2mat5-b - A UA U L A LA 5 5 Equacionando os problemas ossa...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: A UA U L A LA 5 5 Equacionando os problemas ossa aula começará com um quebra- cabeça de mesa de bar - para você tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar exatamente 2 palitos, de modo a transformá-la em 4 quadrados iguais, sem sobrar nenhum palito. Você pode fazer isso com palitos ou no desenho. Introdução N Nossa Aula Conseguiu resolver o quebra-cabeças? Não? Então, vamos resolvê-lo juntos, pelo caminho da matemática. Certos problemas não nos parecem, de início, “problemas de matemática” - mas, de repente, vemos que existe uma solução para eles que pode ser chamada de solução matemática. (Na realidade, o que s olução existe na vida prática não são problemas de matemática - mas soluções matemáticas, criadas pelas pessoas para resolver problemas práticos). O quebra-cabeça é um exemplo. A princípio, pode não estar bem claro qual matemática usar. Geometria? Aritmética? De fato, o quebra-cabeça envolve tanto figuras geométricas quanto números. Se você ainda não conseguir resolvê-lo, talvez seja porque não tenha percebido que o quebra-cabeça tem dois aspectos: o geométrico e o numérico . g eométrico n umérico Talvez também tenha lhe faltado equacionar o problema. Isto é: escolher quem será a incógnita - geralmente chamada de x - e escrever a equação satisfeita por essa incógnita. A partir daí - sempre deixando claro qual é a pergunta do problema -, basta resolver a equação: quer dizer, “encontrar o x do problema”, como se costuma dizer. Quando conseguimos equacionar um problema, vemos claramente o que é conhecido (pela equação) e o que se procura (a incógnita). Assim, o caminho da solução, que leva de uma coisa à outra, muitas vezes salta aos olhos nesse equacionamento. Vejamos no quebra-cabeça. Equacionando o quebra-cabeça O que vemos na figura dada? Vemos 5 quadrados iguais. Eles estão unidos e são feitos com palitos de fósforo. O problema pede que os 5 quadrados se transformem em 4 quadrados iguais, só com o movimento de 2 palitos. Que figura formarão, então, os 4 quadrados? Se soubermos isso, será bem mais fácil formar a tal figura... e o problema estará resolvido. Dois quadrados juntos podem ser formados de um dos seguintes modos: a) os quadrados não têm lado (palito) comum; ou n ão b) os quadrados têm um lado comum. t êm Qual a diferença importante no caso de querermos formar uma ou outra destas figuras? Pense. AULA 5 2 q uadrados c o m l ado comum 2 quadrados s e m l ado comum A diferença é numérica: em a) precisamos de 8 palitos; já em b) precisamos a), b), de apenas 7 - pois “economizamos” um palito quando os quadrados são vizinhos, tendo um lado comum. E no nosso caso? Queremos formar 4 quadrados, sem que sobrem palitos. Qual é a pergunta crucial aqui? Pense. Isso mesmo! A pergunta é: “Quantos palitos temos?” É só contar: temos 16 palitos. Se cada quadrado possui 4 palitos e queremos formar uma figura com 4 quadrados - desde que não permitamos que dois quadrados sejam vizinhos (“de parede”, isto é, de lado comum) - usaremos: 4 ´ 4 = 16 palitos. Exatamente o que temos! 16 Algumas tentativas irão lhe mostrar que, desenhando ou fazendo 4 quadrados com 16 palitos, o desenho que devemos procurar formar é este: AULA 5 Está resolvido. Não lhe parece mais fácil, agora? Pois então. Tudo teve uma seqüência muito natural, desde o momento em que equacionamos o problema, contando o número de palitos e tentando visualizar claramente o que havia sido pedido - neste caso, a forma da figura dos 4 quadrados. Equacionando um problema algébrico Rigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a equação (ou as equações) de modo que ela expresse em linguagem matemática o que foi dado no problema em linguagem comum. Vejamos, então, como fazer isso com problemas algébricos, ou melhor, com problemas que admitem solução algébrica. EXEMPLO 1 Qual é o número cujo dobro, mais 5, é igual a 17? Equacione o problema, chamando o número desconhecido de x . Vimos que não importa a letra que usamos para designar a incógnita, isto é, o número procurado - mas é universal o uso do x . O fato importante é que: 2x + 5 = 17 A partir daí, acharíamos x . (Você pode tentar, se quiser). Só que nesta aula estamos mais interessados no equacionamento dos problemas - que é a e quacionamento primeira etapa. Geralmente, essa é a etapa mais importante na resolução desses problemas. Vamos relembrar os momentos fundamentais desse equacionamento. l Quando encaramos o tal número procurado como a incógnita do problema, e o chamamos de x ; Quando traduzimos em “matematiquês” o que está dado em português, ou seja, quando escrevemos a equação matemática que é satisfeita por essa incógnita. Neste exemplo, faríamos assim: x = número O que sabemos: 2x + 5 = 17 Para reconhecer x , é só resolver a equação. Encontra-se x = 6 Verifique. 6. l Vamos ver outros exemplos de equacionamento de problemas. É interessante que você, em cada caso, experimente responder a estas duas perguntas do equacionamento, antes de continuar a leitura: a) O que é x , neste caso? (Qual é a incógnita?) b) O que sabemos sobre x ? (Qual é a equação?) EXEMPLO 2 Quanto deve medir de lado (em km) um terreno quadrado, para que o número que vai expressar seu perímetro (em km) seja o mesmo que o número que expressa sua área (em km²)? Procure a solução! Em primeiro lugar, vamos responder às duas perguntas principais do equacionamento: a) x = lado b) O que sabemos: 4x = x² perímetro área AULA 5 Aqui, vamos lembrar que um número (ou incógnita) ao quadrado é esse número (ou incógnita) multiplicado por ele mesmo. Então: 4x = x·x E, logo, adivinhamos um número x que satisfaz esta equação. Qual é? Ora até visualmente fica claro que a expressão 4x = x², acima, é verdadeira quando substituímos x por 4, pois temos: 4·4=4·4 Portanto, se o lado do terreno quadrado for 4 quilômetros, satisfará o que é pedido. Uma observação importante: a equação 4 x = x ² é uma equação de 2º grau. Por isso, (como recordaremos) deve ter outra raiz, ou seja, outro número para substituir o x . A outra raiz é zero, pois zero vezes qualquer número é zero. Mas, neste caso, o terreno teria lado nulo, quer dizer, não existiria. (Dizemos que, neste caso, x = 0 é uma solução degenerada ). s olução EXEMPLO 3 l l Qual o número cuja metade é a sexta parte de 42? E de 21? E qual o número cuja metade é a sexta parte de seu triplo? A primeira pergunta é equacionada assim: x = número 7 O que sabemos: x 42 = 26 1 A partir daí fica fácil: multiplicando os dois lados por 2, teremos x = 14. AULA A segunda pergunta é equacionada assim: 5 x = número 7 O que sabemos: x 21 = 26 2 Logo, multiplicando os dois lados por 2, temos x = 7. Já a terceira pergunta é bem diferente: x = número O que sabemos: x 3x = 26 isto é, x = x i sto Você pode dar exemplo de um número que pode substituir x e fazer a sentença ser verdadeira? Pense. Claro: qualquer número serve! Pois x = x é verdadeiro para todo x , já que todo número é igual a si mesmo. Assim, x = x não é propriamente uma equação. Dizemos que é uma identidade , pois é verdadeira para todo x . EXEMPLO 4 O marcador de gasolina do meu automóvel apresenta um erro e desejo conhecê-lo. Assim, poderei compensá-lo nas próximas leituras do marcador. Há pouco ele marcava 3/4 do tanque, e precisei de 10 litros para enchê-lo completamente. A capacidade do tanque é de 50 litros. Qual o erro percentual que o marcador apresenta? Para mais ou para menos? Qual deve ser a incógnita nesse problema: você diria que é o erro percentual procurado (quer dizer, quantos por cento do tanque)? O primeiro cuidado do equacionamento é a escolha da incógnita, do x . Só é preciso bom-senso para se fazer essa escolha: por exemplo, x deve ser tal que saibamos logo usá-lo para escrever a equação do problema. Assim, é mais razoável fazer da seguinte maneira: x = Volume que havia no tanque (litros) O que sabemos: x + 10 = 50 Logo, x = 40. O que queremos saber: l erro = ? erro percentual = ?% l Mas o volume que o tanque marcava era: AULA Assim: 3 ´ 50 = 37,5 4 erro = 40 - 37,5 = 2,5 (em 40 litros) 3 7,5 5 Finalmente, em termos de erro percentual, precisamos fazer uma regra de r egra três , procurando o erro não em 40, mas em 100 litros. 2,5 y 40 100 Daí, 2 , 5 40 = y 100 Então, multiplicando os dois lados por 100 y, temos: (2,5) · (100) = 40 y Logo, dividindo por 40 e trocando os lados, temos que y= 250 = 6, 25 (em 100 litros) 40 Concluímos que o erro percentual apresentado pelo marcador é de 6,25 litros em 100 litros, ou seja, 6, 25% para menos, pois ele marca menos do que devia. Nesta página e nas seguintes estão alguns problemas para você equacionar, sem necessariamente resolvê-los. Lembre-se dos dois pontos importantes do equacionamento! “Quais”?! É hora de revisão da aula... Exercício 1 Considere o seguinte problema: Subtraindo-se 4 de certo número e dividindo-se esse resultado por 2 e, depois, somando-se este novo resultado ao 4 triplo daquele número, sabemos que o resultado é igual a 5 do número mais 7. Qual é o número? a) Qual é a incógnita? b) Que equação ela satisfaz? c) O que o problema pede? (Atenção: O exercício não pede para resolver o problema. Faça-o se quiser.) Exercícios AULA 5 Exercício 2 2, a) Faça o mesmo com este problema, parecido com o Exemplo 2 visto na aula. Quanto deve medir a aresta (em m) de um cubo, para que o número que expressa a área (em m²) da superfície lateral total do cubo (formada pelos 6 quadrados que o limitam) seja um número igual ao de seu volume (em m³)? arestas cubo superfície lateral do cubo b) Olhando para sua equação, que palpite você arriscaria para o tamanho da aresta procurada? Exercício 3 a) Equacione o seguinte problema. A idade de um pai é o triplo da idade de seu filho e, ao mesmo tempo, o filho é 22 anos mais jovem que o pai. Quais as idades deles? Cuidado: há duas incógnitas! (Chame-as de x e y ). E há também duas equações. b) Observando atentamente as suas duas equações, você consegue descobrir x e y ? (Pense na diferença entre as idades, vendo-a de dois modos.) Exercício 4 a) Resolva o item a) do exercício anterior chamando as incógnitas de p e f . Compare as equações com aquelas equações anteriores: o que poderíamos dizer dos valores dessas incógnitas? b) Que letras você prefere para as incógnitas, neste problema? Por quê? Exercício 5 Equacione este problema, que trata do famoso retângulo áureo . r etângulo O lado menor de um retângulo mede 1 m, e o lado maior é desconhecido. Queremos que esse lado maior seja tal que, quando retirarmos um quadrado de lado 1 m do retângulo, sobre uma retângulo semelhante ao retângulo grande - isto é, do mesmo formato que o retângulo grande, com os lados respectivamente proporcionais aos dele. ? AULA 5 O retângulo áureo é igual a um quadrado unido a outro retângulo áureo menor (é importante na natureza, nas artes e na matemática). 1 { { 1 Sugestão: Chame de x a maior - ou a menor - das duas medidas desconhecidas, na figura. Agora interprete a proporcionalidade entre os lados do retângulo grande e do pequeno em termos de uma equação em x . Atenção: Atenção A equação é de 2º grau. Deixe a resolução para o momento em que estiver relembrado esse assunto, em aulas futuras. { ? { ...
View Full Document

This note was uploaded on 04/16/2010 for the course MAT D22 taught by Professor Ramirez during the Spring '10 term at Universidad del Cauca.

Ask a homework question - tutors are online