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2mat5-b - A UA U L A LA 5 5 Equacionando os problemas ossa...

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Unformatted text preview: A UA U L A LA 5 5 Equacionando os problemas ossa aula come√ßar√° com um quebra- cabe√ßa de mesa de bar - para voc√™ tentar resolver agora. Observe esta figura feita com palitos de f√≥sforo. Mova de lugar exatamente 2 palitos, de modo a transform√°-la em 4 quadrados iguais, sem sobrar nenhum palito. Voc√™ pode fazer isso com palitos ou no desenho. Introdu√ß√£o N Nossa Aula Conseguiu resolver o quebra-cabe√ßas? N√£o? Ent√£o, vamos resolv√™-lo juntos, pelo caminho da matem√°tica. Certos problemas n√£o nos parecem, de in√≠cio, ‚Äúproblemas de matem√°tica‚ÄĚ - mas, de repente, vemos que existe uma solu√ß√£o para eles que pode ser chamada de solu√ß√£o matem√°tica. (Na realidade, o que s olu√ß√£o existe na vida pr√°tica n√£o s√£o problemas de matem√°tica - mas solu√ß√Ķes matem√°ticas, criadas pelas pessoas para resolver problemas pr√°ticos). O quebra-cabe√ßa √© um exemplo. A princ√≠pio, pode n√£o estar bem claro qual matem√°tica usar. Geometria? Aritm√©tica? De fato, o quebra-cabe√ßa envolve tanto figuras geom√©tricas quanto n√ļmeros. Se voc√™ ainda n√£o conseguir resolv√™-lo, talvez seja porque n√£o tenha percebido que o quebra-cabe√ßa tem dois aspectos: o geom√©trico e o num√©rico . g eom√©trico n um√©rico Talvez tamb√©m tenha lhe faltado equacionar o problema. Isto √©: escolher quem ser√° a inc√≥gnita - geralmente chamada de x - e escrever a equa√ß√£o satisfeita por essa inc√≥gnita. A partir da√≠ - sempre deixando claro qual √© a pergunta do problema -, basta resolver a equa√ß√£o: quer dizer, ‚Äúencontrar o x do problema‚ÄĚ, como se costuma dizer. Quando conseguimos equacionar um problema, vemos claramente o que √© conhecido (pela equa√ß√£o) e o que se procura (a inc√≥gnita). Assim, o caminho da solu√ß√£o, que leva de uma coisa √† outra, muitas vezes salta aos olhos nesse equacionamento. Vejamos no quebra-cabe√ßa. Equacionando o quebra-cabe√ßa O que vemos na figura dada? Vemos 5 quadrados iguais. Eles est√£o unidos e s√£o feitos com palitos de f√≥sforo. O problema pede que os 5 quadrados se transformem em 4 quadrados iguais, s√≥ com o movimento de 2 palitos. Que figura formar√£o, ent√£o, os 4 quadrados? Se soubermos isso, ser√° bem mais f√°cil formar a tal figura... e o problema estar√° resolvido. Dois quadrados juntos podem ser formados de um dos seguintes modos: a) os quadrados n√£o t√™m lado (palito) comum; ou n √£o b) os quadrados t√™m um lado comum. t √™m Qual a diferen√ßa importante no caso de querermos formar uma ou outra destas figuras? Pense. AULA 5 2 q uadrados c o m l ado comum 2 quadrados s e m l ado comum A diferen√ßa √© num√©rica: em a) precisamos de 8 palitos; j√° em b) precisamos a), b), de apenas 7 - pois ‚Äúeconomizamos‚ÄĚ um palito quando os quadrados s√£o vizinhos, tendo um lado comum. E no nosso caso? Queremos formar 4 quadrados, sem que sobrem palitos. Qual √© a pergunta crucial aqui? Pense. Isso mesmo! A pergunta √©: ‚ÄúQuantos palitos temos?‚ÄĚ √Č s√≥ contar: temos 16 palitos. Se cada quadrado possui 4 palitos e queremos formar uma figura com 4 quadrados - desde que n√£o permitamos que dois quadrados sejam vizinhos (‚Äúde parede‚ÄĚ, isto √©, de lado comum) - usaremos: 4 ¬ī 4 = 16 palitos. Exatamente o que temos! 16 Algumas tentativas ir√£o lhe mostrar que, desenhando ou fazendo 4 quadrados com 16 palitos, o desenho que devemos procurar formar √© este: AULA 5 Est√° resolvido. N√£o lhe parece mais f√°cil, agora? Pois ent√£o. Tudo teve uma seq√ľ√™ncia muito natural, desde o momento em que equacionamos o problema, contando o n√ļmero de palitos e tentando visualizar claramente o que havia sido pedido - neste caso, a forma da figura dos 4 quadrados. Equacionando um problema alg√©brico Rigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a equa√ß√£o (ou as equa√ß√Ķes) de modo que ela expresse em linguagem matem√°tica o que foi dado no problema em linguagem comum. Vejamos, ent√£o, como fazer isso com problemas alg√©bricos, ou melhor, com problemas que admitem solu√ß√£o alg√©brica. EXEMPLO 1 Qual √© o n√ļmero cujo dobro, mais 5, √© igual a 17? Equacione o problema, chamando o n√ļmero desconhecido de x . Vimos que n√£o importa a letra que usamos para designar a inc√≥gnita, isto √©, o n√ļmero procurado - mas √© universal o uso do x . O fato importante √© que: 2x + 5 = 17 A partir da√≠, achar√≠amos x . (Voc√™ pode tentar, se quiser). S√≥ que nesta aula estamos mais interessados no equacionamento dos problemas - que √© a e quacionamento primeira etapa. Geralmente, essa √© a etapa mais importante na resolu√ß√£o desses problemas. Vamos relembrar os momentos fundamentais desse equacionamento. l Quando encaramos o tal n√ļmero procurado como a inc√≥gnita do problema, e o chamamos de x ; Quando traduzimos em ‚Äúmatematiqu√™s‚ÄĚ o que est√° dado em portugu√™s, ou seja, quando escrevemos a equa√ß√£o matem√°tica que √© satisfeita por essa inc√≥gnita. Neste exemplo, far√≠amos assim: x = n√ļmero O que sabemos: 2x + 5 = 17 Para reconhecer x , √© s√≥ resolver a equa√ß√£o. Encontra-se x = 6 Verifique. 6. l Vamos ver outros exemplos de equacionamento de problemas. √Č interessante que voc√™, em cada caso, experimente responder a estas duas perguntas do equacionamento, antes de continuar a leitura: a) O que √© x , neste caso? (Qual √© a inc√≥gnita?) b) O que sabemos sobre x ? (Qual √© a equa√ß√£o?) EXEMPLO 2 Quanto deve medir de lado (em km) um terreno quadrado, para que o n√ļmero que vai expressar seu per√≠metro (em km) seja o mesmo que o n√ļmero que expressa sua √°rea (em km¬≤)? Procure a solu√ß√£o! Em primeiro lugar, vamos responder √†s duas perguntas principais do equacionamento: a) x = lado b) O que sabemos: 4x = x¬≤ per√≠metro √°rea AULA 5 Aqui, vamos lembrar que um n√ļmero (ou inc√≥gnita) ao quadrado √© esse n√ļmero (ou inc√≥gnita) multiplicado por ele mesmo. Ent√£o: 4x = x¬∑x E, logo, adivinhamos um n√ļmero x que satisfaz esta equa√ß√£o. Qual √©? Ora at√© visualmente fica claro que a express√£o 4x = x¬≤, acima, √© verdadeira quando substitu√≠mos x por 4, pois temos: 4¬∑4=4¬∑4 Portanto, se o lado do terreno quadrado for 4 quil√īmetros, satisfar√° o que √© pedido. Uma observa√ß√£o importante: a equa√ß√£o 4 x = x ¬≤ √© uma equa√ß√£o de 2¬ļ grau. Por isso, (como recordaremos) deve ter outra raiz, ou seja, outro n√ļmero para substituir o x . A outra raiz √© zero, pois zero vezes qualquer n√ļmero √© zero. Mas, neste caso, o terreno teria lado nulo, quer dizer, n√£o existiria. (Dizemos que, neste caso, x = 0 √© uma solu√ß√£o degenerada ). s olu√ß√£o EXEMPLO 3 l l Qual o n√ļmero cuja metade √© a sexta parte de 42? E de 21? E qual o n√ļmero cuja metade √© a sexta parte de seu triplo? A primeira pergunta √© equacionada assim: x = n√ļmero 7 O que sabemos: x 42 = 26 1 A partir da√≠ fica f√°cil: multiplicando os dois lados por 2, teremos x = 14. AULA A segunda pergunta √© equacionada assim: 5 x = n√ļmero 7 O que sabemos: x 21 = 26 2 Logo, multiplicando os dois lados por 2, temos x = 7. J√° a terceira pergunta √© bem diferente: x = n√ļmero O que sabemos: x 3x = 26 isto √©, x = x i sto Voc√™ pode dar exemplo de um n√ļmero que pode substituir x e fazer a senten√ßa ser verdadeira? Pense. Claro: qualquer n√ļmero serve! Pois x = x √© verdadeiro para todo x , j√° que todo n√ļmero √© igual a si mesmo. Assim, x = x n√£o √© propriamente uma equa√ß√£o. Dizemos que √© uma identidade , pois √© verdadeira para todo x . EXEMPLO 4 O marcador de gasolina do meu autom√≥vel apresenta um erro e desejo conhec√™-lo. Assim, poderei compens√°-lo nas pr√≥ximas leituras do marcador. H√° pouco ele marcava 3/4 do tanque, e precisei de 10 litros para ench√™-lo completamente. A capacidade do tanque √© de 50 litros. Qual o erro percentual que o marcador apresenta? Para mais ou para menos? Qual deve ser a inc√≥gnita nesse problema: voc√™ diria que √© o erro percentual procurado (quer dizer, quantos por cento do tanque)? O primeiro cuidado do equacionamento √© a escolha da inc√≥gnita, do x . S√≥ √© preciso bom-senso para se fazer essa escolha: por exemplo, x deve ser tal que saibamos logo us√°-lo para escrever a equa√ß√£o do problema. Assim, √© mais razo√°vel fazer da seguinte maneira: x = Volume que havia no tanque (litros) O que sabemos: x + 10 = 50 Logo, x = 40. O que queremos saber: l erro = ? erro percentual = ?% l Mas o volume que o tanque marcava era: AULA Assim: 3 ¬ī 50 = 37,5 4 erro = 40 - 37,5 = 2,5 (em 40 litros) 3 7,5 5 Finalmente, em termos de erro percentual, precisamos fazer uma regra de r egra tr√™s , procurando o erro n√£o em 40, mas em 100 litros. 2,5 y 40 100 Da√≠, 2 , 5 40 = y 100 Ent√£o, multiplicando os dois lados por 100 y, temos: (2,5) ¬∑ (100) = 40 y Logo, dividindo por 40 e trocando os lados, temos que y= 250 = 6, 25 (em 100 litros) 40 Conclu√≠mos que o erro percentual apresentado pelo marcador √© de 6,25 litros em 100 litros, ou seja, 6, 25% para menos, pois ele marca menos do que devia. Nesta p√°gina e nas seguintes est√£o alguns problemas para voc√™ equacionar, sem necessariamente resolv√™-los. Lembre-se dos dois pontos importantes do equacionamento! ‚ÄúQuais‚ÄĚ?! √Č hora de revis√£o da aula... Exerc√≠cio 1 Considere o seguinte problema: Subtraindo-se 4 de certo n√ļmero e dividindo-se esse resultado por 2 e, depois, somando-se este novo resultado ao 4 triplo daquele n√ļmero, sabemos que o resultado √© igual a 5 do n√ļmero mais 7. Qual √© o n√ļmero? a) Qual √© a inc√≥gnita? b) Que equa√ß√£o ela satisfaz? c) O que o problema pede? (Aten√ß√£o: O exerc√≠cio n√£o pede para resolver o problema. Fa√ßa-o se quiser.) Exerc√≠cios AULA 5 Exerc√≠cio 2 2, a) Fa√ßa o mesmo com este problema, parecido com o Exemplo 2 visto na aula. Quanto deve medir a aresta (em m) de um cubo, para que o n√ļmero que expressa a √°rea (em m¬≤) da superf√≠cie lateral total do cubo (formada pelos 6 quadrados que o limitam) seja um n√ļmero igual ao de seu volume (em m¬≥)? arestas cubo superf√≠cie lateral do cubo b) Olhando para sua equa√ß√£o, que palpite voc√™ arriscaria para o tamanho da aresta procurada? Exerc√≠cio 3 a) Equacione o seguinte problema. A idade de um pai √© o triplo da idade de seu filho e, ao mesmo tempo, o filho √© 22 anos mais jovem que o pai. Quais as idades deles? Cuidado: h√° duas inc√≥gnitas! (Chame-as de x e y ). E h√° tamb√©m duas equa√ß√Ķes. b) Observando atentamente as suas duas equa√ß√Ķes, voc√™ consegue descobrir x e y ? (Pense na diferen√ßa entre as idades, vendo-a de dois modos.) Exerc√≠cio 4 a) Resolva o item a) do exerc√≠cio anterior chamando as inc√≥gnitas de p e f . Compare as equa√ß√Ķes com aquelas equa√ß√Ķes anteriores: o que poder√≠amos dizer dos valores dessas inc√≥gnitas? b) Que letras voc√™ prefere para as inc√≥gnitas, neste problema? Por qu√™? Exerc√≠cio 5 Equacione este problema, que trata do famoso ret√Ęngulo √°ureo . r et√Ęngulo O lado menor de um ret√Ęngulo mede 1 m, e o lado maior √© desconhecido. Queremos que esse lado maior seja tal que, quando retirarmos um quadrado de lado 1 m do ret√Ęngulo, sobre uma ret√Ęngulo semelhante ao ret√Ęngulo grande - isto √©, do mesmo formato que o ret√Ęngulo grande, com os lados respectivamente proporcionais aos dele. ? AULA 5 O ret√Ęngulo √°ureo √© igual a um quadrado unido a outro ret√Ęngulo √°ureo menor (√© importante na natureza, nas artes e na matem√°tica). 1 { { 1 Sugest√£o: Chame de x a maior - ou a menor - das duas medidas desconhecidas, na figura. Agora interprete a proporcionalidade entre os lados do ret√Ęngulo grande e do pequeno em termos de uma equa√ß√£o em x . Aten√ß√£o: Aten√ß√£o A equa√ß√£o √© de 2¬ļ grau. Deixe a resolu√ß√£o para o momento em que estiver relembrado esse assunto, em aulas futuras. { ? { ...
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