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Unformatted text preview: A UA U L A LA 6 6 Resolvendo equações À Introdução medida que os problemas se tornam mais complicados, o método algébrico vai se impondo naturalmente ao método aritmético. Resolver equações fará parte das nossas atividades diárias. Mas, o que significa resolver uma equação? Tomemos como exemplo esta equação: x+4 = 2α - 3φ 1 x 2 Não importa de que problema ela tenha vindo. Desejamos, antes de mais nada, responder à pergunta que fizemos. Resolver uma equação significa encontrar um número tal que, se for colocado no lugar da letra x , torna a igualdade correta. Veja o que acontece se substituímos x por 2. x+4 = 2α - 3φ 1 2 2 3 = - 3 —> errado! —> Logo, x = 2 não é solução da nossa equação. Veja agora o que acontece se substituímos x por 6. 6+4 = 2α - 3φ 1 6 2 5 = 5 —> certo! Portanto, x = 6 é solução da nossa equação. Dizemos também que x = 6 é s olução raiz da equação dada. É importante saber que x = 6 é a única solução da equação do nosso exemplo. ú nica Você pode tentar substituir x por outros números; mas fique certo de que jamais encontrará outras igualdades corretas. As equações que aprenderemos a resolver nesta aula são chamadas de equações do primeiro grau , ou seja, são equações em que a letra x não aparece elevada a nenhum expoente. Um fato importante relativo às equações de 1º grau é que: AULA 6 Nossa aula Toda equação de 1º grau possui uma solução. Inicialmente, vamos aprender a resolver equações do 1º grau. Não nos importará, portanto, de quais problemas elas vieram. EXEMPLO 1 Resolva a equação 2x + 3 (x - 2) = 7x - 34. Neste primeiro exemplo, não há denominadores. Então, a primeira coisa a fazer é eliminar os parênteses. Observe que na multiplicação 3 (x - 2), o número 3 multiplica todos os termos que estão dentro do parênteses, ou seja: 3 (x- 2) = 3x - 3 · 2 2) Voltemos, então, à equação dada. 2x + 3 (x - 2) = 7x - 34 2) 34 2x + 3x - 3 · 2 = 7x - 34 34 2x + 3x - 6 = 7x - 34 34 Agora, todos os termos que contêm a letra x devem ser transportados para o lado esquerdo. Observe, então, a mudança do sinal dos termos que trocaram de lado. 2x + 3x - 7x = 6 - 34 7x 34 Continuamos fazendo as contas: 2+3-7 6 - 34 34 Temos então: - 2x = - 28 2x 28 É conveniente trocar os sinais dos dois lados: 2x = 28 e dividir os dois membros por 2 para obter o valor de x . = - 2 do lado esquerdo e = 28 do lado direito. 2x 28 = 2 2 x = 14 Está resolvida, assim, a nossa equação. Se quisermos conferir se a solução é realmente a que encontramos, devemos substituir x por 14 na equação dada. AULA 6 2 · 14 + 3 (14 - 2) = 7 · 14 - 34 2) 34 28 + 36 = 98 - 34 34 64 = 64 Está certo. A raiz da equação dada é realmente x = 14 14. EXEMPLO 2 Como resolver a equação abaixo? x-4 4x + 3x = +7 2 5 Neste exemplo, a equação possui denominadores . d enominadores Portanto, a primeira coisa a fazer, neste caso, é eliminar esses denominadores. Para isso, buscamos um número que seja múltiplo de todos os denominadores e multiplicamos todos os termos da equação por esse número. t odos No nosso caso, os denominadores são 2 e 5 . Como 10 é múltiplo de 2 e de 5, vamos multiplicar por 10 todos os termos dessa equação. 10 · (x - 4) 4x + 10 · 3x = 10 · + 10 · 7 2 5 Fazemos agora as simplificações: 5 10 · 2 4x (x - 4) + 10 · 3x = 10 · + 10 · 7 21 51 5 (x - 4) + 30x = 8x + 70 4) Agora não há mais denominadores. Logo, podemos resolver essa equação do mesmo modo que fizemos no primeiro exemplo. 5x - 20 + 30x 20 5x + 30x - 8x 8x 27x = = = 8x + 70 70 + 20 90 27 x 90 = 27 27 10 · 9 x= 3·9 x= 10 3 10 3 Portanto, a solução da equação dada é x = Vamos agora resolver alguns problemas com o auxílio da álgebra. Em cada um deles vamos tentar, a partir do enunciado, obter uma equação e, em seguida, resolvê-la. EXEMPLO 3 AULA Um feirante levou 60 mamões para vender na feira. Começou vendendo cada um por 50 centavos. Depois, como a venda estava fraca, baixou o preço para 30 centavos e vendeu todos os outros. Sabendo que ele arrecadou R$ 22,80, quantos mamões ele vendeu pelo preço mais caro? Digamos que seja x o número de mamões que ele vendeu pelo preço mais caro. Como cada uma dessas frutas foi vendida por R$ 0,50 então, na primeira parte da venda ele arrecadou 0,50 · x x. Quantos mamões sobraram? Se ele tinha inicialmente 60 mamões e vendeu x mamões, então sobraram mamões. 60 - x mamões Como cada um deles foi vendido por R$ 0,30, então, na segunda m amões parte da venda o feirante arrecadou 0,30 (60 - x) x). x) Se ele arrecadou no total R$ 22,80, nossa equação é: 0,50 · x + 0,30 (60 - x) = 22,80 0 ,30 x) Vamos agora resolver essa equação. Observe inicialmente que, na parte decimal de um número, o zero colocado à direita pode ser dispensado. Ficamos então com: x) 0,5 · x + 0,3 (60 - x) = 22,8 Para evitar trabalhar com decimais, multiplicamos todos os termos da equação por 10. 5x + 3 (60 - x) = 228 x) Agora fica fácil: 5x + 3 · 60 - 3x 60 3x 5x + 180 - 3 x 5x - 3x = 228 3x 2x = = = = 228 228 180 48 6 2x 48 = 2 2 x = 24 Portanto, o feirante vendeu 24 mamões pelo preço mais caro. EXEMPLO 4 Uma caixa com 30 lápis custa R$ 4,80. Quanto deverá custar uma outra com 40 lápis? Este é um problema de regra de três. Problemas como esse são muito freqüentes em nossa vida. Observe como organizamos os dados no quadro montado abaixo. preço —> 4,80 x quantidade —> 0,30 0,30 40 AULA Para resolver o problema, montamos a equação 6 4 , 80 x = 30 40 Por que fazemos isso? É simples. Vamos pensar no significado de cada fração. Repare que, dividindo o preço da caixa pela quantidade de lápis, estamos calculando quanto custa cada lápis. Se o preço de um lápis é o mesmo nas duas q uanto caixas, as duas frações devem ser iguais . Resolver essa equação é fácil. Basta i guais multiplicar por 40 os dois lados. 40 · Daí, 4 , 80 x = 40 · 30 40 x= 40 · 4 , 80 = 6, 4 30 Logo, a caixa maior deverá custar R$ 6,40 6,40. d everá Comentário: freqüentemente, encontramos no mercado um mesmo produto em embalagens diferentes e com preços diferentes. Nesse caso, é preciso saber qual das embalagens é mais econômica. Por exemplo, se uma caixa com 30 lápis custa R$ 4,80 e outra com 40 lápis custa R$ 6,10, o problema que acabamos de resolver nos mostra que devemos preferir a segunda. Na caixa maior, o preço de cada lápis é certamente menor. EXEMPLO 5 João recebeu seu salário e verificou que: l l l a quarta parte do dinheiro ele gastou com aluguel e pagamento das contas; a terça parte gastou no supermercado; restaram-lhe R$ 100,00 para todas as outras despesas. Qual é o salário de João? Vamos chamar de x o salário de João. Agora, vamos somar o que ele pode gastar com outras despesas. Essa soma é o salário de João. Então: xx + + 100 = x 43 Para resolver essa equação, vamos eliminar os denominadores, multiplicando todos os termos por 12. 12· x x + 12· + 12· 100 = 12· x 4 3 Simplificando, temos: 3x + 4x + 1200 = 12x Passando todos os termos que contêm x para um mesmo lado, ficamos com: 1200 1200 1200 5x = = = = 12x - 3x - 4x 3x 4x 12x - 7x 7x 5x 1200 AULA 6 5x 1200 = 5 5 x = 240 Concluímos que o salário de João é de R$ 240,00 240,00. Observe agora o próximo exemplo para aprender algo diferente sobre as equações. EXEMPLO 6 Antônio, Bruno e Carlos são irmãos. Sabe-se que Bruno é dois anos mais velho que Antonio e que Carlos é três anos mais velho que Bruno. Se a soma das idades de Antonio e Carlos é o dobro da idade de Bruno, calcule as idades dos 3 irmãos. Vamos chamar de x a idade de Antônio. Como Bruno é 2 anos mais velho, a sua idade será x + 2 E já que Carlos é três anos mais velho que Bruno, a idade 2. de Carlos será x + 2 + 3 = x + 5 Resumindo: 5. Antônio0000000000 Bruno0000000000 0000000000Carlos Antônio0000000000 Bruno0000000000Carlos x x+2 x+5 Como a soma das idades de Antônio e Carlos é o dobro da idade de Bruno, temos a seguinte equação: x + x + 5 = 2 (x + 2) Vamos resolver como já aprendemos x+x+5 5-4 1 = = = 2x + 4 2x - x - x 0 Mas isto é um absurdo! Certamente que 1 não é igual a zero. Qual é o significado do que aconteceu? Vamos explicar. Chegamos à equação: 5 - 4 = 2x - x - x 2x que é equivalente a 1 = (2 - 1 - 1) x 1) ou, ainda, 1=0·x AULA 6 Exercícios Essa é uma equação impossível , uma vez que não existe nenhum valor para i mpossível x que torne a igualdade verdadeira. Isso quer dizer que o problema proposto é impossível, ou seja, nunca a soma das idades de Antônio e Carlos será o dobro n unca da idade de Bruno. É importante saber que muitos problemas não possuem solução. Dizemos então que são problemas impossíveis, isto é, que a situação apresentada por eles nunca ocorrerá. Exercício 1 Resolva as equações abaixo: a) 3x + 4 = 25 b) 5 (x- 1) - 19 = 3 (x -2) c) d) 2x x - 2 + =8 3 6 xx + =1 25 Exercício 2 A soma de um número com o dobro do consecutivo dele dá 74. Qual é esse número? Exercício 3 Antônio, Bruno e Carlos são irmãos. Sabe-se que Bruno é 2 anos mais velho que Antônio e que Carlos é 3 anos mais velho que Bruno. Se a soma das idades dos três irmãos é 55, calcule as idades de cada um deles. Exercício 4 Em certo mercado, uma caixa com uma dúzia de ovos custa R$ 2,80 e uma outra com 18 ovos custa R$ 4,00. Qual das duas embalagens é mais econômica? Exercício 5 Cada banco de um ônibus possui dois lugares. Entraram 50 passageiros nesse ônibus, mas 14 tiveram de viajar em pé. Quantos bancos tem o ônibus? Exercício 6 Pai e filho têm 31 e 8 anos. Daqui a quantos anos o pai terá o dobro da idade do filho? Exercício 7 Uma escola tem apenas turmas de 5ª, 6ª e 7ª séries. A metade dos alunos está na 5ª série. A terça parte dos alunos está na 6ª série e 32 alunos estão na 7ª série. Quantos alunos tem a escola? Exercício 8 Maria saiu de casa com algum dinheiro. Comprou uma camiseta por R$ 6,00 e gastou a quarta parte do restante num lanche. Se Maria voltou para casa com metade do dinheiro que tinha, calcule que quantia ela levava quando saiu de casa. ...
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This note was uploaded on 04/16/2010 for the course MAT D22 taught by Professor Ramirez during the Spring '10 term at Universidad del Cauca.

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