Chp3s6 - 3.6 3.6 矩形波导 从双导线到矩形波导...

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Unformatted text preview: 3.6 3.6 矩形波导 从双导线到矩形波导 λ λ a a =W + 2⋅ λ 4 =W + λ 2 a≥λ / 2 或λ≤ 2 a 构成了波导传输的第一个约束条件 ! 常见波导 常见波导 一、矩形波导中传输模式及其场分布 (一) TM模(Hz=0) E z = E z 0e − jβ z 2 ∇T E z 0 + kc2 E z 0 = 0 ∂ 2 Ez 0 ∂ 2 Ez 0 2 + + kc E z 0 = 0 2 2 ∂x ∂y 2 ∇T E z 0 + kc2 E z 0 = 0 ∂ 2 Ez 0 ∂ 2 Ez 0 + + kc2 E z 0 = 0 ∂x 2 ∂y 2 应用分离变量法,令:Ez0=X(x)Y(y) 1 d 2 X ( x) 1 d 2Y ( x ) + = −kc2 X ( x ) dx 2 Y ( x ) dy 2 1 d X ( x) 2 X ( x ) dx 2 = −k x 2 1 d Y ( x ) = −k 2 y Y ( x ) dy 2 2 d 2 X ( x) 2 + k x X ( x) = 0 dx 2 2 d Y (Y ) + k 2Y (Y ) = 0 y dy 2 2 2 k x + k y = kc2 X ( x ) = C1 cos k x x + C2 sin k x x 上式的解为: 上式的解为 上式的解为: Y ( y ) = C3 cos k y x + C4 sin k y x E z 0 = X ( x )Y ( y ) = (C1 cos k x x + C2 sin k x x )(C3 cos k y x + C4 sin k y x ) 利用TM模的边界条件 Ez 0 Ez 0 x =0,α y = 0,b mπ = 0, C1 = 0, k x = a nπ = 0, C3 = 0, k y = b ( m = 1, 2,L) ( n = 1, 2,L) mπ nπ E z 0 = E0 sin( x )sin( x) a b 式中E0 = C3C4于激励有关 TM模场的各个横向分量的复振幅: 模场的各个横向分量的复振幅: ωε ∂E z 0 ωε nπ mπ nπ H x0 = j 2 = j 2 E0 ( )sin( x ) cos( y) kc ∂y kc b a b mπ nπ ωε ∂E z 0 ωε 2 mπ H y 0 = − j k 2 ∂x = − j k 2 E0kc ( a ) cos( a x )sin( b y ) c c E x 0 = − j β E0 ( mπ ) cos( mπ x )sin( nπ y ) kc2 a a b E = − j β E ( nπ )sin( mπ x ) cos( nπ y ) 0 y0 kc2 b a b TMmn波 m:表示x方向变化的半周期数 (即小→大→小) 即小→ n:表示y方向变化的半周期数。 方向变化的半周期数。 (二) TE模(Ez=0) ∂2H z0 ∂2H z0 2 + + kc H z 0 = 0 2 2 ∂x ∂y H z 0 = (C1 cos k x x + C2 sin k x x )(C3 cos k y x + C4 sin k y y ) ∂H z 0 ∂x ∂H z 0 ∂y H z0 x =0,α y =0,b mπ = 0, C1 = 0, k x = a nπ = 0, C4 = 0, k y = b ( m = 1, 2,L) ( n = 1, 2,L) mπ nπ = H 0 cos cos a b H0 = C1C3 TE模场的各个横向分量的复振幅分别为: 场的各个横向分量的复振幅分别为 ωµ ∂H z 0 ωµ nπ mπ nπ E x 0 = j k 2 ∂y = j k 2 H 0 ( b ) cos( a x )sin( b y ) c c mπ mπ nπ ωµ ∂H z 0 ωµ E y 0 = j k 2 ∂x = − j k 2 H 0 ( a )sin( a x ) cos( b y ) c c H = − E y 0 = j β H ( mπ )sin( mπ x ) cos( nπ y ) 0 x0 ZH kc2 a a b H = E x 0 = j β H ( nπ ) cos( mπ x )sin( nπ y ) 0 2 y0 ZH kc b a b TEmn波 m:表示x方向变化的半周期数 (即小→大→小) 即小→ 方向变化的半周期数。 n:表示y方向变化的半周期数。 二、矩形波导中传输模式的纵向传输特性 (一) 传播常数(波数)和截止波长 传播常数(波数) 传播常数 波导中波在传输方向的波数β 波导中波在传输方向的波数 波导中波在传输方向的波数β: β =k −k = 2 2 2 c 2π λ − 2π λc k:自由空间中同频率的电磁波的波数 当 kc = k , β = 0 时,系统处于传输和截止状态之间的临界状 此时对应的频率称为临界频率或截止频率,记为: 态。此时对应的频率称为临界频率或截止频率,记为: kc fc = = v 2π µε 2π 相应的临界波长或截止波长为: kc v 2π λc = = fc kc 要使波导中存在导波, 要使波导中存在导波,则β必须为实数,即 必须为实数, k2>k2c 或 λ<λc (f>fc) 如果上式不满足,则电磁波不能在波导内传输,称为截止。 如果上式不满足 如果上式不满足,则电磁波不能在波导内传输,称为截止。 称为截止波数。 故kc称为截止波数。 均为: 矩形波导中TE模和TM模的截止波数kc均为: mπ 2 nπ 2 2π kc = k + k = ( ) +( ) = = 2π f c µε a b λc 2 x 2 y 2π 2 = 截止波长: 截止波长: λ c = 2 2 kc m n + a b 截止频率: 截止频率: m n fc = = + λ c 2 µε a b v 1 2 2 结论: 结论: • • • 模的截止波长λ 与波导尺寸 矩形波导中TE模和TM模的截止波长λc与波导尺寸a和 b及传输模式有关; 及传输模式有关; 不仅与波导尺寸和传输模式有关, 截止频率fc不仅与波导尺寸和传输模式有关,而且还与 矩形波导内填充的媒质特性有关; 矩形波导内填充的媒质特性有关; 相同波导尺寸对于不同的模式有不同的截止波长λ 相同波导尺寸对于不同的模式有不同的截止波长λc。 矩形波导中截止波长的分布图: 矩形波导中截止波长的分布图: TE10 TE20 TE01 TE11 TM11 单模区 截止区 0 2b a 2a λc 简并 (Degeneration) 简并模: 模具有相同的截止波长。 简并模:相同的指数m和n的TE模和TM模具有相同的截止波长。 • 矩形波导中 TE10 模的截止波长最长 , 故称它为最低模 模的截止波长最长, 其余模式均称为高次模; 式,其余模式均称为高次模; • TE10模的截止波长最长且等于2a,用它来传输可以保证 单模传输。 单模传输。 • 当工作频率一定时,传输TE10 模的波导尺寸最小; 当工作频率一定时, 模的波导尺寸最小; • 若波导尺寸一定,则实现单模传输的频带最宽。 若波导尺寸一定,则实现单模传输的频带最宽。 当波导尺寸给定, 时则要求工作波长满足: 当波导尺寸给定,且有a>2b时则要求工作波长满足: a < λ < 2 a λ > 2b 当工作波长给定时,则波导尺寸必须满足: 当工作波长给定时,则波导尺寸必须满足: λ 2 <a<λ b< λ 2 (二) 相速度vp和相波长λp 相速度 和相波长λ 相速:导波系统中传输电磁波的等相位面沿轴向移动的速度。 导波系统中传输电磁波的等相位面沿轴向移动的速度。 由等相位面方程求得相速度为: 由等相位面方程求得相速度为: dz ω vp = = dt β 相波长: 相 波长 相波长 : 某种波型的等相位面在一个周期 T内沿轴向 传播的距离,又称为波导波长。其值为: 传播的距离,又称为波导波长。其值为: ω 2π λ p = v pT = T = β β 对于 对于TE波和TM波: ω λf v = = >v 相速: v p = 相速: 2 2 β 1 − (λ λc ) 1 − (λ λc ) 相波长: 相波长: λp = 2π β = λ 1 − (λ λc ) 2 >λ 相速: 对于TEM波,相速: ω 1 vp = = =v ω µε µε 2π v 其相波长: 其相波长: λ p = = =λ ω µε f (三) 群速度 群速度 又称为波的包络, 这些多种频率成分构成一个“波群”,又称为波的包络,其 传播速度称为群速。 传播速度称为群速。 dω 群速的定义式: v g = 群速的定义式: dβ 2 2 β +k β = ω µε − k , ω = µε 2 2 c 2 c dω vg = = dβ 1 µε λ2 = v 1− ( ) λc β 2 + kc2 β 若波导系统内填充的媒质为空气: 若波导系统内填充的媒质为空气: λ2 v g = v0 1 − ( ) < v0 λc 式中 为光速,表明群速度小于光速。 式中v0为光速,表明群速度小于光速。 群速、相速和光速三者的关系为: 群速、相速和光速三者的关系为: v p vg = v 2 对于TEM波: vg = vp = v (四) 波阻抗 波阻抗 波阻抗: 1. TE波和TM波波阻抗: λ < λ c (k > kc ) Z TE 传输状态: 传输状态: 1 ωµ ωµ η = = = >η 2 k 1 − (k k )2 β 1 − (λ λc ) c ZTM β k 2 2 = = 1 − (kc k ) = η 1 − (λ λc ) < η ωε ωε 对于TEM波: Z TEM µ = = =η ε k ωµ 模波阻抗: 2. TE10模波阻抗: 对于 代入上式, 对于TE10模,将λc=2a代入上式,得TE10模的波阻抗为 Z TE10 = η 1− ( λ 2a )2 (2)等效阻抗 Z e Ze = bη a 1− ( λ 2a ) 2 b = Z TE10 a 三、矩形波导中传输模式的场结构 • 场结构图是指用电力线(实线)和磁力线(虚线) 场结构图是指用电力线实线)和磁力线(虚线) 的疏密分别来表示电场和磁场的强弱的分布图。 的疏密分别来表示电场和磁场的强弱的分布图。 • 不同模式有不同的场结构图。 不同模式有不同的场结构图。 (一) TE模 Ez=0,Hz≠0 • 电场一定分布在矩形波导的横截面内 • 磁场在空间自成闭合曲线 1. TE10模场分布 m=1和n=0,并乘以相位因子行波因子 便可得TE10模场分布: 模场分布: π x − jβ z H z = H 0 cos a e H = j k H π sin π x e − jβ z 0 x kc2 a a ωµ π π x − jβ z e E y = − j 2 H 0 sin kc a a Ex = Ez = H y = 0 三个场分量, 由上式可以看出,TE10模只有Ey、Hx和Hz三个场分量, 方向均为行波分布, 而且它们在 z方向均为行波分布,且以速度vp=ω/β向 方向传播。 正z方向传播。 2. TE10模某一个瞬间电场Ey分布图 3. TE10模三个场分量分布图 4. TE10模完整的场结构图 5. TE20 和 TE30模横截面内的场结构图 6. TE01模横截面和完整的场结构图 7. TE02模和TE03模横截面内场结构图 8. TE11 TE21模横截面场结构图 (二) TM模 Hz=0,Ez≠0 • 磁力线一定在横截面内自成闭合曲线。 磁力线一定在横截面内自成闭合曲线。 • 最低模式为TM11模,它的场分布沿波导的宽壁a和窄壁 b都有一个半驻波分布,即磁场在横截面内只有一组 都有一个半驻波分布, 闭合曲线。 闭合曲线。 • 同理TMmn的场分布沿波导宽壁a和窄壁b分别有m个 和n个TM11模场结构的基本单元。 模场结构的基本单元。 • 只要掌握TM11模的场结构图,所有TMmn模的场结构图 就全部了解了。 就全部了解了。 1. TM11 和TM21模横截面内的场结构图 2. 波导内的场结构图必须遵守下列规则: 波导内的场结构图必须遵守下列规则 • 波导壁上只有电场的法向分量和磁场的切向分量 • 电力线和磁力线一定相互垂直; • 磁力线一定是闭合曲线 • 电力线和磁力线的方向和波的传播方向一定满 足右手螺旋法则 3. 高次模对主模传输的作用 高次模对主模传输的作用 • 对于矩形波导用作传输线时,TE10波是主模,传 对于矩形波导用作传输线时, 波是主模, 输模。其它模式都是高次模, 输模。其它模式都是高次模,在均匀波导中不出 现任何高次模,但是一旦波导中有不均匀性, 现任何高次模,但是一旦波导中有不均匀性,则 在不均匀性周围就有高次模存在。 在不均匀性周围就有高次模存在。 • 高次模是衰减的模式。 的模式。 • 高次波相当流体中的涡旋。涡旋是不流的,但它对流体 高次波相当流体中的涡旋。涡旋是不流的, 的流动却起到十分重要的作用, 的流动却起到十分重要的作用,涡旋也经常出现在障碍 物的周围。涡旋在有些场合有利于流体流动, 物的周围。涡旋在有些场合有利于流体流动,而在有些 场合却阻碍流体流动。 场合却阻碍流体流动。 涡旋 • 波导中的高次模对于主模TE10波的作用相当于一个电抗。 波的作用相当于一个电抗。 jB • 它在有的场合有利于传输,而有的场合不利于传输。 它在有的场合有利于传输, 谐振窗高次模有利于传输 谐振窗高次模有利于传输 喇叭高次模造成反射 四、矩形波导中传输模式的管壁电流 • 当波导内传输电磁波时,波导壁上将会感应高频电流。 当波导内传输电磁波时, 波导壁上将会感应高频电流。 这种电流称为管壁电流。 这种电流称为管壁电流。 • 由于假定波导壁是由理想导体构成 , 故管壁电流只存在 由于假定波导壁是由理想导体构成, 于波导的内表面上。 于波导的内表面上。 • 管壁电流是由管壁上磁场的切线分量产生的 ,它们之间 管壁电流是由管壁上磁场的切线分量产生的, 的关系式为: 的关系式为: Jl=n×Ht 为波导内壁的法向分量, 式中n为波导内壁的法向分量,Ht为波导壁上的切向磁场. β π − jβ z H x = j k H 0 sin a x e c H = H cos π x e − jβz 0 z a 1. 矩形波导中TE10模管壁电流分布 矩形波导中 TE10模的壁电流分布在矩形波导的内壁表面。 模的壁电流分布在矩形波导的内壁表面。 壁电流表达式 Jy x =0 对左侧壁) = − H 0e − jβz (对左侧壁) = − H 0 e -jβz (对右侧壁) 对右侧壁) Jy x=a π J x y = 0 = H 0 cos a β π J z y = 0 = − j H 0 sin kc a Jx - jβ z x e 对下宽壁) - jβz (对下宽壁) x e π = − H 0 cos x e - jβz y =b a 对上宽壁) β π - jβz (对上宽壁) J z y =b = j H 0 sin x e kc a TE10模的壁电流分布 2. 研究壁电流的应用 研究壁电流的应用 • • 若为了测量和充气,则应尽可能不割断壁电流, 若为了测量和充气,则应尽可能不割断壁电流, 如图( 如图(a)。 若为了形成缝隙天线, 若为了形成缝隙天线,则应尽可能多割断壁电 如图( 流,如图(b)。 X波段波导开槽测量线测波导波长: 波段波导开槽测量线测波导波长: 五、矩形波导中传输功率和功率容量 (一) 传输功率 传输功率 在行波状态下,矩形波导的传输功率可由波导横截面 在行波状态下 在行波状态下,矩形波导的传输功率可由波导横截面 上的坡印亭矢量的积分求得, 上的坡印亭矢量的积分求得,即 P=∫ b 0 ∫ a Ey 2η 2 0 dxdy • 若波导中填充空气介质,TE10模的传输功率: 若波导中填充空气介质, 模的传输功率: abE λ P= 1− 480 π 2a 2 0 2 • 非磁介质波导 P= 2 E0 ab ε r 480π λ 1− 2a 2 (二) 功率容量 功率容量 E0用波导内媒质的击穿电场强度Ebr来代替(对于空气媒 质Ebr=30kV/m),便得到行波状态下波导传输TE10模的 功率容量Pbr,即 abE λ Pbr = 1− 480π 2a 2 br 2 在实际工程中有个功率容量问题, 在实际工程中有个功率容量问题,E0不能超过击穿场强Ebr, P<Pbr 2 2 Ebr ab λ 1− Pbr = 480π 2a 【讨论】 讨论】 (1) 功率容量Pbr与波导面积ab成正比。所以,低频雷达功率 功率容量 成正比。所以, 容量大,此外,同样的情况波导比同轴线功率容量大。 容量大,此外,同样的情况波导比同轴线功率容量大。 (2) λ Pbr与 1 − 2a 2 有关 很明显, 很明显,x愈接近1则功 率容量愈低, 率容量愈低,且x<0.5 会出现其它模式。 会出现其它模式。 λ 0.5< < 0.9 λc 值附近。 注:工程设计中常取 λ λ c = 0 .7 。 值附近 上面功率容量的计算公式是在行波状态下导出的, 上面功率容量的计算公式是在行波状态下导出的 上面功率容量的计算公式是在行波状态下导出的,实际 传输线上总有反射波。 传输线上总有反射波。 在行驻波状态下, 在行驻波状态下,矩形波导传输TE10模的功率容量为 2 ab Ebr λ 2 ρbr ′ Pbr = 1− ( ) = 480π ρ 2a ρ • 一般地说,驻波系数影响安全系数,波导实际允许 一般地说,驻波系数影响安全系数, 传输的功率一般为行波功率容量值的25%~30%。 六、矩形波导尺寸的设计考虑 波导尺寸的设计是指根据给定的工作波长来确定波 导横截面尺寸。 导横截面尺寸。 设计波导尺寸的原则是: • • • • • 保证在工作频带内只传输一种模式; 损耗尽量小; 功率容量尽可能大; 尺寸尽可能小; 制造尽可能简单。 造尽可能简单。 由前面分析知道, 由前面分析知道,保证单模传输的条件为 λ 2 < a < λ ,0 < b < λ 2 a = 0.7λ , b = (0.4 ~ 0.5)a 矩形波导的频带不够宽, 矩形波导的频带不够宽 矩形波导的频带不够宽,通常采用下图 所示单脊波导和( (a)所示单脊波导和(b)双脊波导 模的截止波长长, • 脊波导TE10模的截止波长长,其他高次模截止波长短 • 脊波导的等效阻抗低 习题: 习题 习题: 3-14, 3-17 ...
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