐÐݸ ÝÓÙ³ÐÐ Ò ÓÙÒØ Ö ÙÐ Ó ÓÐÐÓÛ Ò ÙÐ ØÓ Ö Ñ Ñ 1 1−x ex sin x cos x ÁÒ Å ÒÓÑ ÒÓÑ Ø Ñ ÛÖ Ø Ø Ø ÓÒ¸ Ø Ð ÙÖ Ò × Ö ÐÌ ÐÌ × ∞ = k=0 ∞ xk , xk , k! (−1)k (−1)k ÓÖ |x| < 1 ÐÐ = k=0 ∞ ÓÖ x ÓÖ ÐÐ = k=0 ∞ x2k+1 , (2k + 1)! x2k , (2k )! × Ð ÕÙ ÖÒ Ø Ò ÓÖ x = k=0 ÐÐ x ÛÖ Ø Ò ÓÓÐ Ò ÒØ ÐÐݸ Ø Û ÓÛÒ Ø Ö ×Ø × Ðݸ ÒÓÑ ÐËÖ × ÔÖÓÚ ÖØ Ú ÜÔ Ò Ö ×ØÖ ÛÝÓ ×× × × ÓÖ ÙÒ Ø ÓÒ× Ó ÓÖ Ñ¸ Û ÝÓÙ Ñ Ý ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ ÛØ Ò ØÝÔ º Ì Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ ÓÖ Ñ ÐËÖ Ö ØÓ Ù× ÜÔÖ ×× ÓÒ× Ó Ø Ø ÓÒ Ø ×Ø (a + b)n ÒÓÑ × Ö ÑÓÚ × Ø ÙÒ Ø ÓÒ׸ Û nÒ a = 1µº ËÔ Ö ´ Ò ¸ ØÓ ÐÐÓÛ× Ù× ØÓ (1+x)k = 1+kx+k (k −1) ÙØ ÖÑÓÖ ¸ Ø ×Ö x2 x3 xn +k (k −1)(k −2) +...+k (k −1) · · · (k −n+1) +.... 2! 3! n! ÓÒÚ Ö Ò ½º Ù× Ó 1 √ , 2−x Ü ÑÔÐ ÌÓ Û Ò Ø Ö×Ø Û Ø ÖÑ× Ó Ø Å Ð ÙÖ Ò × Ö × ÓÖ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÛÖ Ø 1 √ 2−x x 1 1 + − 2 2! 2 1 3 1 − − + 3! 2 2 1 32 53 1 x + ... = √ 1+ x+ x + 4 32 128 2 − Ò Û ÒÓÛ Ø ØØ ×× Ö × ÓÒÚ Ö × ÓÖ 1 1 =√ 1− x 2 2 x −1 1 2 = √ 1− 2 2 1 1 = √ 1+ − 2 2 − 3 2 5 − 2 − x 2 x − 2 2 3 + + ... − x < 1, 2 ºº ÓÖ |x| < 2. ...
View Full Document

This note was uploaded on 04/05/2010 for the course MATH 119 taught by Professor Harmsworth during the Spring '08 term at Waterloo.

Ask a homework question - tutors are online