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SolutionsHungerfordPart1

# SolutionsHungerfordPart1 - A Hungerfords Algebra Solutions...

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A Hungerford’s Algebra Solutions Manual Volume I: Introduction through Chapter IV James Wilson I D 4 h a 2 , b i h a i h a 2 , ab i h b i h a 2 b i h a 2 i h ab i h a 3 b i 0 - C - ---- --- - - C - - --------- ----- II · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 = C 0 ( G ) C 1 ( G ) C n - 1 ( G ) C n ( G ) = G 0 = G n G n - 1 G 1 G 0 = G 0 = Γ n +1 G Γ n G Γ 2 G Γ 1 G = G = = III Commutative Ring Local Ring Field Integral Domain Unique Factorization Domain Ring Unital Ring Principal Ideal Domain Skew Field Principal Ideal Ring Euclidean Domain Euclidean Ring ----- ----- ----- ----------- --- --- ----------- --- ----------- IV 0 A B C 0 0 A 0 B 0 C 0 0 Published: April 20, 2003

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c 2002-2003. James Wilson University of Oregon, Portland State University. 3234 SE Spruce St. Hillsboro OR 97123 [email protected] Written with L A T E X2 ε . Please Recycle when finished.
Contents Prerequisites and Preliminaries 11 .7 The Axiom of Choice, Order and Zorn’s Lemma . . . . . . . . . . 11 .7.1 Lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 .7.2 Complete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 .7.3 Well-ordering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 .7.4 Choice Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 .7.5 Semi-Lexicographic Order. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 .7.6 Projections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 .7.7 Successors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 .8 Cardinal Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 .8.1 Pigeon-Hole Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 .8.2 Cardinality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 .8.3 Countable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 .8.4 Cardinal Arithmetic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 .8.5 Cardinal Arithmetic Properties. . . . . . . . . . . . . . . . 20 .8.6 Finite Cardinal Arithmetic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 .8.7 Cardinal Order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 .8.8 Countable Subsets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 .8.9 Cantor’s Diagonalization Method. . . . . . . . . . . . . . . 23 .8.10 Cardinal Exponents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 .8.11 Unions of Finite Sets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 .8.12 Fixed Cardinal Unions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 I Groups 27 I.1 Semigroups, Monoids, and Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 I.1.1 Non-group Objects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 I.1.2 Groups of Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.1.3 Floops. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.1.4 D 4 Table. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.1.5 Order of S n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 I.1.6 Klein Four Group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 I.1.7 Z × p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 I.1.8 Q / Z – Rationals Modulo One. . . . . . . . . . . . . . . . . 30 I.1.9 Rational Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 I.1.10 PruferGroup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 I.1.11 Abelian Relations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 I.1.12 Cyclic Conjugates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 I.1.13 Groups of Involutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 I.1.14 Involutions in Even Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 I.1.15 Cancellation in Finite Semigroups. . . . . . . . . . . . . . 34 I.1.16 n -Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 I.2 Homomorphisms and Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 I.2.1 Homomorphisms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 I.2.2 Abelian Automorphism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 I.2.3 Quaternions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 I.2.4 D 4 in R 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3

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4 CONTENTS I.2.5 Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 I.2.6 Finite subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 I.2.7 n Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 I.2.8 Subgroups of S n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 I.2.9 Subgroups and Homomorphisms. . . . . . . . . . . . . . 40 I.2.10 Z 2 Z 2 lattice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 I.2.11 Center. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 I.2.12 Generators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 I.2.13 Cyclic Images. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 I.2.14 Cyclic Groups of Order 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 I.2.15 Automorphisms of Z n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 I.2.16 Generators of PruferGroup. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 I.2.17 Join of Abelian Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 I.2.18 Join of Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 I.2.19 Subgroup Lattices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 I.3 Cyclic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 I.3.1 Order of Elements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 I.3.2 Orders in Abelian Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 I.3.3 Z pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 I.3.4 Orders under Homomorphisms. . . . . . . . . . . . . . . 48 I.3.5 Element Orders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 I.3.6 Cyclic Elements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 I.3.7 PruferGroup Structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 I.3.8 Finite Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 I.3.9 Torsion Subgroup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 I.3.10 Infinite Cyclic Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 I.4 Cosets and Counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 I.4.1 Cosets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 I.4.2 Non-normal Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 I.4.3 p -groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 I.4.4 Little Theorem of Fermat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 I.4.5 Groups of Order 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 I.4.6 Join. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 I.4.7 p -group Complex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 I.4.8 HK -subgroup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 I.4.9 Subgroups and the Complex. . . . . . . . . . . . . . . . . 57 I.4.10 Identifying Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 I.4.11 Groups of order 2 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 I.4.12 Join and Intersect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 I.4.13 pq -groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 I.4.14 Quaternion Presentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 I.5 Normality, Quotient Groups, and Homomorphisms . . . . . . . . 60 I.5.1 Index 2 Subgroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 I.5.2 Normal Intersections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 I.5.3 Normal and Congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 I.5.4 Congruence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 I.5.5
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